Matematiikka kokeellisena oppiaineena

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Matematiikkalehti Solmun keskustelupalstalla oli äskettäin tällainen kirjoitus, kiinnostaneeko ketään..

MATEMATIIKKA KOKEELLISENA OPPIAINEENA

Oppilaat harvoin tiedostavat, että heidän käyttämänsä kaavat, esim.
polynomit laskulakeineen, heijastavat matematiikan konkreettisen,
kokeellisesti tutkittavissa olevan perustan, lukujen maailman, lakeja.
Tilanne muistuttaa fysiikasta tuttua kaavojen antamista oppilaiden
pyöriteltäväksi ilman niiden pätevyyden minkäänasteista kokeellista
todentamista. Fysiikassa tällainen ymmärretään haitalliseksi ja hylätään
("Matemaattinen luonnonlakinäkökulma yläkoulun fysiikassa", Dimensio
2/2005). Niinpä herää kysymys, miksei matematiikassakin voitaisi kaavoja
systemaattisesti todentaa konkreettisten lukujen laskutoimitusten avulla.
Esimerkiksi fysiikassa ja kemiassa niin tärkeät ja monelle tutkimusten
mukaan vielä lukiossakin vaikeat tekijäyhtälöt eli kaavalaskut voitaisiin
opettaa ensinnä lukujen tuttuja laskutoimituksia sisältävinä muunnoksina
ja vasta tämän "kokeellisen todennuksen" jälkeen - tai sen rinnalla -
siirtyä abstrakteihin kirjainesityksiin. Mottona voisi olla "mikä pätee
luvuilla, pätee kirjaimillakin". Sama koskee polynomilaskennan alkeita
kuten binomien kertolaskua. Tällaisia menetelmiä olen itse kokeillutkin
mielestäni hyvällä menestyksellä. Konkreettisen kautta abstraktiin
siirtymisen ideaa voisi soveltaa kaikilla opiskelun asteilla (vrt.
"Integraalilaskun periaatetta havainnollistava kuvio", MAA 3/1974).
Tämä voisi olla pieni askel matemaattisten aineiden kiinnostavuuden
kohottamispyrkimyksissä.

Sivut

Kommentit (21)

Vierailija

Opiskeluaikana lujuusopin laskut oli niin vaikeita, että oli helpompaa hankkia tai tehdä oikea rautapalkki, laittaa pistekuormat ja tuet, ja mitata muodon muutos.

Vierailija

Nyt meni vähän yli ymmärryksen. Siis jos ne kaavat opetetaan muuttujien avulla niin ei kai mikään estä sijoittamasta muuttujille jotain arvoja? Näin ainakin minun aikana lukio-opetuksessa tehtiin.

Vai minkälaistahan opetusmetodia tuossa nyt tarkoitetaan?

Vierailija
Sarmal
Nyt meni vähän yli ymmärryksen. Siis jos ne kaavat opetetaan muuttujien avulla niin ei kai mikään estä sijoittamasta muuttujille jotain arvoja? Näin ainakin minun aikana lukio-opetuksessa tehtiin.

Vai minkälaistahan opetusmetodia tuossa nyt tarkoitetaan?

Lukioon menevien täytyisi tietysti hallita yläkoulun polynomilaskut, mutta monen kohdalla ei näin ole. Moni ei edes tiedä polynomien olevan vain lukulausekkeiden symbolisia esityksiä. Tähän tietämättömyyteen perustuu paljolti polynomien (ja monien muiden matemaattisten objektien) vierastaminen. Jos esim. binomien kertolasku opetettaisiin ensin luvuilla, niiden todellinen olemus ei jäisi hämärän peittoon. Esimerkiksi (5-2)(1-3) voitaisiin laskea toisaalta 5*1 + 5*(-3) + (-2)*1 + (-2)*(-3) ja toisaalta 3*(-2) ja todeta tulosten olevan samat. Myös korkeampia potensseja sisältäviin polynomilaskuihin voisi perehtyä ensin esiinkirjoitettuja lukuja käyttäen.

Totuus on, että esim. yhtälön 2/x^2=1 tyyppistä yhtälöä ei lukioon tulevista ratkaise hetikään kaikki. Juuri tällaisissa verrantoperustaisissa tapauksissa lukutasolla tapahtuva lausekkeiden sallittujen toimenpiteiden sisäänajo olisi valaisevinta. Lukion fysiikassa suurimman vaikeuden tuottaa tutkitusti kaavalaskujen matemaattinen käsittely. Esimerkiksi kaava QvB=mv^2:r on pelottava, kun ei ymmärretä kirjainten olevan vain piileviä lukuja. Tämä epäkohta poistuisi harjoittelemalla lukujen välisiä verrantoja kuten 10:5=6:3 , ratkaise 3. Oppilaalle tulisi sisäinen varmuus toimintojensa oikeutuksesta, kun tulos tulisi aina oikea.

Vierailija
oge
Opiskeluaikana lujuusopin laskut oli niin vaikeita, että oli helpompaa hankkia tai tehdä oikea rautapalkki, laittaa pistekuormat ja tuet, ja mitata muodon muutos.

Ihan mielenkiinnosta, mitä kysyttiin, jotta helpompaa oli tehdä ko. koe? Kun yksi- ja kaksiaukkoisten palkkien taipumat, leikkausvoimat ja momentit kohdassa x, kiertymät tuilla, tukireaktiot, pistekuormalla, viivakuormalla, millä tahansa jännevälillä, E:llä, I:llä, nivelillä tai momenttijäykillä tuennoilla on annettu taulukkokirjoissa. Onko vielä jokin informaatio minkä voit saada mittaamalla kyseisestä koejärjestelystä? Vai eikö kukaan hoksannut sanoa, että kaikki on jo laskettu ja taulukoitu? Varsinkin saksalaisten toimesta.

Vierailija
P.S.V.
Moni ei edes tiedä polynomien olevan vain lukulausekkeiden symbolisia esityksiä.

Siinä on opetuksessa kyllä jokin pahasti vikana jossa oppilas ei tiedä, että muuttujat kuvaavat lukuja. Toisaalta ei tuo kyllä pitäisi vaatia kuin muutaman minuutin opetuksen. Mielestäni esimerkkisi olivat ihan hyviä, mutta en tajua sitöä, että miten tuota ei tapahtu jo tälläkin hetkellä? Eli ei muutakuin sijoittamaan muuttujille arvoja ja sitten katsomaan, että toteuttaako ne arvot yhtälön. Varsinkin tuo "kahdella tavalla" laskeminen varmasti kasvattaa luottamusta.

Tärkeäähän on se, että muuttujilla laskemisen lopuksi tarkastaa oikeilla lukuarvoilla. Ts. jos ensin ratkaisee "2/x^2=1" yhtälöstä x:n ja sitten sijoittaa alkuperäiseen yhtälöön x tilalle saadun arvon niin yhtälön pitäisi päteä. Tuossahan samantien sitten tulee laskettua noita juttuja myös numeroilla.

Siinä olen kyllä samaa mieltä, että muuttujilla laskeminen on täysin typerää jos niille muuttujille ei missään vaiheessa anneta oikeita lukuarvoja (siis oppimisen kannalta).

Vierailija
RI
oge
Opiskeluaikana lujuusopin laskut oli niin vaikeita, että oli helpompaa hankkia tai tehdä oikea rautapalkki, laittaa pistekuormat ja tuet, ja mitata muodon muutos.



Ihan mielenkiinnosta, mitä kysyttiin, jotta helpompaa oli tehdä ko. koe? Kun yksi- ja kaksiaukkoisten palkkien taipumat, leikkausvoimat ja momentit kohdassa x, kiertymät tuilla, tukireaktiot, pistekuormalla, viivakuormalla, millä tahansa jännevälillä, E:llä, I:llä, nivelillä tai momenttijäykillä tuennoilla on annettu taulukkokirjoissa. Onko vielä jokin informaatio minkä voit saada mittaamalla kyseisestä koejärjestelystä? Vai eikö kukaan hoksannut sanoa, että kaikki on jo laskettu ja taulukoitu? Varsinkin saksalaisten toimesta.

No, jos ollaan realisteja, niin tiedetään että siltapalkki ON oikeasti homogeninen. Toisen pään E tai roo ei todellakaan ole erilainen. No, yleensä tämmöistä ei kysyttykään.

Enkä ole luonnossa nähnyt eläessäni rullaavia tukia palkkien alla.

Onko tämä nyt puhdasta paskaa koko opetus ?

Vierailija
oge
RI
oge
Opiskeluaikana lujuusopin laskut oli niin vaikeita, että oli helpompaa hankkia tai tehdä oikea rautapalkki, laittaa pistekuormat ja tuet, ja mitata muodon muutos.



Ihan mielenkiinnosta, mitä kysyttiin, jotta helpompaa oli tehdä ko. koe? Kun yksi- ja kaksiaukkoisten palkkien taipumat, leikkausvoimat ja momentit kohdassa x, kiertymät tuilla, tukireaktiot, pistekuormalla, viivakuormalla, millä tahansa jännevälillä, E:llä, I:llä, nivelillä tai momenttijäykillä tuennoilla on annettu taulukkokirjoissa. Onko vielä jokin informaatio minkä voit saada mittaamalla kyseisestä koejärjestelystä? Vai eikö kukaan hoksannut sanoa, että kaikki on jo laskettu ja taulukoitu? Varsinkin saksalaisten toimesta.



No, jos ollaan realisteja, niin tiedetään että siltapalkki ON oikeasti homogeninen. Toisen pään E tai roo ei todellakaan ole erilainen. No, yleensä tämmöistä ei kysyttykään.

Enkä ole luonnossa nähnyt eläessäni rullaavia tukia palkkien alla.

Onko tämä nyt puhdasta paskaa koko opetus ?

Eipä tietenkään. Paska ei ole koskaan puhdasta. Kyllä mielestäni statiikan ja lujuusopin teoreettiset rakennemallit kuvaavat todellisuutta riittävällä tarkkuudella. Olen tehnyt kokeita puu- ja betonirakenteilla, ja aina on laskennalliset kapasiteetit osuneet hyvinkin tarkasti koestetun kapasiteetin kanssa.

Eräällä T-betonipalkilla laskimme olevan kyseisen kuormitusjärjestelyn mukaisesti 596 kN:n tunkkausvoiman kestävyys. Valmistimme betonin, raudoitimme sen laskelmien mukaisesti ja särjimme labran tunkilla, jonka jännitys-venymäkäyrä alkoi osoittaa impotenssia 601 kN:n kohdalla. Suorastaan maagista.

Vierailija
RI
Eräällä T-betonipalkilla laskimme olevan kyseisen kuormitusjärjestelyn mukaisesti 596 kN:n tunkkausvoiman kestävyys. Valmistimme betonin, raudoitimme sen laskelmien mukaisesti ja särjimme labran tunkilla, jonka jännitys-venymäkäyrä alkoi osoittaa impotenssia 601 kN:n kohdalla. Suorastaan maagista.

Teräsbetonin lujuusominaisuuksia tarkemmin tuntematta, arvioisin että tuollainen alle 1% ero teoreettiseen laskelmaan on enemmänkin sattuman sanelema juttu. Systeemissä on kuitenkin mukana itse betoni, sen kemiallinen analyysi, tiivistäminen, terästangot omine muuttujineen sekä voiman mittausepävarmuus.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Eihän matematiikka edes ole aito tiede, koska sen tuloksia ei voi mitata....

EDIT: minusta on tulossa matematiikan ja fysiikan opettaja (toivottavasti pääsen lukioon). Työssäni tuleen taatusti käyttämään havainnollistavia esimerkkejä ja integraalilaskennassa näytän miten ne funktiot saadaan sarjateorian avulla eikä niin että oppilaat nielevät nollat taulussa totuudet anti-derivaattoina. Taskulaskimen hylkäämisestä tulen antamaan bonuspisteitä tentteihin ja muutenkin koitan innostaa analyyttiseen ajatteluun, sillä tuo taito ropisee TV:tä katseltaessa ja PC:llä pelatessa.
Ja vielä nyanssina sen verta, että se oppilas pääsee minun mustallelistalle, joka alkaa puhumaan moniulotteisuudesta muussa kuin vektori-algebran yhteydessä....
ja neekerit laitan istumaan luokan perälle!

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Cargo
...Taskulaskimen hylkäämisestä tulen antamaan bonuspisteitä tentteihin ja muutenkin koitan innostaa analyyttiseen ajatteluun, sillä tuo taito ropisee TV:tä katseltaessa ja PC:llä pelatessa...

En tuota viestiä niin tosissani ottanut, mutta miksi päässälaskutaito niin paljon analyyttisempaa olisi? Kai perulslaskutoimitusten ideat ovat huonoilla päässälaskijoillakin periaatteessa hallussa...

edit: kuten sanan "peruslaskutoimitus" oikeinkirjoituksenkin pitäisi olla.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
bosoni
... mutta miksi päässälaskutaito niin paljon analyyttisempaa olisi? Kai peruslaskutoimitusten ideat ovat huonoilla päässälaskijoillakin periaatteessa hallussa...

Siis tulen vain kannustamaan oppilaita laskemaan päässä ja teen tietysti kokeet sellaisiksi, että niistä selviytyy täydellisesti ilman laskintakin. Analyyttisyyttä sitten stimuloin mielikuvituksen kautta, enkä helmitaulujen....

ja sitten: minusta todellakin tulee opettaja. Fysiikan opintojen ohessa pätevyyden saa miltei kuka tahansa.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
Cargo
Eihän matematiikka edes ole aito tiede, koska sen tuloksia ei voi mitata....

Kyllä matematiikkaa voi konkreettisesti havainnoida. Heitätetään ensin kaikki koordinaatistot ja algebran aksioomat roskakoriin.

Tämän jälkeen sovitaan, että esimerkiksi näyttöpäätteelle hiirellä asetetut pisteet edustavat erästä luonnon ilmiötä. Tämä jälkeen joko itse tai tietokoneen avustuksella suunnitella lukulogiikka, joka pystyy tuon näyttöpäätteelle piirretyn pistejoukon approksimoimaan l. pukemaan funktioksi.

Sitten seuraa lopulta paras osio. Ahaa-elämys, että algebra kuvaakin luontoa. Mutta koulualgebra ja sitä opettavat ovat niin alkeellisella (so. aivopestyllä teoreettisella) tasolla yleensäkin matematiikassa, että taitaa olla vähän liikaa vaadittu...

Vierailija

Pikkusiskolleni (9. luokalla) oli matematiikan laskusäännöt vähän hakusessa, kun koulussa ei oltu ilmeisesti johdettu / todistettu niitä mitenkään fikusti. Hän mm. esitti kysymyksen murtolukuihn liittyen: "Milloin saa laventaa tai supistaa ja milloin ei saa?" Olin vähän hämilläni, mutta lopulta tuli ilmi mitä hän tarkoitti.

Esim:
(4 + 6) / 2 = (2 + 3) / 1 = 2 + 3 = 5.
(4 * 6) / 2 = (2 * 6) / 1 = 2 * 6 = 12

Hän saattoi laskea näin:

(4 + 6) / 2 = (2 + 6) / 1 = 2 + 6 = 8 = väärin
(4 * 6) / 2 = (2 * 3) / 1 = 2 * 3 = 6 = väärin

Yritin sitten selitää tuota laventamista siten, että luvuista otetaan yhteinen tekijä "ulos":

(4 + 6) / 2 = (2*2 + 2*3) / 2 = 2 * (2 + 3) / 2 = 2 / 2 * (2 + 3) = 6

Hänelle oli sitten ihan uusi käsite tuo yhteinen tekijä, vaikka polynomien kertoiminen ja sieventäminen oli jo opetettu.

Tämä kaava oli tuttu:

a * (b + c) = a * b + a * c

Toiseen suuntaan tuo sitten tuntui jo jossain määrin ylivoimaiselta.

Toisaalta jos esim. supistaminen yritettäisiin opettaa tätä kautta:

4 / 6 = 1 * 4 / 6 = x / x * 4 / 6 = (x * 4) / (x * 6), jossa x on mielivaltainen luku

valitaan x = 1/2

... = (1/2 * 4) / (1/2 * 6) = 2 / 3

Ehkä kaikki eivät kuitenkaan sitten ymmärtäisi tai haluaisi ymmärtää, että mistä nämä laskusäännöt juontavat juurensa.

Vierailija
Cargo
EDIT: minusta on tulossa matematiikan ja fysiikan opettaja (toivottavasti pääsen lukioon). Työssäni tuleen taatusti käyttämään havainnollistavia esimerkkejä ja integraalilaskennassa näytän miten ne funktiot saadaan sarjateorian avulla eikä niin että oppilaat nielevät nollat taulussa totuudet anti-derivaattoina. Taskulaskimen hylkäämisestä tulen antamaan bonuspisteitä tentteihin ja muutenkin koitan innostaa analyyttiseen ajatteluun, sillä tuo taito ropisee TV:tä katseltaessa ja PC:llä pelatessa.
Ja vielä nyanssina sen verta, että se oppilas pääsee minun mustallelistalle, joka alkaa puhumaan moniulotteisuudesta muussa kuin vektori-algebran yhteydessä....
ja neekerit laitan istumaan luokan perälle!

Ai jaa. Kyllä noi ajatuksesi tulee vielä useamman kerran jalostumaan, kun vain jaksat odottaa sitä aikuiseksi kasvamista. Mäkin halusin sun iässä ensin lietelantasäiliöiden hitsaajaksi, mutta sitten niitten säiliöiden sisällä aloin ajan kanssa pohtimaan, että entäs jos opiskelisin ensin jonkin vuosikymmenen oma-aloitteisesti matematiikkaa ja algoritmeja, ja että minusta tulisi sitten isona sovelletun matematiikan ammattilainen. Noin siinä sitten kävikin.

Saattaapa olla, että kun ensimmäisen kerran näet tumman kaunottaren märissä rievuissaan jossain rauhallisella pikku saarella, alat ajattelemaan noista tummista ihmisistä vähän toisella lailla.

Itse olen aina valmis tutustumaan uusiin persooniin ottamatta kantaa heidän ihon väriinsä, uskontoonsa, yms. jotka ovat ja saavat olla jokaiselle henkilökohtaisia asioita. Onnea muuten sinne lukioon.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat