Kysymys äärettömyydestä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tuli kavereitten kanssa välitunnilla äärettömyydestä puhuttaessa esille tämmöinen asia mistä nyt löytyy monenlaisia mielipiteitä ja haluttaisiin selvennystä asiaan.
Eli ongelmana on seuraava yhtälö:

∞*∞=∞ |: ∞
∞=1

Eli ääretön on yksi

Kommentit (14)

Vierailija
make42
Tuli kavereitten kanssa välitunnilla äärettömyydestä puhuttaessa esille tämmöinen asia mistä nyt löytyy monenlaisia mielipiteitä ja haluttaisiin selvennystä asiaan.
Eli ongelmana on seuraava yhtälö:

∞*∞=∞ |: ∞
∞=1

Eli ääretön on yksi

Ei ole.
Yhtälössä jaat äärettömän äärettömällä, josta tulee yksi.

Vierailija

Mieti tätä:

Eli jos lukusarjaa 1,2,3,4,... jatkettaisiin äärettömyyksiin, niin eikö viimeinen luku olisi ääretön?

Mutta entäpä jos listaamme toisen lukusarjan: 1,4,9,16,..., jossa kaikki luvut ovat edellisen sarjan neliöitä?

Tämä toinen lukusarja jatkuu tietenkin myös äärettömyyksiin ja siinä on täsmälleen yhtä monta tekijää, kuin ensimmäisessä sarjassa, mutta nyt esiin nousee kysymys: Onko ensimmäisen lukusarjan 'ääretön' yhtä suuri, kuin toisen lukusarjan 'ääretön'? Nehän eivät voi olla yhtä suuret, vai kuinka.

Tämä on Galileon paradoksi ja sinällään osoitus siitä, kuin filosofinen konsepti äärettömyys onkaan.

Tästä syystä 'ääretön' jaettuna 'äärettömällä' ei voi olla 1. Ei ole olemassa täsmällistä määrää, joka kuvaa ääretöntä, eli se ei ole luku aivan klassisessa mielessä, eikä sinällään sovi klassiseen matematiikkaan.

Vierailija
Harrastelija-Ajattelija
Mieti tätä:

Eli jos lukusarjaa 1,2,3,4,... jatkettaisiin äärettömyyksiin, niin eikö viimeinen luku olisi ääretön?

Mutta entäpä jos listaamme toisen lukusarjan: 1,4,9,16,..., jossa kaikki luvut ovat edellisen sarjan neliöitä?

Tämä toinen lukusarja jatkuu tietenkin myös äärettömyyksiin ja siinä on täsmälleen yhtä monta tekijää, kuin ensimmäisessä sarjassa, mutta nyt esiin nousee kysymys: Onko ensimmäisen lukusarjan 'ääretön' yhtä suuri, kuin toisen lukusarjan 'ääretön'? Nehän eivät voi olla yhtä suuret, vai kuinka.

Tämä on Galileon paradoksi ja sinällään osoitus siitä, kuin filosofinen konsepti äärettömyys onkaan.

Tästä syystä 'ääretön' jaettuna 'äärettömällä' ei voi olla 1. Ei ole olemassa täsmällistä määrää, joka kuvaa ääretöntä, eli se ei ole luku aivan klassisessa mielessä, eikä sinällään sovi klassiseen matematiikkaan.

Kyllä ne ovat siinä mielessä aivan yhtä suuria joukkoja, että niillä on sama mahtavuus (kardinaliteetti). Siis on olemassa bijektio joukkojen välillä. Samoin rationaalilukujen joukko on yhtä "suuri" kuin edelliset, mutta esim. reaalilukujen joukko onkin jo "suurempi", eli reaalilukujen joukon kardinaliteetti on luonnollisten lukujen kardinaliteettia suurempi.

Edes laajennetussa reaalilukujen joukossa [−∞, +∞] ei yleensä määritellä ±∞ / ±∞ mutta kylläkin a/±∞, joka määritellään nollaksi.

Vierailija
....siinä mielessä aivan yhtä suuria joukkoja, että niillä on sama mahtavuus (kardinaliteetti). Siis on olemassa bijektio joukkojen välillä. Samoin rationaalilukujen joukko on yhtä "suuri" kuin edelliset, mutta esim. reaalilukujen joukko onkin jo "suurempi", eli reaalilukujen joukon kardinaliteetti on luonnollisten lukujen kardinaliteettia suurempi

Totta, mutta kardinaliteetilla ei ole merkitystä alkuperäisessä kysymyksessä. Ääretön jaettuna Äärettömällä ei ole 1, joka on Galileo Paradoksin pointti ja vastaus ensimmäiseen viestiin.

Jos haluat keskustella esim. äärettömien joukkojen matriksi laskennasta, aloita oma ketju.

Vierailija
Harrastelija-Ajattelija
....siinä mielessä aivan yhtä suuria joukkoja, että niillä on sama mahtavuus (kardinaliteetti). Siis on olemassa bijektio joukkojen välillä. Samoin rationaalilukujen joukko on yhtä "suuri" kuin edelliset, mutta esim. reaalilukujen joukko onkin jo "suurempi", eli reaalilukujen joukon kardinaliteetti on luonnollisten lukujen kardinaliteettia suurempi



Totta, mutta kardinaliteetilla ei ole merkitystä alkuperäisessä kysymyksessä. Ääretön jaettuna Äärettömällä ei ole 1, joka on Galileo Paradoksin pointti ja vastaus ensimmäiseen viestiin.

Jos haluat keskustella esim. äärettömien joukkojen matriksi laskennasta, aloita oma ketju.

Vastasin kysymykseesi " Onko ensimmäisen lukusarjan 'ääretön' yhtä suuri, kuin toisen lukusarjan 'ääretön'? Nehän eivät voi olla yhtä suuret, vai kuinka.", kuten ehkä huomasit.

Katso myös yllä siitä oikeastaan missään lukujoukossa määritellystä merkinnästä ±∞ / ±∞ .

Vierailija

Minusta ääretön = kaaos . Ja jos ymmärtää kaaosta ääretön ei olekaan enää niin ääretön. Mites sitten jos ajatellaan tietokoneen 1 teratavun kovalevyä, joka on 10 Kb vaille täysi vaikka musiikkia, elokuvia, tietokoneohjelmia jne. Eli kovalevy on täynnä ykkösiä ja nollia. Niin sehän taitaa olla hirveä kaaos, joka tuntuu äärettömältä.

Mutta kun meillä tietokone, niin voimme ymmärtää tätä kaaosta ja äärettömyyttä.

No en tiedä. Luovutan vuoroni viisaammille

de Selby
Seuraa 
Viestejä1231
Liittynyt16.3.2005

Iäretön jeattuna iäretön on tietystikin yksi.
Siis yksi kappale ääretöntä.

Ei voi olla vähempää koska kyseessä onpi ääretön eikä enepää koska äärettömän rinnalle ei voi mahtua toista ääretöntä.

Gravity sucks.

Vierailija
de Selby
Iäretön jeattuna iäretön on tietystikin yksi.
Siis yksi kappale ääretöntä.

Ei voi olla vähempää koska kyseessä onpi ääretön eikä enepää koska äärettömän rinnalle ei voi mahtua toista ääretöntä.

Ääretön + 1 = ääretön. Jos jaat ensimmäisen äärettömän toisella äärettömällä, paljonko saat?

de Selby
Seuraa 
Viestejä1231
Liittynyt16.3.2005

Harrastelija-A:
Tuo on hyvä pointti, mutta toisaalta mistä se "1" siihen yhtäkkiä voi ilmestyä - äärettömyyden ulkopuoleltako?

Gravity sucks.

Vierailija
de Selby
Harrastelija-A:
Tuo on hyvä pointti, mutta toisaalta mistä se "1" siihen yhtäkkiä voi ilmestyä - äärettömyyden ulkopuoleltako?

Jos äärettömyyteen päästään laskemalla 1+1+1+1+.... = ääretön, niin eikö silloin muka saisi vielä lisätä yhtä '+1':tä?

Vierailija

Käsitteiden selkeyttämiseksi laitetaanpa tähän laajennetulla reaalilukujen alueella yleisimmin sovitut "laskusäännöt":

a + ∞ = +∞ + a = +∞ --------------- jos a ≠ −∞
a − ∞ = −∞ + a = −∞ --------------- jos a ≠ +∞
a × ±∞ = ±∞ × a = ±∞ ------------- jos a > 0
a × ±∞ = ±∞ × a = ∓∞ ------------- jos a < 0
a / ±∞ = 0 ---------------- jos −∞ < a < +∞
±∞ / a = ±∞ ------------- jos 0 < a < +∞
±∞ / a = ∓∞ ------------- jos −∞ < a < 0

Tuo merkki ∓ tarkoittaa minus-plus.

Eli äärettömään saa kyllä lisätä +1, ja tulos on edelleenkin sama, eli ääretön.

Vierailija
Snaut
Käsitteiden selkeyttämiseksi laitetaanpa tähän laajennetulla reaalilukujen alueella yleisimmin sovitut "laskusäännöt":

a + ∞ = +∞ + a = +∞ --------------- jos a ≠ −∞
a − ∞ = −∞ + a = −∞ --------------- jos a ≠ +∞
a × ±∞ = ±∞ × a = ±∞ ------------- jos a > 0
a × ±∞ = ±∞ × a = ∓∞ ------------- jos a < 0
a / ±∞ = 0 ---------------- jos −∞ < a < +∞
±∞ / a = ±∞ ------------- jos 0 < a < +∞
±∞ / a = ∓∞ ------------- jos −∞ < a < 0

Tuo merkki ∓ tarkoittaa minus-plus.

Eli äärettömään saa kyllä lisätä +1, ja tulos on edelleenkin sama, eli ääretön.

Miksi? Siksikö, että se on 'sovittu sääntö'? Siinä tapauksessa Maa on litteä.

Jos et huomannut, keskustelu on perusteissa, ei säännöissä, jotka perustuvat noihin perusteisiin. Otetaampa tuosta yksi: a jettuna äärettömällä on yhtä suuri kuin nolla. Miksi? Jos a on reaaliluku, niin eikö olisi oikeammin sanoa: on noin nolla, lähes nolla, lähestyy nollaa tms.. Miksi yhtä suuri kuin tuossa tapauksessa?

Vierailija
Harrastelija-Ajattelija
Snaut
Käsitteiden selkeyttämiseksi laitetaanpa tähän laajennetulla reaalilukujen alueella yleisimmin sovitut "laskusäännöt":

a + ∞ = +∞ + a = +∞ --------------- jos a ≠ −∞
a − ∞ = −∞ + a = −∞ --------------- jos a ≠ +∞
a × ±∞ = ±∞ × a = ±∞ ------------- jos a > 0
a × ±∞ = ±∞ × a = ∓∞ ------------- jos a < 0
a / ±∞ = 0 ---------------- jos −∞ < a < +∞
±∞ / a = ±∞ ------------- jos 0 < a < +∞
±∞ / a = ∓∞ ------------- jos −∞ < a < 0

Tuo merkki ∓ tarkoittaa minus-plus.

Eli äärettömään saa kyllä lisätä +1, ja tulos on edelleenkin sama, eli ääretön.




Miksi? Siksikö, että se on 'sovittu sääntö'? Siinä tapauksessa Maa on litteä.

Jos et huomannut, keskustelu on perusteissa, ei säännöissä, jotka perustuvat noihin perusteisiin. Otetaampa tuosta yksi: a jettuna äärettömällä on yhtä suuri kuin nolla. Miksi? Jos a on reaaliluku, niin eikö olisi oikeammin sanoa: on noin nolla, lähes nolla, lähestyy nollaa tms.. Miksi yhtä suuri kuin tuossa tapauksessa?

Et voi tuosta vain hatusta vedellä sääntöjä, vaan ne täytyy asettaa niin, että lukujoukko operaatioineen saa järkevät ominaisuudet. Esim. yllä kuvaamani laajennettu reaalijoukko [−∞, +∞] on täydellinen hila, siis sen jokaisella osajoukolla on supremum ja infinunum. Tuo sinun määritelmäsi johtaisi todennäköisesti hyvin äkkiä sisäisiin riistiriitoihin.

Vierailija
Harrastelija-Ajattelija

Miksi? Siksikö, että se on 'sovittu sääntö'? Siinä tapauksessa Maa on litteä.

Asiat täytyy määritellä jotenkin matematiikassa. Yksi tapa määritellä äärettömyys on sopia, että se on lukujoukon ulkopuolinen alkio, jolle määritellään halutut laskutoimitukset. Mutta tällöin pitää olla tarkkana siinä, että määritelmät eivät tuota ristiriitaa. Tällöin voi käydä esimerkiksi, että emme voi määritellä järkevästi äärettömällä jakamasta (samalla tavalla kuin jos haluamme ottaa äärettömään kuntaan mukaan nollalla jakamisen, niin täytyy luopua jostakin, esimerkiksi distributiivisuudesta ja joudumme luopumaan kunta-rakenteesta).

En ole käynyt läpi tarkasti yksityiskohtia, mutta uskoisin, että reaalilukujen kuntaa (normaali topologialla varustettuna) voisi laajentaa äärettömällä seuraavasti, jos haluaa konstruktion.
Olkoon X kaikkien reaalilukujonojen joukko.
Määritetetään, että ∞ on se X:n osajoukko, jonka alkiot toteuttavat ehdon:
jokaista reaalilukua M kohti on olemassa sellainen lukujonon x = (x_n) indeksi, jonka jälkeen lukujonon x alkiot ovat suurempia kuin M.
Määritetään, että -∞ on se X:n osajoukko, jonka alkiot toteuttavat ehdon:
jokaista reaalilukua M kohti on olemassa sellainen lukujonon x = (x_n) indeksi, jonka jälkeen lukujonon x alkiot ovat pienempiä kuin M.

Samaistetaan lisäksi reaaliluku a joukkoon, joka sisältää vain lukujonon, joka toistaa alkiota a. Kutsutaan näitä samaistettuja reaalilukuja varustettuna joukoilla ∞ ja -∞ laajennetuksi lukusuoraksi. Nyt jos a,b ovat laajennetun lukusuoran alkioita, niin määritellään, että a+b on lukujonojen (a_n +b_n) joukko ja ab on lukujonojen (a_n b_n) joukko, missä (a_n) kuuluu a:han ja (b_n) kuuluu b:hen. Vähennys- ja jakolasku määritellään käänteisalkioiden avulla standarditapaan, mikäli ne ovat olemassa. Täten aidot reaaliluvut käyttäytyvät normaalisti. Lisäksi on helppo nähdä esimerkiksi ∞+∞=∞ ja muut tutut säännöt toteutuvat. Toisaalta joukko ∞-∞ sisältää esimerkiksi lukujonon, joka toistaa nollaa ja lukujonon, joka kuuluu joukkoon ∞, joten se on jotakin laajennetun lukusuoran ulkopuolella.

Sitten alkuperäisen kysyjän kysymykseen eli siihen miksi äärettömällä ei saa jakaa tässä systeemissä. Jos ∞ saisi jakaa, niin on olemassa sellainen laajennetun lukusuoran alkio r, jolla pätee ∞a =1. Koska lukujono (1,2,3,...) kuuluu joukkoon ∞, niin kertolaskun määritelmän nojalla lukujono (1,1/2,1/3,...) kuuluu joukkoon r. Mutta koska (1,1/2,1/3,...) suppenee kohti nollaa, niin se on jokin alkio laajennetun lukusuoran ulkopuolella. Siis äärettömällä ei saa jakaa ja se vastaa alkuperäiseen kysymykseen.

Uusimmat

Suosituimmat