Kilpikonna ja juoksija

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Luultavasti suurin osa on kuullut joskus tämän mielenkiintoisen ongelman, jota muinaisessa Kreikassa matematiikka-veljeskunnat pohtivat:

Juoksija lähtee 10km taaempaa kuin kilpikonna. Juoksia etenee 100m siinä ajassa, kun kilpikonna etenee 10m.

Väite on, ettei juoksija saavuta koskaan kilpikonnaa.

Tosin, itse olen sitä mieltä, että juoksija saavuttaa kilpikonnan, itse asiassa hyvinkin nopeasti. Mutta miksi oletetaan, että juoksija ei saisi kilpikonnaa kiinni, vai onko jokin luvuista väärin?

Sivut

Kommentit (41)

Vierailija

Alunperin tuossa on ajatuksena, että juoksijan juostua 10 km. Kilpikonna on päässyt kilometrin. Kun juoksija on juossut sen kilpikonnan etenemän kilometrin, kilpikonna on edennyt 100 metriä lisää. Juoksija juoksee 100 metriä, kilpikonna etenee 10 m. Juoksija juoksee 10 metriä, kilpikonna etenee tällä välin metrin. Juoksija juoksee sen metrin, kilpikonna pysyy hyvin edellä edettyään 10 cm...

Tuolla tavalla laskien juoksija ei siis saa kilpikonnaa kiinni, koska konna ehtii aina edetä jonkin matkaa, ennen kuin juoksija saavuttaa edellisen kilpikonnan etappipisteen.

Vierailija

Hämätään sanomalla, että kun juoksija vihdoin saavuttaa paikan, jossa kilpikonna oli äsken, konna onkin ehtinyt etenemään tuosta paikasta vähäsen. Ja sama uudestaan.

Tällä tavalla tarkastelu lähenee rajatta sitä hetkeä, jossa juoksija on juuri ohittamassa kilpparia. Tarkasteltavien kohtien aikaväli lyhenee jatkuvasti: jos ohitus tapahtuu vaikkapa sekuntikellon näyttäessä 10:50, niin tuota hetkeä ei lainkaan saavuteta, vaan tarkastellaan aikoja 10:49, 10:499, 10:4999 jne. Jos edetään tasaisella ajankululla, juoksija ohittaa kilpparin aivan normaalisesti.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Paradoksin ratkaisu on siinä ettei ajattele tilannetta vain kolmeen ulottuvuuteen (tai tasoon (xy), tai suoraan(x)) sidottuna vaan lisää yhtälöihin ajan ja tarkastelee juoksijan ja kilpikonnan koordinaatistoja x[yz]t-avaruudessa, tai tasolla, tai janalla.

Tällöin ongelman ratkaisu muuttuu triviaaliksi, voidaan määrittää tarkasti molempien paikat ajan funktiona jos tiedetään lähtöpiste sekä molempien nopeudet.

"Paradoksi" siitä saadaan jos unohdetaan että aika kuluu vakionopeudella molemmille (olettaen ettei nopeusero ole aivan suhteellisen valtava).

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Ja höpö, siinä muuta tarvita kuin nopeusero ja matka. 10m/s - 1m/s = 9m/s.
Matka jolla saavuttaa on matkaero alussa jaettun nopeuserolla. Ajalla, joka tästä saadaa kerrotaan nopeamman etenijän nopeus, niin saadaan se ohituspiste nopeamman etenijän lähtöpisteestä. Siinä ei edes ole mitään paradoksia ollutkaan, jos ei sellaista ole haluttu näennäisenä esille nostaa.

Vierailija

Kyllähän se sen ohittaa, jos niiden nopeus on vakio tai kun vauhti ei hidastu liian nopeasti?
Mutta oletetaankos tässä edes sellaista?

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Kyllähän se ihan vakionopeuksiin perustuu,siinä on vain ajan kanssa leikitty. Ei siinä ratkaisussa tarvi edes aikaa käsitellä, nopeussuhteet ja matkaero riittää. Oletetaan että matkaero on 1000m. Nopeusuhteet ovat 1:10.

1000 / s = (10 - 1) / 1
1000 = 9s
s=(111 + 1/9)m
1000 + s = (1111 + 1/9) m

Huom. Mitään merkistystä ei ole sillä mitä kello näyttää, vain nopeussuhteilla on merkitystä.

Vierailija

david, et ole tainnu snaijaa tän asian pointtia.

Kyseessä on ikivanha, kiinnostava matemaattis-filosofinen näennäisparadoksi, ei mikään laskutehtävä

ongelma:
miten nopeammin liikkuva a voi ohittaa hitaamman b:n, kun b on aina ehtinyt edetä eteenpäin paikasta, johon a vasta saapuu?

ratkaisu on jo esitetty.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005
David
Ja höpö, siinä muuta tarvita kuin nopeusero ja matka. 10m/s - 1m/s = 9m/s.

Niinhän minä sanoin.

Olet ottanut uuden termin mukaan tapahtuman kuvaukseen - nimeltään aika, lyhenne t ja yksikkä sekunti (s).

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Herra Tohtori
David
Ja höpö, siinä muuta tarvita kuin nopeusero ja matka. 10m/s - 1m/s = 9m/s.



Niinhän minä sanoin.

Olet ottanut uuden termin mukaan tapahtuman kuvaukseen - nimeltään aika, lyhenne t ja yksikkä sekunti (s).

Jep, mutta kuten sanoin, nopeussuhteet riittää. Matka on aina sama. Kysymykseen koska, voi vastata kahdella tavalla. Toisessa vastaus on annettavissa aikana, joka vaihtelee nopeuksien mukaan vaikka nopeussuhteet pysyvät samoina. Toinen tapa on vastata kysymykseen - koska - matkana, ja tämä vastaus on aina absoluuttisesti sama kunhan nopeussuhteet säilyvät samoina.

Se, että käytin aluksi mukana ajan yksikköä johtui vain siitä, että tällainen standardi on sovittu, jotta nopeuksia voidaan verrata yhteismitallisesti ja yksikäsitteisesti. Toinen voi edetä vaikkapa kolmea lohen nopeutta ja toinen 30 lohen nopeutta.

Kyllähän se aika siellä taustalla kummittelee, mutta on kiva leikkiä ajatuksella tarvitaanko sitä todella.

Edit: Olen joskus väittänyt, että aika on vain energioiden ja voimien synnyttämä ilmentynä. Leikitään vähän tuolla ajatuksella.

Voiman impulssin massakappaleelle aiheuttama nopeuden muutos Ft = mv, toisaalta jos voima vaikuttaa tietyn ajan se vaikuttaa silloin myös tietyn matkan jos nopeus muuttuu sen ansiosta. Ft voitaneen tällöin korvata muodolla Fs, joka taas on sama kuin kiihdyttämiseen käytetty energia, ko matkalla ja jolla saavutetaan nopeus v.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
kaffekuppi
david, et ole tainnu snaijaa tän asian pointtia.

Kyseessä on ikivanha, kiinnostava matemaattis-filosofinen näennäisparadoksi, ei mikään laskutehtävä

ongelma:
miten nopeammin liikkuva a voi ohittaa hitaamman b:n, kun b on aina ehtinyt edetä eteenpäin paikasta, johon a vasta saapuu?

ratkaisu on jo esitetty.


Tuon paradoksin, jonka itsekin sanoin olevan näennäinen, olen kuullut n. 40 vuotta sitten, eikä minulla ole koskaan sen suhteen ollut ymmärtämisvaikeuksia. Ihmettelen vain, miksi sitä on alunperin paradoksina pidetty ( vai onko pidetty ).

Vierailija
Jari
Alunperin tuossa on ajatuksena, että juoksijan juostua 10 km. Kilpikonna on päässyt kilometrin. Kun juoksija on juossut sen kilpikonnan etenemän kilometrin, kilpikonna on edennyt 100 metriä lisää. Juoksija juoksee 100 metriä, kilpikonna etenee 10 m. Juoksija juoksee 10 metriä, kilpikonna etenee tällä välin metrin. Juoksija juoksee sen metrin, kilpikonna pysyy hyvin edellä edettyään 10 cm...

Tuolla tavalla laskien juoksija ei siis saa kilpikonnaa kiinni, koska konna ehtii aina edetä jonkin matkaa, ennen kuin juoksija saavuttaa edellisen kilpikonnan etappipisteen.

Tuossa matkaa jakamalla haeaan pienintä mahdollista etäisyyttä, johon juoksija voi lähestyä kilpikonnaa. Leikki "hidastaa" aikaa ja lyhentää välimatkaa eikä ajatuksen tarkotuksena olekaan muuta kuin lähestyä, ei päästä rinnalle tai ohittaa.

Sama kysymys olisi; kuinka lähelle kilpikonnaa juoksija voi päästä.

Vierailija

Arvoituksen alkuperäisellä keksijällä on ollut ilmeisenä tarkoituksena osoittaa, kuinka arkipäiväisistä, selvistä asiosta saadaan hieman uudelleen muotoilemalla järjenvastaisia.

Vierailija

Tuo paradoksi Akilleus ja kilpikonna on eräs Zenon elealaisen kuuluisia paradokseja, toinen on esim. lentävä nuoli joka ei ikinä saavuta päämääräänsä. Zenon esitti nämä lähinnä argumentaationa pluralismin järjettömyydelle. Viisaat eivät todellakaan antiikin Kreikassa näitä paradoksejaan rahvaalle kertoneet vaan niitä käytettiin koulukuntien keskinäisissä väittelyissä.

Tuo Hilbertin Hotelli ei kyllä ihan samaan kastiin edellisten kanssa lukeudu, se on lähinnä Cantorin joukko-oppiin kuuluva ja sillä pyritään havainnollistamaan luonnollisten lukujen mahtavuuden (aleph-0) ominaisuuksia.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat