Seuraa 
Viestejä45973

Tämä kuva sai minut miettimään, että miksei piille pystytä määrittämään täysin tarkkaa arvoa?

Tuossa animaatiossahan nuoli pysähtyy lukusuoralla tuonne kolmosen lähettyville. Eikös se pysähdy tasan yhteen tarkasti määriteltyyn paikkaan? Miksei tämän kohdan arvoa lukusuoralla voida määrittää tarkkaan?

Jos vastauksen pystyy ymmärtämään lukion pari ensimmäistä pitkän matematiikan kurssia käyneenä, niin siitä plussaa. Kiitos.

  • ylös 0
  • alas 0

Sivut

Kommentit (42)

Kyllähän se pysähtyy yhteen tarkasti määriteltyyn paikkaan ja se paikka on pii. Mutta kun tuo pii nyt sattuu olemaan irrationaaliluku, niin sen desimaalikehtitelmä on päättymätön eikä siinä myöskään ole jaksoja, eli et voi esittää kyseistä paikkaa vaikkapa kauniina murtolukuna.

Jos sitävastoin laitat pyörän halakisijaksi vaikkapa 1/pii, niin pyörä pysähtyy paikassa 1.

iffe
Tämä kuva sai minut miettimään, että miksei piille pystytä määrittämään täysin tarkkaa arvoa?

Tuossa animaatiossahan nuoli pysähtyy lukusuoralla tuonne kolmosen lähettyville. Eikös se pysähdy tasan yhteen tarkasti määriteltyyn paikkaan? Miksei tämän kohdan arvoa lukusuoralla voida määrittää tarkkaan?

Jos vastauksen pystyy ymmärtämään lukion pari ensimmäistä pitkän matematiikan kurssia käyneenä, niin siitä plussaa. Kiitos.

Itse yritin oikein kovasti kertaalleen!
Siellä on ainakin 1 virhe todennäköisesti, joten ilmoittakaatte kun löydätte virheen!
Piihän on: Pi=4*Arctan(1) (radiaaninen moodi)

Nyt miten tämä pii lasketaan sitten Taylorin kehitelmällä?
Nyt nimittäin Taylor on määritelty seuraavasti:
f(x)=Sigma(n=oo->0)(f^(n)(x0))*(x-x0)^n/n!

Ja tunnetusti dArctan(x)/dx=1/(1+x^2)
=>df(0)/dx=1/(1+0)=1

d^2(Arctan(x))/dx^2=0*(1+x^2)-1*2*x/(1+x^2)^2
=>-2*0/(1+0)^2=0, kun x=0

d^3(Arctan(x))/dx^3=((1+x^2)^2*(-2)-(-2x)*2x*2*(1+x^2))/
.../(1+x^2)^4
=>(1+x^2)((1+x^2)*(-2)+8x^2)/(1+x^2)^4
=>(-2-2x^2+8x^2)/(1+x^2)^3
=>(6x^2-2)/(1+x^2)^3
=>-2, kun x=0

d^4(6x^2-2)/(x^2+1)^3)/dx)=
=>((x^2+1)^3*12x-(6x^2-2)*2x*3*(x^2+1)^2)/(x^2+1)^6
=>((x^2+1)^2*((x^2+1)*(12x)-(6x^2-2)*6x))/(x^2+1)^6

- Jätänpä tämän nokkelammille!
+ Taistelkaamme!
...Kun kukaan ei kerran suostunut tuota laskemaan teen sen itse!

=>(12x^3+12x-36x^2+12x)/(x^2+1)^4
=>0, kun x=0

d^5((12x^3-36x^2+24x)/(x^2+1)^4)/dx^5
=>((x^2+1)^4*(36x^2-72x+24)-(12x^3-36x^2+24x)*
...*4*2x*(x^2+1)^3)/(x^2+1)^8 )
=>((x^2+1)^3*((x^2+1)(36x^2-72x+24)+...
... (-96x^4+288x^3-192x))/
... (x^2+1)^8 )
=>(36x^4-72x^3+24x^2+36x^2-72x+24-96x^4+288x^3-192x)...
... /(x^2+1)^5
=>(-60x^4+216x^3+48x^2-264x+24)/(x^2+1)^5

d^5(f(0))/dx^5=24=4!

- bogs, bugs, bigs!

Tästä saa sitten:

F(x)=F(x0)+F’(x0)/1+F’’(x0)/2!+...
Arctan(x)=Arctan(0)*x^0/0!+1*x/1!- 2*0/1^2*x^2/2!
+-2*(-1)/1^3*x^3/3!+0*(0/1)*x^4/4!+24/1^5*x^5/5!

Arctan(x)=0+x-x^3/3+x^5/5
Arctan(1)=1-1/3+1/5

Vaikea, perin vaikea on tästä muodosta nähdä arctannille kehitelmää:
x-x^3/3+x^5/5-x^7/7...
Ettei olisi peffasta reväisty?
3 ensimmäistä polynomia vielä toimii, mutta se neljäs...

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Barbaari
Seuraa 
Viestejä13621

Voiko pii mennä tasan mikäli jos hylätään ajatukset 10 numeroisesta lukujärjestelmästä?

Siis voiko piin kautta löytää jonkinlaista uutta numerojärjestelmää joka perustuisi tiettyyn ulottuvuus- luonnonvakioon. Mukaanlukien desimaaliset järjestelmät eri lukujärjestelmille niin voiko pii mennä siten tasan?
Eli onko jonkinlaista "kultaisen piin" järjestelmää olemassa?
Joskus vain olen miettinyt tällaistakin...
Varmaan on moni muukin...

Taisin selittää huonosti mutta kai te ymmärrätte...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Voi piin ottaa lukujärjestelmän kantaluvuksi.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Barbaari
Siis voiko piin kautta löytää jonkinlaista uutta numerojärjestelmää joka perustuisi tiettyyn ulottuvuus- luonnonvakioon.

Valitseppa lukujärjestelmän kantaluvuksi pii ja katso mitä tapahtuu.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Cargo
Barbaari
Siis voiko piin kautta löytää jonkinlaista uutta numerojärjestelmää joka perustuisi tiettyyn ulottuvuus- luonnonvakioon.

Valitseppa lukujärjestelmän kantaluvuksi pii ja katso mitä tapahtuu.

Kannattaa lukea tämä ketju tarkoin, jos aikoo siirtyä pii-kantaiseen järjestelmään.
Se ei ole aivan niin helppoa kuin äkkisältään voisi kuvitella.

http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtopic.php?t=841

http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtop ... 477#627477

Barbaari
Käsitän käsitän...

Mutta voiko 10 lukujärjestelmää muuttaa niin että piistä tulee rationaaliluku.

Voiko siis lukua pii muuttaa yksinkertaisemmaksi vaihtamalla käytössä olevaa lukujärjestelmää?

Kai tätä on joku mennyt jo kokeilemaan?

Kyllä voi, mutta sillonhan ei ole enää kyseessä 10-lukujärjestelmä. Tuolla toisessa ketjussa mainitussa pii-kantaisessa lukujärjestelmässähän pii on yksinkertaisesti 10.

Snaut
Barbaari
Käsitän käsitän...

Mutta voiko 10 lukujärjestelmää muuttaa niin että piistä tulee rationaaliluku.

Voiko siis lukua pii muuttaa yksinkertaisemmaksi vaihtamalla käytössä olevaa lukujärjestelmää?

Kai tätä on joku mennyt jo kokeilemaan?




Kyllä voi, mutta sillonhan ei ole enää kyseessä 10-lukujärjestelmä. Tuolla toisessa ketjussa mainitussa pii-kantaisessa lukujärjestelmässähän pii on yksinkertaisesti 10.

Piin arvon saa arvioitua seuraavasti:
2*pi=n*((1-cos 360/n)^2+sin^2(360/n))^(1(2)
2*pi=n*(2-2*cos(360/n))^(1/2)
Mitä isomman n:n antaa, sitä lähempänä ollaan piitä...
Pi=3,141592654...
Eli toi on siis n-sivuinen monikulmio..
Arvolla 6 muuten tulloo piiksi tasan 3!
Salomo ainakin tykkäs 6-kulmioista.

Mutta ongelma toki on, miten saataisiin sellainen kosini, että...

Barbaari
Seuraa 
Viestejä13621

Mutta miten oletetaan että lukujärjestelmän täytyy olla se 10-lukujärjestelmä? Sormien lukumäärästä?

Babylonialaiset käyttivät 12- ja Mayat 20-järjestelmää. Onko olemassa jotain tiettyä lukujärjestelmää jonka avulla piistä tulisi helpommin ymmärrettävä?
Periaatteessa tämä muutos muuttaa desimaalien järjestymistä ainakin jotenkin.

Voiko siis olettaa että eri lukujärjestelmä voisi muuttaa irrationaalisen piin rationaaliluvuksi?

Onko se matemaattisesti mahdollista?

Sori jos tyhmä kysymys.

Barbaari
Mutta miten oletetaan että lukujärjestelmän täytyy olla se 10 luku järjestelmä? Sormien lukumäärästä?

Babylonialaiset käyttivät 12 ja Mayat 20 järjestelmää. Onko olemassa jotain tiettyä lukujärjestelmää jonka avulla piistä tulisi helpommin ymmärrettävä?
Periaatteessa tämä muutos muuttaa desimaalien järjestymistä ainakin jotenkin.

Voiko siis olettaa että eri lukujärjestelmä voisi muuttaa irrationaalisen piin rationaaliluvuksi?

Onko se matemaattisesti mahdollista?

Sori jos tyhmä kysymys.

Periaattessa on mahdollista, jos jokainen askel olisi uudessa lukujärjestelmässä sen 4*(0,x) -muoto.
x=1

Nythän
pi=4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9...)

Joten jokainen uusi "desimaali", ilmaistaisiin tämän uuden lukujärjestelmän 0.x-muotona!

- Eli eka olisi tukkilainen merkintä, sitten 3-lukujärjestelmä, sitten 5-lukujärjestelmä ja tämän jälkeen 7,9,11...

Barbaari
Aihe on mielestäni mielenkiintoinen, mutta kun en ole matemaatikko...

Jos tällainen löytyisi niin meillähän olisi ihan uudenlainen "kultainen leikkaus".

Noh. 4*(1+0.1) on tarkka-arvo, kun kerrotaan tuo 0,1 eli 1/n jokaisella luonnollisella(joukon N) luvulla...
Jokatoisella, ja joka toinen vaihtaa etumerkkiä!

n=1,2.3,4,...

Pi= 4*Sigma(n=1...oo)((2n-1)^(-1)*(-1)^(n+1))

Toi on varmaan ihan tunnettu muotokin, vaikka sen just äsken kekkasin!

Barbaari
Mutta miten oletetaan että lukujärjestelmän täytyy olla se 10-lukujärjestelmä? Sormien lukumäärästä?

Babylonialaiset käyttivät 12- ja Mayat 20-järjestelmää. Onko olemassa jotain tiettyä lukujärjestelmää jonka avulla piistä tulisi helpommin ymmärrettävä?
Periaatteessa tämä muutos muuttaa desimaalien järjestymistä ainakin jotenkin.

Voiko siis olettaa että eri lukujärjestelmä voisi muuttaa irrationaalisen piin rationaaliluvuksi?

Onko se matemaattisesti mahdollista?

Sori jos tyhmä kysymys.

Kyllä voi, mutta kuten tuossa yllä totesiin lukujärjestelmän kantaluvun on silloin oltava irrationaalinen. Pii on siis irrationaalinin kaikissa lukujärjestelmissä jonka kantalukuna on rationaaliluku.

Barbaari

Voiko siis olettaa että eri lukujärjestelmä voisi muuttaa irrationaalisen piin rationaaliluvuksi?

Rationaalisuuden standardimääritelmä on lukujärjestelmästä riippumaton. Täten pii on irrationaalinen lukujärjestelmästä riippumatta. Piin esitykset eri lukujärjestelmissä voivat tietenkin olla yksinkertaisempia kuin esimerkiksi 10-kantaisessa järjestelmässä.

starless
pii on irrationaalinen lukujärjestelmästä riippumatta.



Tämä on se hankala kohta josta jo varoitin. Kannattaa lukea ensin
tuolta.

http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtop ... 041#607041

_jone_
Snaut
Kyllä vain. Otetaan lukujärjestelmän kantaluvuksi vaikkapa pii, niin saadaan pii=10. Eli varsin sievä arvo piille!

Juuri näin. Ilmeisesti painovirhe sinulta, mutta pii-kantaisessa järjestelmässä pii olisi vielä lyhemmin ja kompaktimmin tasan 1.

Huomataan, että jopa algebraan lähes kaiken liikenevän aikansa
käyttävä voi mennä ns. vipuun. Näiden kanssa on oltava hyvin tarkkana.

#include
#include
char*C(int a){return calloc(1,a+1);}int main(int h,char**g){int N=h-2?341:atoi(g
[1]),m=N/3.4,i=N,j,k,x,p;char*l,*t,*q=C(N);q[1]=1;for(;i;){l=C(N);t=C(N);x=i--*4
+2;for(k=j=1;k-N;j*=2)j-=(t[k++]=j>x)*x;l[2]=1;j=0;for(k=N;k--;j/=2)l[k]=!((j+=!
l[k]+t[k])&1);free(t);t=C(N);for(j=N;j--;)for(k=N,x=0;l[j]*k--;x/=2)if((p=k+j-1)

;t=C(m);t[1]=1;for(i=2;i++
2+5*(t[j-1]&1))/10;l[j-1]+=(l[j]+=q[i]*t[j])/10;}for(i=2;i
l[1]=46;l[m-3]=0;return puts(l);}[/code:2xr6c1ib]

Siitä sitten laskemaan pii:tä Ei ole kyllä mahdottoman nopea kun nalusin käyttää mahd. vähän merkkejä mutta kyllä tuosta ainakin 300 desimaalia jaksaa odotella. Ilmoitelkaa jos jossain näkyy vielä kompaktimpi koodi.

Parametriksi ohjelma ottaa montako binääriä piin kuvaamiseen käytetään, eli desimaaleja saadaan tästä luvusta noin kolmannes.

Pitänee ilmeisesti kerrata perusteita. Kokonaislukuja ovat nolla, yksi, kaksi,... ja miinus yksi, miinus kaksi jne. En kirjoittanut lukuja numeroilla, koska täällä ilmeisesti sekoitetaan luku ja luvun esitys. Merkinnällä 10 tarkoitetaan yleensä luvun kymmenen kymmenkantaista esitystä, mutta se voi tarkoittaa myös luvun kaksi binääriesitystä tai luvun pii esitystä pii-kannassa. Se, että onko luku kokonaisluku ei riipu siis esitettävästä kannasta, vaan esimerkiksi positiivisia kokonaislukuja ovat vain luvut yksi, kaksi, kolme jne...

Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää kahden kokonaisluvun suhteena. Koska kokonaisluvut ovat esityksestä riippumattomia, niin täten myös rationaalisuus on riippumaton esityksestä. Irrationaaliluvut ovat taasen reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja. Täten myös luvun irrationaalisuus on riippumatonta siitä mikä luvun esitys on. Siis pii on irrationaaliluku, riippumatta siitä miten me piin esitämme.

Se, missä nyt tunnutaan menevän metsään johtunee seuraavasta lauseesta:
jos b on ykköstä suurempi positiivinen kokonaisluku, niin reaaliluku on irrationaalinen jos ja vain jos sen b-kantainen desimaaliesitys on päättömätön ja jaksoton.
Täten b-kantaisissa esityksissä luvun rationaalisuus on yhdenpitävää sen kanssa, että luvulla joko päättyvä tai jaksollinen desimaaliesitys. Tämä ei enää pidä paikkaansa jos kantaluku b ei ole ykköstä suurempi positiivinen kokonaisluku. Vastaesimerkiksi käy vaikkapa se, että piillä on päättyvä desimaaliesitys pii-kantaisessa järjestelmässä.

EDIT: korjattu kantalukuvirhe

starless
Vastaesimerkiksi käy vaikkapa se, että piillä on päättyvä desimaaliesitys pii-kantaisessa järjestelmässä.



Juuh. Siitähän minäkin jo tuolla aiemmin kirjoitin.

Elikkäs:

http://www.tiede.fi/keskustelut/viewtop ... 041#607041

[size=200]_jone_[/size]
Snaut
Kyllä vain. Otetaan lukujärjestelmän kantaluvuksi vaikkapa pii, niin saadaan pii=10. Eli varsin sievä arvo piille!

Juuri näin. Ilmeisesti painovirhe sinulta, mutta [size=200:3lpcl7dp]pii-kantaisessa järjestelmässä pii olisi vielä lyhemmin ja kompaktimmin tasan 1.[/size:3lpcl7dp]

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat