Fysikkaa pikku Einsteineille
Fysikkaa pikku Einsteineille
Viestejä45973
klo 22:51 | 27.10.2007
Parin tehtävän kanssa onkelmia.
1. Laske homogeenisen suoran ympyräkartion hitausmomentti symmetria-akselin suhteen. Kartion korkeus on h ja pohjan säde R. Lopputulos annetaan kokonaismassan M avulla. Käytä hyväksesi kiekon muotoisen kappaleen hitausmomenttia I=mr^2 /2.
Vastaus: 3/10 MR^2
Integroida pitäisi mutta itselläni jää h sinne kummittelemaan.
2. Geostationaarinen satellitti kiertää maapalloa säteellä 42300km. Sädettä pienennetään niin, että pyörähdys ajaksi tulee 24h sijaan 6h, mikä on uusi säde?
Vastaus: 14500km
Yritin pyörimisen säilymislailla, mutta ei.
Kun oletetaan kartion akselin yhtyvän z-akseliin ja kartion pohjan olevan xy-tasossa, niin säteeksi r(z) saadaan
r(z) = R - z*R/h,
missä R on kartion pohjan säde ja h kartion korkeus.
Hitausmomentti dI taas on dz:n paksuiselle kiekolle
dI = π*r(z)^2*dz*ρ*r(z)^2/2,
missä ρ on kiekon tiheys.
Sitten ei tarvitakaan muuta kuin sijoitus ja integrointia välillä 0...h sekä kartion massan M=π*R^2*h*ρ/3 sijoittaminen tuloslausekkeeseen.
Vanha jäärä
Oletko aivan varma, että vastaus on oikein? Itse sain 10575 km kahdella eri tavalla, mutta voin olla väärässäkin.
Pyörimismäärän säilymislakia tuossa ei taida olla järkevää soveltaa. Sen sijaan pitää etsiä se matalampi rata, jossa pyörähdysaika on tuo 6h.
Luulisin, että vastaus on oikein, mutta voin ruveta epäilemään jos muutkin saavat eri tuloksen.
Vihdoinkin sain säädettyä tuon hitausmomentin, kiitos siitä!
Mistä tuossa satelliittitehtävässä pitäisi lähteä liikkeelle?
Olettaisin, että tässä tarkoitetaan ympyräratoja. Lähtisin liikkeelle siitä, että kiertoaika voidaan lausua kiertoradan pituuden ja nopeuden avulla.
T=2pi*R/v
Nopeuden lausekkeen taas voi johtaa lausekkeesta F=ma, missä F on gravitaatiovoima ja a on keskeiskiihtyvyys ympyräradalla. Siitä sen pitäisi lähteä aukenemaan.
Voi olla myös muita tapoja nopeuden ja etäisyyden välisen lausekkeen etsimiseen. Esimerkiksi verrannollisuuskislla voi pärjätä. Voisi lähteä vaikkapa tarkastelemaan keskeiskiihtyvyyden lauseketta. a: täytyy olla kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, ja toisaalta kun sitä vertaa keskeiskiihtyvyyden lausekkeeseen, niin saadaan, että miten ratanopeus suhtautuu etäisyyteen.
Imperator
Jos laitat uudeksi pyörähdysajaksi 4,8h niin saatko oikean vastauksen?
Aiheesta täysin poiketen, tietääkö kukaan satelliittien vauhtia?
Olen aika kauan kummastellut, mitä nopeutta menevätkään.
Satelliittien vauhti riippuu niiden radasta. Matalilla kiertoradoilla vauhtia tarvitaan vajaat 8 km/s, ja korkeammilla sitten vähemmän. Noin äkkiä laskettuna ympyräradalla satelliitin vauhti on v=sqrt(G*M/r), käyttäen yleisimpiä oppikirjamerkintöjä. r onsitten radan säde, lentokorkeus on r-Maan säde.
Ellipsiradoilla vauhti vaihtelee kierroksen aikana ollen nopeimmillaan periapsiksessa (lähimpänä Maata) ja hitaimmillaan apoapsiksessa (kauimpana Maasta).
Minä ainakin saan tuon antamasi tuloksen sillä.
Edit: ja tulos tulee siitä, että yllä mainitsemallani tavalla päädyin siihen, että
T = c*R^(3/2), missä c on vakio.
=> T2/T1 = (R2/R1)^(3/2)
edit2: eräs kirjoitusvirhe korjattu.
havainnollinen kuva:
http://www.freemars.org/jeff/speed/index.htm
En saa, vaan vastaukseksi tulee 8460 km. Aivan loogista kun ajatellaan, kierrosajan lyhentyessä, myös kuljetun matkan(2pi*r) täytyy lyhentyä kierrosnopeuden pysyessä vakiona. Eli laskin tämän näin:
v = r*ω || v on vakio, joten
r1*ω1 = r2*ω2 || ω = φ/t, φ = 1 kierros eli 2pi rad
r1*(2pi/t1) = r2*(2pi/t2)
r2 = (r1*(2pi/t1))/(2pi/t2) ...loppu kaavan pyörittelyä ja sijoittelua.
Kun nyt on ihan oikeat Einsteinit laskutuulleella, niin tarkistakaa samalla näitä laskujani, johon ainoa vastaus toistaiseksi on
Lähetetty: Tor Lok 25, 2007 7:16 pm Viestin aihe: Maapallon pyöriminen, Kuun "karkaaminen"
http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtopic.php?t=23497
Uusi linkki laskuihin, joita olen ennen esittänyt (kuvaa pitää suurentaa selaimessa).
http://kotisivu.dnainternet.net/adslfor ... oongk2.jpg
v ei tässä voi olla vakio, kun radan säde muuttuu.
Eikös satelliitin ratanopus pysy samana, jos kulmanopeuskin muuttuu samalla(ω = φ/t)?
Kulmanopeuskin muuttuu, mutta myös ratanopeus. Ympyräliikkeessä keskeiskiihtyvyyden a = v²/r aiheuttaa painovoima GMm/r², josta sijoittamalla yhtälöön F = ma saa ehdon nopeudelle kullakin etäisyydelle. Tuloksena pitäisi olla se Neutronin mainitsema riippuvuus.
Äh, näinhän se onkin. Enpä ottanu painovoiman muutosta mukaan(pitäs varmaan jatkossa lukea ketjujen viestit tarkemmin). No, olenpa taas hiukan viisaampi. Tänks!
http://www.freemars.org/jeff/speed/index.htm
Perussääntö on siis tämä:
Satelliitti ympyräradalla liikkuu vakionopeudella, joka riippuu ainoastaan planeetan massasta ja etäisyydestä satelliitista planeetan keskipisteeseen.
Karkeasti näitä nopeuksia eri korkeudella voidaan arvioida seuraavan kuvan mukaan:
Korkeus, säde, nopeus, kierroksen periodi, elinaika kyseisellä korkeudella:
The period of a satellite in any orbit, circular or elliptical, is given by Kepler's third law:
P = 2 * pi * SQRT(r^3 / G * M)
where r is the mean radius of the orbit.
Näillä pärjää useimmiten, ellei pyritä hyvin suureen tarkkuuteen.
= = =
Hitausmomentti sekä Maapallolle että Kuulle, Keplerin kolmas laki ynnä useita muita tärkeitä kaavoja tulee esille tässä ketjussa aiemmin anastamassani linkissä:
Uusi linkki laskuihin, joita olen ennen esittänyt (kuvaa pitää suurentaa selaimessa).
http://kotisivu.dnainternet.net/adslfor ... oongk2.jpg
Laskutehtävä on myös analoginen tämän ketju ongelmaan!
Maa-Kuu systeemin impulssimomenttia pidetään vakiona, kun Kuun korkeutta muutetaan.
Olisin todella iloinen, jos joku osaava laskija ottaisi laskujani tarkasteltaviksi ja verifioitaviksi!