Seuraa 
Viestejä8877

Voitaisiinko kompleksilukujen käsittely korvata normaaleilla lukujen käsittelyllä, jos vältettäisiin käyttämästä negatiivisia arvoja.

Periaatteessa esim. x, x^2, x^3, x^4 muodostavat kaikki lukujärjestelmän positiivisella alueella täysin selkeän funktioiden kasvun potenssin kasvaessa. Sitä vastoin negatiiivisella lukualueella funktiot pyörähtävät positiivisesta negatiiviseen jokaisen potessin kokonaisluvun mukaan (murtolukupotenssien arvoilla ne saavat arvoja jostain tältä väliltä) , mikä on omiaan vaikeuttamaan niiden matemaattista hahmottamista.

Jos otetaan esim. yksikköympyrä jossa saadaan esim. kosinille negatiiviset arvot vasemmalla puolella ja sinille negatiiviset arvot alapuolella. Jos koordinaatisto siirrettäisiin alas ja vasemmalle niin, että arvot eivät koskaan voisi saada negatiivisia arvoja, niin huomioimalla säteen r pituus, saadaan napakoordinaatiston etäisyydelle sgrt(2)r, paikassa y=r, x=r, joka voitaisiin huomioida laskuissa erikseen.

Onko kompleksilukujen käyttö välttämätöntä, vai kompensoivatko ne vain negatiivisen lukualueen käytön aiheuttamaa monimutkaisuutta ?

Sivut

Kommentit (25)

H
Seuraa 
Viestejä2622
David
Onko kompleksilukujen käyttö välttämätöntä, vai kompensoivatko ne vain negatiivisen lukualueen käytön monimutkaisuutta ?

Ei kompleksilukuja tarvitse koskaan käyttää. Niitä käytetään, koska ne usein yksinkertaistavat ja nopeuttavat erilaisten kaavojen johtamista ja käsittelyä. Vaikka kyllä joskus vääntö kompleksiluvuilla on hankalampi

Vaimennettu harmoninen värähetelijä on hyvä esimerkki aiheesta. Se johdetaan lukiossa reaaliluvuilla, mutta yliopistossa kompleksiluvuilla.

David
Seuraa 
Viestejä8877

X-akselin positiivisella osalla funktion arvot kasvavat luontaisesti yhtälön asteluvun mukaisesti, mutta negatiivisella puolella arvot pyörivät negatiivisen ja postiiivisen arvon välillä, riippuen reaalisesta asteluvusta.

Tästä johtopäätöksenä voitaisiin ajatella, että vaikka funktion arvo (eli lopputulos) olisikin negatiivinen, sen funktion parametrit tulisivat aina olla positiivisella alueella. Eli nollakohta tulisi valita niin. että parametrien arvot ovat aina kulloinkin tarkasteltavalla välillä positiivisia.

En tiedä, onko tämä käytännössä mahdollista tai edes tarpeellista (todellinen matemaatikko toki hallitsee negatiivistenkin parametrien ja arvojen käsittelyn asteluvuista riippumatta), mutta ehkä se selkiyttäisi tilannetta.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Käytännössä kompleksilukuja kannatta käyttää jo niiden "helppouden" takia.

Joitain peruslaskuja muistaakseni tehtiin ristitulolla ja matriiseilla, mutta niiden käyttö vaati mielestäni paljon enemmän mielikuvitusta. Ja monesti tulee laskettua tarvittavat asiat laskimella, ja matriisien näpyttely ei ole kovin mukavaa hommaa jos laskimena ei ole tietokone.

Ja hyväksi koettu ratkaisu, eli kun kaikki tekee ne kiltisti kompleksiluvuilla, myös työkaverit ymmärtävät mitä on laskettu ja miksi, tai ainakin pitäisi

Ja vaikka laskuihin tekisi koordinaatistomuutoksen em. yksikköympyräesimerkissä, saisi yksinkertaisestakin laskusta hyvin monimutkaisen, kun se vektorin tarkka pituus sekä suunta kuitenkin tarvitaan. Vai meinasitko laskea esim kulmat vektorille jotenkin muuten kuin origon kautta?

Viimeistään yhtälöryhmissä tulisi hassu määrä paperia, jos nyt esimerkkisi jollain tapaa arvasin edes lähelle oikein. No jospa opettelen vain sen yhden toimivan tavan ratkaista laskuja

David
Seuraa 
Viestejä8877
SShadow
Ja hyväksi koettu ratkaisu, eli kun kaikki tekee ne kiltisti kompleksiluvuilla, myös työkaverit ymmärtävät mitä on laskettu ja miksi, tai ainakin pitäisi

Toki, on noita itsekin tullut aikoinaan käytettyä. Vieläpä suhteellisen hyvällä menestyksellä.

SShadow

Ja vaikka laskuihin tekisi koordinaatistomuutoksen em. yksikköympyräesimerkissä, saisi yksinkertaisestakin laskusta hyvin monimutkaisen, kun se vektorin tarkka pituus sekä suunta kuitenkin tarvitaan. Vai meinasitko laskea esim kulmat vektorille jotenkin muuten kuin origon kautta?

Ajatus lähinnä oli, että vektorien arvot eivät voisi osoitinlaskennassakaan saada negatiivisia arvoja. Tarvitaanko muuta kuin origon siirto alussa ja tarvittaessa palautus välivaiheissa / lopputuloksessa. En tiedä, pitäisi käydä joku esimerkki läpi, voisiko se onnistua. Eihän vektorien alku ja loppupisteillä sinällään väliä ole, vain niiden suunnalla, pituudella ja keskinäisillä paikoilla.

David
Seuraa 
Viestejä8877

Windowsin calculator antaa -2^1 = -2 ja -2 ^2 = 4, eikö tulos välilät -2^1 ja -2^2 pitäisi olla väliltä -2 .... 4. Esim -2 ^1.5, calculatorin mielestä se on "Invalid input for function". Joka ilmeisesti johtuu siitä, että se muodostuu kahdesta osasta -2^1 * -2^.5, joista jälkimmäistä se ei osaa käsitellä eli sqrt(-2) on sille käsittämätön.

No onhan sillä luvulla itseisarvo, jonka suuruus on välillä 2...4, se vain on pyörähtämässä ympäri ja arvo suuntautuu ikäänkuin eri tasoon suhteessa koordinaatiton tasoon. Kuvitteelliseti pituus on esim. kohti katsojaa.

Kompleksiluvuilla laskettaessa käytetään siis hyväksi tuota ominaisuutta, ilmiöissä jotka ilmenevät vastaavalla tavalla.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979

ihme, että Davidin fysiikka jutut ovat täyttä puutaheinää, kun tällaisessakin asiassa pitää nollat taulussa pyöritellä omaa pallopäätään....

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

David
Seuraa 
Viestejä8877
Cargo
ihme, että Davidin fysiikka jutut ovat täyttä puutaheinää, kun tällaisessakin asiassa pitää nollat taulussa pyöritellä omaa pallopäätään....

Joudut vielä katkerasti nielemään tuon herjan. Analyysini tilanteesta on todellinen.

hmk
Seuraa 
Viestejä1095

1 = 1^0.5 = [(-1)^2]^0.5 = (-1)^(2*0.5) = (-1)^1 = -1

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8877
hmk
1 = 1^0.5 = [(-1)^2]^0.5 = (-1)^(2*0.5) = (-1)^1 = -1


Noh, jos nyt sentään noudatettaisiin jotain järjestyssääntöjä laskuissakin. Kuitenkin, jos tuossa edellä esittämässäni skenaariossa käytetään imaginääriyksiköitä, niin käsittääkseni luvun itseisarvo saadaan kasvamaan potensissa samalla tavalla kuin lukualueen positiivisellakin puolella. Tätä ajoin takaa.

Toivoisin hieman enemmän yritystä ymmärtää ajatuskuviotani, kuin pyrkimystä niiden osoittamiseen naurettaviksi. Kaikille tämä ei tietenkään ole edes mahdollista, mutta sitten on kyllä parempi pitää suuta soukemmalla. Tämä ei koskenut hmk:n kannanottoa.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
David
Voitaisiinko kompleksilukujen käsittely korvata normaaleilla lukujen käsittelyllä, jos vältettäisiin käyttämästä negatiivisia arvoja.

RATKAISE: x²+1=0 ja sin(x)=2
ilman kompleksilukuja tai "negatiivisia arvoja".

Olen jo valmiina lyömään aasinhatun päähäsi ja niin syvälle, ettet näe näppäimistöä sen alta...

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

hmk
Seuraa 
Viestejä1095
David
hmk
1 = 1^0.5 = [(-1)^2]^0.5 = (-1)^(2*0.5) = (-1)^1 = -1


Noh, jos nyt sentään noudatettaisiin jotain järjestyssääntöjä laskuissakin. Kuitenkin, jos tuossa edellä esittämässäni skenaariossa käytetään imaginääriyksiköitä, niin käsittääkseni luvun itseisarvo saadaan kasvamaan potensissa samalla tavalla kuin lukualueen positiivisellakin puolella. Tätä ajoin takaa.

Toivoisin hieman enemmän yritystä ymmärtää ajatuskuviotani, kuin pyrkimystä niiden osoittamiseen naurettaviksi. Kaikille tämä ei tietenkään ole edes mahdollista, mutta sitten on kyllä parempi pitää suuta soukemmalla. Tämä ei koskenut hmk:n kannanottoa.

Joo, en yrittänyt analysoida ideaasi sen enempää, tarkoitukseni oli vain heittää kevennykseksi klassinen 1 = -1 knoppi. Sainpahan 400 viestiä täyteen Pahoittelen häröilyäni...

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8877
Cargo
David
Voitaisiinko kompleksilukujen käsittely korvata normaaleilla lukujen käsittelyllä, jos vältettäisiin käyttämästä negatiivisia arvoja.



RATKAISE: x²+1=0 ja sin(x)=2
ilman kompleksilukuja tai "negatiivisia arvoja".

Ei niitä pystytä ratkaisemaankaan ilman kompleksilukuja, siitähän tässä ei ollut kyse, vaan siitä että voidaanko ne fysikaaliset ilmiöt, joiden ratkomiseen käytetään nykyisin kompleksilukuja ratkoa muulla tavoin. Eli onko kompleksilukujen käyttö täysin välttämätöntä joissain ilmiöissä, vai helpottavatko ne vain laskemista. Unohda nyt se aasinhattu (ei kait se ole tämän palstan tarkoitus, tai voihan se joillekin sitäkin olla) ja keskity itse asiaan.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
tappis
hmk kirjoitti kaavan, jossa 2*0.5=1.
alakoulun matikkaa myötäillen vastaus on 0.25.

Näinköhän.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Tep
Seuraa 
Viestejä827

Matemaattisten funktioiden teoria on täydellisempää ja yksinkertaisempaa kompleksiluvuilla.
Kvanttifysiikassa kompleksilukujen käyttö on oleellinen osa teoriaa.

David
Seuraa 
Viestejä8877
Tep
Matemaattisten funktioiden teoria on täydellisempää ja yksinkertaisempaa kompleksiluvuilla.
Kvanttifysiikassa kompleksilukujen käyttö on oleellinen osa teoriaa.

http://theory.physics.helsinki.fi/~laud ... siikka.pdf
"Kompleksiluvut
-Ei voida mitata
-Kvanttifysiikka vaatii - tarve ollut jo lähes 100 vuotta!
-Mikä on tulkinta? Lisäaulottuvuudet?"

Tässä sitä siis ollaan, ehkäpä kannattaakin satsata hieman enemmän tämän asian pohdiskeluun.
Kukahan neropatti loisi kuvauksen noiden negatiivisten arvojen potenssien muodostamisesta kompleksilukualuetta hyödyntäen (niin että negatiivisen lukualeen potenssien perusteella lasketut itseisarvot vastaisivat positiivisen lukualueen potenssien arvoja, siis sekä potenssien kokonaisluku, -että murtolukualueilla) (siis ottamatta itseisarvoa ennen potenssiin korotusta). Olen törmännyt tässä asiaa tutkiessani mm, archimereen spiraaleihin ja logaritmisiin spiraaleihin sekä eulerin kaavaan yms. Keskittyminen ei vain ole nyt aivan topissa, joten täytyy jatkaa myöhemmin pähkäilyä, ellei jollain ole valmista ratkaisua tarjota.

Tep
Seuraa 
Viestejä827

En oikein ymmärrä David, mikä on pohjimmainen motiivi kompleksilukujen karttamiselle. Ovatko ne mielestäsi liian hankalia, vai etko ole jaksanut perehtyä niihin kunnolla. Minusta ne helpottavat laskuja. Insinööritkin käyttävät niitä aaltojen esittämisessä.
Laudaturseminaarissa esitetty kvanttimekaaniikan kompleksilukujen ihmettely ei vielä ole mikään vakavasti otettava syy niiden hylkäämiselle. Nämä kvanttimekaniikan kompleksiarvoiset luvut ei ole tarkoitettukaan mitattaviksi. Kaikki mittausten odotusarvot ovat kylläkin reaalisia.
Fysiikan teoria on usein abstraktia, ei sitä pidä väkisin vääntää reaalimuotoon.

totinen
Seuraa 
Viestejä4887
Tep
En oikein ymmärrä David, mikä on pohjimmainen motiivi kompleksilukujen karttamiselle.



Ehkäpä jotain tämäntapaista:
Physorg
New trigonometry is a sign of the times

Mathematics students have cause to celebrate. A University of New South Wales academic, Dr Norman Wildberger, has rewritten the arcane rules of trigonometry and eliminated sines, cosines and tangents from the trigonometric toolkit.

Dr Wildberger has replaced traditional ideas of angles and distance with new concepts called "spread" and "quadrance".

"Rational trigonometry replaces sines, cosines, tangents and a host of other trigonometric functions with elementary arithmetic."

"For the past two thousand years we have relied on the false assumptions that distance is the best way to measure the separation of two points, and that angle is the best way to measure the separation of two lines.

http://www.physorg.com/news6555.html

Kirjan voi tilata tuolta:
http://wildegg.com/

Wikipedian artikkeli:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_trigonometry

David
Seuraa 
Viestejä8877
Tep
En oikein ymmärrä David, mikä on pohjimmainen motiivi kompleksilukujen karttamiselle.

Johtopäätöksesi on hieman virheellinen tässä kohdin. Kyse ei ole niinkään kompleksilukujen karttamisesta vaan enemmänkin mielenkiinnosta niitä kohtaan.

Tep

Ovatko ne mielestäsi liian hankalia, vai etko ole jaksanut perehtyä niihin kunnolla. Minusta ne helpottavat laskuja. Insinööritkin käyttävät niitä aaltojen esittämisessä.
Niin minäkin varmaan tekisin, jos työssäni tarvetta ilmenisi. Eivät ole hankalia, joskin taidot niiden käytössä saattavat kaivata pientä uudelleenvirittämistä.

Tep

Laudaturseminaarissa esitetty kvanttimekaaniikan kompleksilukujen ihmettely ei vielä ole mikään vakavasti otettava syy niiden hylkäämiselle. Nämä kvanttimekaniikan kompleksiarvoiset luvut ei ole tarkoitettukaan mitattaviksi. Kaikki mittausten odotusarvot ovat kylläkin reaalisia.
Fysiikan teoria on usein abstraktia, ei sitä pidä väkisin vääntää reaalimuotoon.

Jos niistä nyt jotain pitää tikulla esiin kaivaa niin se, että ne eivät noudata normaalia aritmetiikkaa ja ovat siinä mielessä poikkeava lukualue.

Pääaiheena tässä vaiheessa oli kuitenkin se miten negatiivisen alueen kuvaajat saadaan "symmetrisiksi" positiivisen alueen kuvaajiksi y-akselin suhteen. Negatiivisella puolellahan parilliset potenssit muodostuvat x^a + 0*i^2*x^a periaatteella ja parittomat vastaavasti 0*x^a + i^2x^a periaatteella. Eli negatiiviset y:n arvot vastaavat periaatteessa imaginääriarvoja. Entäs vastaavat arvot muilla kuin a:n kokonaisluvuilla?

Jatkona tälle olisi, voidaanko sama asia toteuttaa muulla tavoin, niin että saavutettaisiin normaali aritmeettinen yhteneväisyys muiden lukualueiden kanssa, joko korvaavalla matematiikalla tai kompleksilukujen laskentaa täydentämällä.

Edit: Totisen viittaus tuossa edellä on mielenkiintoinen ja vähintäänkin sivuaa tätä asiaa.

Tep
Matemaattisten funktioiden teoria on täydellisempää ja yksinkertaisempaa kompleksiluvuilla. Kvanttifysiikassa kompleksilukujen käyttö on oleellinen osa teoriaa.

Ja paskat on. Jos joku sunnuntaifyysikko viitsisi kvanttifysiikkaan perehtyä, kompleksiluvut tuskin olisivat mikään autuus ilmiöiden syy-seuraus symmetriaan, sillä ennen pitkään hän törmäisi siihen matemaattisen formalismin pullonkaulaan, että pohjimmiltaan positiivinen ja negatiivinen tarkoittavat vain paikkaa suhteessa sovittuun referenssipisteeseen.

Niin sanottu imaginaarinen täydentää reaalisen symmetrian. Yhdessä reaalinen ja imaginaarinen muodostavat kompleksisen symmetrian. Symmetriaa voi tutkia tietokoneella, jolloin voi lopulta havaita, että tarvitaan olio, joka täydentää kompleksilukujen symmetrian. Muodostuneen symmetrian voi sitten edelleen täydentää vieläkin etäisemmällä oliolla, jne.

Tällaisilla olioilla laskuja paperilla ei pyörittele enää erkkikään, mutta tietokone ei ota kantaa, mitä olioita se käsittelee. Hyvä niin. Itse tutkin noita kompleksilukuja harrastuksena 12-14 vuotta, ennen kuin se muutaman kohdan rekursiivinen symmetria hahmottui jotenkin sieltä usvan takaa. Tuona aikana opin, että erilaisia paskafunktioita ja syy-seuraus symmetrioita matematiikassa on enemmän, kuin mihin on aikaa ja kiinnostusta perehtyä. Esim. |e^(xi+yj+zk+...)|=1. Onko se kompleksiluku nyt sitten niin kauhean oleellinen, jos edelleen kompleksiluvuillakin |e^xi|=1

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat