Kysymys piistä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tämä kuva sai minut miettimään, että miksei piille pystytä määrittämään täysin tarkkaa arvoa?

Tuossa animaatiossahan nuoli pysähtyy lukusuoralla tuonne kolmosen lähettyville. Eikös se pysähdy tasan yhteen tarkasti määriteltyyn paikkaan? Miksei tämän kohdan arvoa lukusuoralla voida määrittää tarkkaan?

Jos vastauksen pystyy ymmärtämään lukion pari ensimmäistä pitkän matematiikan kurssia käyneenä, niin siitä plussaa. Kiitos.

Sivut

Kommentit (42)

Vierailija

Kyllähän se pysähtyy yhteen tarkasti määriteltyyn paikkaan ja se paikka on pii. Mutta kun tuo pii nyt sattuu olemaan irrationaaliluku, niin sen desimaalikehtitelmä on päättymätön eikä siinä myöskään ole jaksoja, eli et voi esittää kyseistä paikkaa vaikkapa kauniina murtolukuna.

Jos sitävastoin laitat pyörän halakisijaksi vaikkapa 1/pii, niin pyörä pysähtyy paikassa 1.

Vierailija
iffe
Tämä kuva sai minut miettimään, että miksei piille pystytä määrittämään täysin tarkkaa arvoa?

Tuossa animaatiossahan nuoli pysähtyy lukusuoralla tuonne kolmosen lähettyville. Eikös se pysähdy tasan yhteen tarkasti määriteltyyn paikkaan? Miksei tämän kohdan arvoa lukusuoralla voida määrittää tarkkaan?

Jos vastauksen pystyy ymmärtämään lukion pari ensimmäistä pitkän matematiikan kurssia käyneenä, niin siitä plussaa. Kiitos.

Itse yritin oikein kovasti kertaalleen!
Siellä on ainakin 1 virhe todennäköisesti, joten ilmoittakaatte kun löydätte virheen!
Piihän on: Pi=4*Arctan(1) (radiaaninen moodi)

Nyt miten tämä pii lasketaan sitten Taylorin kehitelmällä?
Nyt nimittäin Taylor on määritelty seuraavasti:
f(x)=Sigma(n=oo->0)(f^(n)(x0))*(x-x0)^n/n!

Ja tunnetusti dArctan(x)/dx=1/(1+x^2)
=>df(0)/dx=1/(1+0)=1

d^2(Arctan(x))/dx^2=0*(1+x^2)-1*2*x/(1+x^2)^2
=>-2*0/(1+0)^2=0, kun x=0

d^3(Arctan(x))/dx^3=((1+x^2)^2*(-2)-(-2x)*2x*2*(1+x^2))/
.../(1+x^2)^4
=>(1+x^2)((1+x^2)*(-2)+8x^2)/(1+x^2)^4
=>(-2-2x^2+8x^2)/(1+x^2)^3
=>(6x^2-2)/(1+x^2)^3
=>-2, kun x=0

d^4(6x^2-2)/(x^2+1)^3)/dx)=
=>((x^2+1)^3*12x-(6x^2-2)*2x*3*(x^2+1)^2)/(x^2+1)^6
=>((x^2+1)^2*((x^2+1)*(12x)-(6x^2-2)*6x))/(x^2+1)^6

- Jätänpä tämän nokkelammille!
+ Taistelkaamme!
...Kun kukaan ei kerran suostunut tuota laskemaan teen sen itse!

=>(12x^3+12x-36x^2+12x)/(x^2+1)^4
=>0, kun x=0

d^5((12x^3-36x^2+24x)/(x^2+1)^4)/dx^5
=>((x^2+1)^4*(36x^2-72x+24)-(12x^3-36x^2+24x)*
...*4*2x*(x^2+1)^3)/(x^2+1)^8 )
=>((x^2+1)^3*((x^2+1)(36x^2-72x+24)+...
... (-96x^4+288x^3-192x))/
... (x^2+1)^8 )
=>(36x^4-72x^3+24x^2+36x^2-72x+24-96x^4+288x^3-192x)...
... /(x^2+1)^5
=>(-60x^4+216x^3+48x^2-264x+24)/(x^2+1)^5

d^5(f(0))/dx^5=24=4!

- bogs, bugs, bigs!

Tästä saa sitten:

F(x)=F(x0)+F’(x0)/1+F’’(x0)/2!+...
Arctan(x)=Arctan(0)*x^0/0!+1*x/1!- 2*0/1^2*x^2/2!
+-2*(-1)/1^3*x^3/3!+0*(0/1)*x^4/4!+24/1^5*x^5/5!

Arctan(x)=0+x-x^3/3+x^5/5
Arctan(1)=1-1/3+1/5

Vaikea, perin vaikea on tästä muodosta nähdä arctannille kehitelmää:
x-x^3/3+x^5/5-x^7/7...
Ettei olisi peffasta reväisty?
3 ensimmäistä polynomia vielä toimii, mutta se neljäs...

Barbaari
Seuraa 
Viestejä13621
Liittynyt4.10.2007

Voiko pii mennä tasan mikäli jos hylätään ajatukset 10 numeroisesta lukujärjestelmästä?

Siis voiko piin kautta löytää jonkinlaista uutta numerojärjestelmää joka perustuisi tiettyyn ulottuvuus- luonnonvakioon. Mukaanlukien desimaaliset järjestelmät eri lukujärjestelmille niin voiko pii mennä siten tasan?
Eli onko jonkinlaista "kultaisen piin" järjestelmää olemassa?
Joskus vain olen miettinyt tällaistakin...
Varmaan on moni muukin...

Taisin selittää huonosti mutta kai te ymmärrätte...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Voi piin ottaa lukujärjestelmän kantaluvuksi.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Barbaari
Siis voiko piin kautta löytää jonkinlaista uutta numerojärjestelmää joka perustuisi tiettyyn ulottuvuus- luonnonvakioon.

Valitseppa lukujärjestelmän kantaluvuksi pii ja katso mitä tapahtuu.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
Cargo
Barbaari
Siis voiko piin kautta löytää jonkinlaista uutta numerojärjestelmää joka perustuisi tiettyyn ulottuvuus- luonnonvakioon.

Valitseppa lukujärjestelmän kantaluvuksi pii ja katso mitä tapahtuu.

Kannattaa lukea tämä ketju tarkoin, jos aikoo siirtyä pii-kantaiseen järjestelmään.
Se ei ole aivan niin helppoa kuin äkkisältään voisi kuvitella.

http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtopic.php?t=841

http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtop ... 477#627477

Vierailija
Barbaari
Käsitän käsitän...

Mutta voiko 10 lukujärjestelmää muuttaa niin että piistä tulee rationaaliluku.

Voiko siis lukua pii muuttaa yksinkertaisemmaksi vaihtamalla käytössä olevaa lukujärjestelmää?

Kai tätä on joku mennyt jo kokeilemaan?

Kyllä voi, mutta sillonhan ei ole enää kyseessä 10-lukujärjestelmä. Tuolla toisessa ketjussa mainitussa pii-kantaisessa lukujärjestelmässähän pii on yksinkertaisesti 10.

Vierailija
Snaut
Barbaari
Käsitän käsitän...

Mutta voiko 10 lukujärjestelmää muuttaa niin että piistä tulee rationaaliluku.

Voiko siis lukua pii muuttaa yksinkertaisemmaksi vaihtamalla käytössä olevaa lukujärjestelmää?

Kai tätä on joku mennyt jo kokeilemaan?




Kyllä voi, mutta sillonhan ei ole enää kyseessä 10-lukujärjestelmä. Tuolla toisessa ketjussa mainitussa pii-kantaisessa lukujärjestelmässähän pii on yksinkertaisesti 10.

Piin arvon saa arvioitua seuraavasti:
2*pi=n*((1-cos 360/n)^2+sin^2(360/n))^(1(2)
2*pi=n*(2-2*cos(360/n))^(1/2)
Mitä isomman n:n antaa, sitä lähempänä ollaan piitä...
Pi=3,141592654...
Eli toi on siis n-sivuinen monikulmio..
Arvolla 6 muuten tulloo piiksi tasan 3!
Salomo ainakin tykkäs 6-kulmioista.

Mutta ongelma toki on, miten saataisiin sellainen kosini, että...

Barbaari
Seuraa 
Viestejä13621
Liittynyt4.10.2007

Mutta miten oletetaan että lukujärjestelmän täytyy olla se 10-lukujärjestelmä? Sormien lukumäärästä?

Babylonialaiset käyttivät 12- ja Mayat 20-järjestelmää. Onko olemassa jotain tiettyä lukujärjestelmää jonka avulla piistä tulisi helpommin ymmärrettävä?
Periaatteessa tämä muutos muuttaa desimaalien järjestymistä ainakin jotenkin.

Voiko siis olettaa että eri lukujärjestelmä voisi muuttaa irrationaalisen piin rationaaliluvuksi?

Onko se matemaattisesti mahdollista?

Sori jos tyhmä kysymys.

Vierailija
Barbaari
Mutta miten oletetaan että lukujärjestelmän täytyy olla se 10 luku järjestelmä? Sormien lukumäärästä?

Babylonialaiset käyttivät 12 ja Mayat 20 järjestelmää. Onko olemassa jotain tiettyä lukujärjestelmää jonka avulla piistä tulisi helpommin ymmärrettävä?
Periaatteessa tämä muutos muuttaa desimaalien järjestymistä ainakin jotenkin.

Voiko siis olettaa että eri lukujärjestelmä voisi muuttaa irrationaalisen piin rationaaliluvuksi?

Onko se matemaattisesti mahdollista?

Sori jos tyhmä kysymys.

Periaattessa on mahdollista, jos jokainen askel olisi uudessa lukujärjestelmässä sen 4*(0,x) -muoto.
x=1

Nythän
pi=4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9...)

Joten jokainen uusi "desimaali", ilmaistaisiin tämän uuden lukujärjestelmän 0.x-muotona!

- Eli eka olisi tukkilainen merkintä, sitten 3-lukujärjestelmä, sitten 5-lukujärjestelmä ja tämän jälkeen 7,9,11...

Vierailija
Barbaari
Aihe on mielestäni mielenkiintoinen, mutta kun en ole matemaatikko...

Jos tällainen löytyisi niin meillähän olisi ihan uudenlainen "kultainen leikkaus".

Noh. 4*(1+0.1) on tarkka-arvo, kun kerrotaan tuo 0,1 eli 1/n jokaisella luonnollisella(joukon N) luvulla...
Jokatoisella, ja joka toinen vaihtaa etumerkkiä!

n=1,2.3,4,...

Pi= 4*Sigma(n=1...oo)((2n-1)^(-1)*(-1)^(n+1))

Toi on varmaan ihan tunnettu muotokin, vaikka sen just äsken kekkasin!

Vierailija
Barbaari
Mutta miten oletetaan että lukujärjestelmän täytyy olla se 10-lukujärjestelmä? Sormien lukumäärästä?

Babylonialaiset käyttivät 12- ja Mayat 20-järjestelmää. Onko olemassa jotain tiettyä lukujärjestelmää jonka avulla piistä tulisi helpommin ymmärrettävä?
Periaatteessa tämä muutos muuttaa desimaalien järjestymistä ainakin jotenkin.

Voiko siis olettaa että eri lukujärjestelmä voisi muuttaa irrationaalisen piin rationaaliluvuksi?

Onko se matemaattisesti mahdollista?

Sori jos tyhmä kysymys.

Kyllä voi, mutta kuten tuossa yllä totesiin lukujärjestelmän kantaluvun on silloin oltava irrationaalinen. Pii on siis irrationaalinin kaikissa lukujärjestelmissä jonka kantalukuna on rationaaliluku.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat