Kompleksiluvut

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Voitaisiinko kompleksilukujen käsittely korvata normaaleilla lukujen käsittelyllä, jos vältettäisiin käyttämästä negatiivisia arvoja.

Periaatteessa esim. x, x^2, x^3, x^4 muodostavat kaikki lukujärjestelmän positiivisella alueella täysin selkeän funktioiden kasvun potenssin kasvaessa. Sitä vastoin negatiiivisella lukualueella funktiot pyörähtävät positiivisesta negatiiviseen jokaisen potessin kokonaisluvun mukaan (murtolukupotenssien arvoilla ne saavat arvoja jostain tältä väliltä) , mikä on omiaan vaikeuttamaan niiden matemaattista hahmottamista.

Jos otetaan esim. yksikköympyrä jossa saadaan esim. kosinille negatiiviset arvot vasemmalla puolella ja sinille negatiiviset arvot alapuolella. Jos koordinaatisto siirrettäisiin alas ja vasemmalle niin, että arvot eivät koskaan voisi saada negatiivisia arvoja, niin huomioimalla säteen r pituus, saadaan napakoordinaatiston etäisyydelle sgrt(2)r, paikassa y=r, x=r, joka voitaisiin huomioida laskuissa erikseen.

Onko kompleksilukujen käyttö välttämätöntä, vai kompensoivatko ne vain negatiivisen lukualueen käytön aiheuttamaa monimutkaisuutta ?

Sivut

Kommentit (25)

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
David
Onko kompleksilukujen käyttö välttämätöntä, vai kompensoivatko ne vain negatiivisen lukualueen käytön monimutkaisuutta ?

Ei kompleksilukuja tarvitse koskaan käyttää. Niitä käytetään, koska ne usein yksinkertaistavat ja nopeuttavat erilaisten kaavojen johtamista ja käsittelyä. Vaikka kyllä joskus vääntö kompleksiluvuilla on hankalampi

Vaimennettu harmoninen värähetelijä on hyvä esimerkki aiheesta. Se johdetaan lukiossa reaaliluvuilla, mutta yliopistossa kompleksiluvuilla.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

X-akselin positiivisella osalla funktion arvot kasvavat luontaisesti yhtälön asteluvun mukaisesti, mutta negatiivisella puolella arvot pyörivät negatiivisen ja postiiivisen arvon välillä, riippuen reaalisesta asteluvusta.

Tästä johtopäätöksenä voitaisiin ajatella, että vaikka funktion arvo (eli lopputulos) olisikin negatiivinen, sen funktion parametrit tulisivat aina olla positiivisella alueella. Eli nollakohta tulisi valita niin. että parametrien arvot ovat aina kulloinkin tarkasteltavalla välillä positiivisia.

En tiedä, onko tämä käytännössä mahdollista tai edes tarpeellista (todellinen matemaatikko toki hallitsee negatiivistenkin parametrien ja arvojen käsittelyn asteluvuista riippumatta), mutta ehkä se selkiyttäisi tilannetta.

Vierailija

Käytännössä kompleksilukuja kannatta käyttää jo niiden "helppouden" takia.

Joitain peruslaskuja muistaakseni tehtiin ristitulolla ja matriiseilla, mutta niiden käyttö vaati mielestäni paljon enemmän mielikuvitusta. Ja monesti tulee laskettua tarvittavat asiat laskimella, ja matriisien näpyttely ei ole kovin mukavaa hommaa jos laskimena ei ole tietokone.

Ja hyväksi koettu ratkaisu, eli kun kaikki tekee ne kiltisti kompleksiluvuilla, myös työkaverit ymmärtävät mitä on laskettu ja miksi, tai ainakin pitäisi

Ja vaikka laskuihin tekisi koordinaatistomuutoksen em. yksikköympyräesimerkissä, saisi yksinkertaisestakin laskusta hyvin monimutkaisen, kun se vektorin tarkka pituus sekä suunta kuitenkin tarvitaan. Vai meinasitko laskea esim kulmat vektorille jotenkin muuten kuin origon kautta?

Viimeistään yhtälöryhmissä tulisi hassu määrä paperia, jos nyt esimerkkisi jollain tapaa arvasin edes lähelle oikein. No jospa opettelen vain sen yhden toimivan tavan ratkaista laskuja

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
SShadow
Ja hyväksi koettu ratkaisu, eli kun kaikki tekee ne kiltisti kompleksiluvuilla, myös työkaverit ymmärtävät mitä on laskettu ja miksi, tai ainakin pitäisi

Toki, on noita itsekin tullut aikoinaan käytettyä. Vieläpä suhteellisen hyvällä menestyksellä.

SShadow

Ja vaikka laskuihin tekisi koordinaatistomuutoksen em. yksikköympyräesimerkissä, saisi yksinkertaisestakin laskusta hyvin monimutkaisen, kun se vektorin tarkka pituus sekä suunta kuitenkin tarvitaan. Vai meinasitko laskea esim kulmat vektorille jotenkin muuten kuin origon kautta?

Ajatus lähinnä oli, että vektorien arvot eivät voisi osoitinlaskennassakaan saada negatiivisia arvoja. Tarvitaanko muuta kuin origon siirto alussa ja tarvittaessa palautus välivaiheissa / lopputuloksessa. En tiedä, pitäisi käydä joku esimerkki läpi, voisiko se onnistua. Eihän vektorien alku ja loppupisteillä sinällään väliä ole, vain niiden suunnalla, pituudella ja keskinäisillä paikoilla.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Windowsin calculator antaa -2^1 = -2 ja -2 ^2 = 4, eikö tulos välilät -2^1 ja -2^2 pitäisi olla väliltä -2 .... 4. Esim -2 ^1.5, calculatorin mielestä se on "Invalid input for function". Joka ilmeisesti johtuu siitä, että se muodostuu kahdesta osasta -2^1 * -2^.5, joista jälkimmäistä se ei osaa käsitellä eli sqrt(-2) on sille käsittämätön.

No onhan sillä luvulla itseisarvo, jonka suuruus on välillä 2...4, se vain on pyörähtämässä ympäri ja arvo suuntautuu ikäänkuin eri tasoon suhteessa koordinaatiton tasoon. Kuvitteelliseti pituus on esim. kohti katsojaa.

Kompleksiluvuilla laskettaessa käytetään siis hyväksi tuota ominaisuutta, ilmiöissä jotka ilmenevät vastaavalla tavalla.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

ihme, että Davidin fysiikka jutut ovat täyttä puutaheinää, kun tällaisessakin asiassa pitää nollat taulussa pyöritellä omaa pallopäätään....

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Cargo
ihme, että Davidin fysiikka jutut ovat täyttä puutaheinää, kun tällaisessakin asiassa pitää nollat taulussa pyöritellä omaa pallopäätään....

Joudut vielä katkerasti nielemään tuon herjan. Analyysini tilanteesta on todellinen.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

1 = 1^0.5 = [(-1)^2]^0.5 = (-1)^(2*0.5) = (-1)^1 = -1

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
1 = 1^0.5 = [(-1)^2]^0.5 = (-1)^(2*0.5) = (-1)^1 = -1


Noh, jos nyt sentään noudatettaisiin jotain järjestyssääntöjä laskuissakin. Kuitenkin, jos tuossa edellä esittämässäni skenaariossa käytetään imaginääriyksiköitä, niin käsittääkseni luvun itseisarvo saadaan kasvamaan potensissa samalla tavalla kuin lukualueen positiivisellakin puolella. Tätä ajoin takaa.

Toivoisin hieman enemmän yritystä ymmärtää ajatuskuviotani, kuin pyrkimystä niiden osoittamiseen naurettaviksi. Kaikille tämä ei tietenkään ole edes mahdollista, mutta sitten on kyllä parempi pitää suuta soukemmalla. Tämä ei koskenut hmk:n kannanottoa.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
David
Voitaisiinko kompleksilukujen käsittely korvata normaaleilla lukujen käsittelyllä, jos vältettäisiin käyttämästä negatiivisia arvoja.

RATKAISE: x²+1=0 ja sin(x)=2
ilman kompleksilukuja tai "negatiivisia arvoja".

Olen jo valmiina lyömään aasinhatun päähäsi ja niin syvälle, ettet näe näppäimistöä sen alta...

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
David
hmk
1 = 1^0.5 = [(-1)^2]^0.5 = (-1)^(2*0.5) = (-1)^1 = -1


Noh, jos nyt sentään noudatettaisiin jotain järjestyssääntöjä laskuissakin. Kuitenkin, jos tuossa edellä esittämässäni skenaariossa käytetään imaginääriyksiköitä, niin käsittääkseni luvun itseisarvo saadaan kasvamaan potensissa samalla tavalla kuin lukualueen positiivisellakin puolella. Tätä ajoin takaa.

Toivoisin hieman enemmän yritystä ymmärtää ajatuskuviotani, kuin pyrkimystä niiden osoittamiseen naurettaviksi. Kaikille tämä ei tietenkään ole edes mahdollista, mutta sitten on kyllä parempi pitää suuta soukemmalla. Tämä ei koskenut hmk:n kannanottoa.

Joo, en yrittänyt analysoida ideaasi sen enempää, tarkoitukseni oli vain heittää kevennykseksi klassinen 1 = -1 knoppi. Sainpahan 400 viestiä täyteen Pahoittelen häröilyäni...

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Cargo
David
Voitaisiinko kompleksilukujen käsittely korvata normaaleilla lukujen käsittelyllä, jos vältettäisiin käyttämästä negatiivisia arvoja.



RATKAISE: x²+1=0 ja sin(x)=2
ilman kompleksilukuja tai "negatiivisia arvoja".

Ei niitä pystytä ratkaisemaankaan ilman kompleksilukuja, siitähän tässä ei ollut kyse, vaan siitä että voidaanko ne fysikaaliset ilmiöt, joiden ratkomiseen käytetään nykyisin kompleksilukuja ratkoa muulla tavoin. Eli onko kompleksilukujen käyttö täysin välttämätöntä joissain ilmiöissä, vai helpottavatko ne vain laskemista. Unohda nyt se aasinhattu (ei kait se ole tämän palstan tarkoitus, tai voihan se joillekin sitäkin olla) ja keskity itse asiaan.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
tappis
hmk kirjoitti kaavan, jossa 2*0.5=1.
alakoulun matikkaa myötäillen vastaus on 0.25.

Näinköhän.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005

Matemaattisten funktioiden teoria on täydellisempää ja yksinkertaisempaa kompleksiluvuilla.
Kvanttifysiikassa kompleksilukujen käyttö on oleellinen osa teoriaa.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat