tapahtumien todennäköisyydet ja sana "tai"

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Oletetaan että pussissa on kymmenen numeroitua palloa. Sieltä halutaan nostaa yksi tietty haluttu pallo. Miten lasketaan todennäköisyys sille, että ensimmäinen tai toinen tai kolmas jne pallo osuu oikeaan kun niitä sieltä pussista satunnaisesti kauhotaan.
Ensimmäisen TN on 1/10 ja seuraavan 1/9 jne kun aina nostettu pallo heiteteään pois pussista.

Muistaakseni TN laskuissa "ja" käännetään plussamerkiksi, mutta mites sen "tai" kanssa olikaan? Kokeilin tätä ajatuselikkiä aluksi plussalla ja tajusin sen menevän pahasti metsään. Kertomalla näitä keskenään tn menee aika uskomattomaksi jo kolmannen pallon kohdalla. Ei kai sitä "tai" operaattoria pidä kertomerkkinä ilmaista vai miten se nyt menikään?

Useammanlaisia umpikujia olen saavuttanut tätä laskiessani. Viimeisimmässäni kokeilussani tein näin:
Ensimmäinen väärin ja seuraava oikein = 9/10 * 1/ 9 = 0,1
kaksi ekaa väärin ja kolmas oikein = 9/10 * 8/9 * 1/8 = 0,1
jne
Kaikkien vastaukseksi tulee 0,1. Aika outoa. Onko asian laita tosiaan niin että oikeaa palloa säkistä etsiessä usein joutuu viskomaan 9 palloa pois ennen kuin oikea löytyy?

Kommentit (5)

Vierailija

Tee tietokonesimulaatio ja käy läpi miljoona keissiä satunnaisesta lähtötilanteesta.

Teetä työ muualla jos et itse viitsi. Tarjouskilpailu nettiin. Monet itä-Eurooppalaiset opettajat muuten ottaa näitä taskeja, ja teettävät "harjoitustöitä" opiskelijoillaan. Minusta se on ok.

ykskivi
Seuraa 
Viestejä1950
Liittynyt27.3.2006
Tetrafuran
Oletetaan että pussissa on kymmenen numeroitua palloa. Sieltä halutaan nostaa yksi tietty haluttu pallo. Miten lasketaan todennäköisyys sille, että ensimmäinen tai toinen tai kolmas jne pallo osuu oikeaan kun niitä sieltä pussista satunnaisesti kauhotaan.

Homma on helpompi laskea siten, että lasket ensin todennäköisyyden sille, että 3 ensimmäistä palloa *eivät* ole oikeita. Sitten vähennät ko. todennäköisyyden 1:stä ja saat haluamasi todennäköisyyden sille, että jokin kolmesta ensimmäisestä on oikea. eli:

tn = 1 - ((9/10) * (8/9) * (7/8))
tn = 1- (9*8*7/10*9*8)

tn = 1 - (7/10) ) = 0.3

hmm.. todennäköisyys on tietenkin sama kuin sen todennäköisyys, että oikea pallo on mikä tahansa kolmesta nostetusta...

To refuse a hearing to an opinion, because one is sure that it is false, is to assume that one's own certainty is the same thing as absolute certainty. All silencing of discussion is an assumption of infallibility. - John Stuart Mill -

Vierailija

Toisaalta on selvää, että edellä mainittu lasku antoi juuri sen vastauksen kuin antoi. ( 0,3 ). Tämähän vastaa suoraan sitä tilannetta, että nostetaan heti 3 palloa ja katsotaan onko niistä mikään oikea. Jotenkin tämä pallojen väheneminen hämää oudosti.

Rupesi kiinnosatmaan, että missä vaiheessa viimeistään pitäisi tulla se oikea. Niin no tietysti viimeinen pallo on viimeistään oikea, mutta siihen ajautumisen tn on mielestäni aika pieni. Omaan laskelmaani en liiemmin luota, mutta intuitioni mukaan tn pienenee sitä mukaa mitä enemmän palloja on nostettu. Muistaakseni tilastomatikassa usein pidettiin 0,05 tai 0,02 semmoisena raja-arvoja, että jos sen alittaa, niin sitten on niin pieni tn ettei sillä ole merkitystä. Tässäkin olisi kiva laskea, että kuinka mones pallo viimeistään pitäisi olla se oikea. Ainahan om mahdollista ettei sekään ole, mutta sellaisen tapahtuman tn olisi sitten jo huomattavan pieni.

BTW hienot aurinkolasit.

Vierailija

Todennäköisyysmatikassa ja-operandi ilmaistaan kertomalla ja tai-operandi summaamalla.

Oikea numero tulee kolmella ekalla lasketaan siis.

P1 = 1/10 (Tulee ekalla oikein)
P2 = 9/10 * 1/9 (Toisella oikea)
P3 = 9/10 * 8/9 * 1/8 (Kolmannella oikea)

P(Oikeanumero tulee kolmella ekalla pallolla)=P1+P2+P3

Vastaus on siis se 0,3. Näin ainakin uskaltaisin väittää.

EDIT: Olettaen siis, että jokaisessa pallossa on eri numero.

Vierailija
Tetrafuran
Viimeisimmässäni kokeilussani tein näin:
Ensimmäinen väärin ja seuraava oikein = 9/10 * 1/ 9 = 0,1
kaksi ekaa väärin ja kolmas oikein = 9/10 * 8/9 * 1/8 = 0,1
jne



Näin se menee.

Kaikkien vastaukseksi tulee 0,1. Aika outoa. Onko asian laita tosiaan niin että oikeaa palloa säkistä etsiessä usein joutuu viskomaan 9 palloa pois ennen kuin oikea löytyy?



Kuvittele pallot säkissä jo valmiiksi siinä järjestyksessä, jossa ne tullaan poimimaan. Haluttu pallo voi olla kymmenellä eri paikalla tässä järjestyksessä. Jokaista halutun pallon paikkaa vastaa yhtä monta muiden pallojen erilaista järjestystä. Siis vain kymmenesosa ("yksi kymmenestä") järjestyksistä on sellaisia, joissa haluttu pallo on tietyn monennella paikalla. Siitä johtuu tn 0,1.

Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että yhdeksän palloa pitäisi useimmiten nostaa ennen oikean saamista --- sellaisen epäonnisen tapahtuman todennäköisyyshän on vain 0,1.

Rupesi kiinnosatmaan, että missä vaiheessa viimeistään pitäisi tulla se oikea. Niin no tietysti viimeinen pallo on viimeistään oikea, mutta siihen ajautumisen tn on mielestäni aika pieni.

Ei se tn ole sen pienempi kuin muillakaan nostomäärillä. Se on se sama 0,1.

Uusimmat

Suosituimmat