Rotaatio 4-ulottuvuudessa

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Palstalla oli jonkin aikaa sitten kirjoitus jossa pohdittiin että millainen olisi rotaatio 4-ulotteisesa avaruudessa.Minun piti kirjoittaa siitä silloin, mutta en enää löydä sitä joten kirjoitetaan sitten tähän.

Rotaatio 3-ulotteisessa avaruudessa voidaa karakterisoida antamalla kiertoakseli ja kiertokulma tämän akselin ympäri laskettuna annetusta kulman nollakohdasta.
Rotaation täydelliseen kuvaamiseen tarvitaan 3 parametria, jotka voidaan antaa usealla tavalla: esimerkiksi Eulerin kulmat tai vaikkapa antamalla sen pisteen koordinaatit, missä origon kautta kulkeva kiertoakseli leikkaa yksikköpallon. Tähän tarvitaan 2 koordinaattia. Lopuksi vielä kiertokulma, jolloin rotaatio on täysin määrätty. Toinen muunneltu tapa on se että jos tarkastellaan xyz-koordinaatistossa rotaatiota R niin oletetaan kappale K jota käännetään rotaatiolla R uuteen asentoon, ja oletetaan että meillä on kiinnitettynä kappaleeseen K koordinaatisto x'y'z'. akselin z' sijainnin määräämiseen tarvitaan kaksi koordinaattia (yksikköpalllon pinnalta )aivan kuten kiertoakselinkin tapauksessa. Tämän jälkeen kierretään kappaletta z'-akselin ympäri halutun määrän kunnes ollaan halutussa lopputilanteessa - tähän tarvitaan 1 koordinaatti. Siis yhteensä 3 koordinaattia riittää tässäkin tapauksessa.

Entäpä rotaatio 4-ulotteisessa avaruudessa, voidaanko käyttää kiertoakselimetodia, kun lasketaan tarvittavien parametrien lukumäärää? Vastaus on että ei. Syy että sellaisenaan ei voida käyttää on se että 4-rotaatiota ei voida karakterisoida antamalla kiertoakseli, koska sellaista ei yleisessä tapauksessa ole. Sitävastoin voidaan päätellä kuten 3-rotaation tapauksessa. Valitaan yksi akseli - nimetään se nyt vaikka k'-akseliksi - ja joka käännetään haluttuun loppuasentoon. Tämän loppuasennon määräämiseen tarvitaan nyt 3 koordinaattia. Tämän jälkeen kierretään koordinaatistoa, siten että tämä k'-akseli pysyyy paikallaan. Tämä kierto on tavallinen 3-rotaatio,(sillä 4-ulotteisen avaruuden yksi akseli = k'-akseli, on paikallaan) joka vaatii ylläolevan perusteella 3 koordinaattia, joten yhteensä 4-rotaation määräämiseen tarvitaan 3+3=6 koordinaattia.
Tämä on vain yksi tapa laskea tarvittavien koordinaattien lukumäärä, ja ehkä ei edes "havainnollisin".

Syy miksi 4-ulotteisen avaruuden rotaatiolla ei ole yksikäsitteistä kiertoakselia on matemaattinen, jota voisi yrittää havainnollistaa seuraavasti: 3-avaruudessa rotaatiolla on olemassa yksikäsitteinen rotaatioakseli, jonka ympäri kierto tapahtuu. Vaihtoehtoisesti kiertoakseli T määräytyy yksikäsitteisesti, jos annetaan sitä kohtisuora taso KT ja rotaatio on oleellisesti tässä tasossa tapahtuva 2-rotaatio. Huomattavaa on yleisempikin vastaavuus: jokainen origon kautta kulkeva suora määrää yksikäsitteisen tason , joka on kyseistä suoraa vastaan kohtisuora taso. Siis origon kautta kulkevat tasot ovat yksi yhteen vastaavuudessa origon kautta kulkevien suorien kanssa. Kuitenkin dimensiossa 4 origon sisältävä 2-ulotteinen taso ei määrää yksikäsitteista kohtisuoraa, vaan 2-tason.
Nyt pätee seuraava matemaattinen fakta: 4-avaruuden rotaatiolla R on olemassa kaksi keskenään kohtisuoraa tasoa T1 ja T2 ja kulmat a1 ja a2 siten että rotaatio R saadaan kiertämällä esim testikappaletta kulman a1 verran T1-tasossa ja sen jälkeen kulman a2 verran T2-tasossa. Tämä näkyy vielä paremmin valitsemalla 4 ortonormaalia vektoria e1,e2,e3 ja e4 s.e. e1 ja e2 sisältyvät tasoon T1 ja e3 ja e4 tasoon T2.
jos x on 4-avaruuden vektori
x=x1 e1+x2 e2+x3 e3+x4 e4
Rx saadaan kiertämällä vektoria x1 e1+x2 e2 kulman a1 verran tasossa T1 ja kiertämällä vektoria x3 e3+x4 e4 kulman a2 verran tasossa T2 ja laskemalla lopuksi tulokset yhteen.

Eli tiivistäen 4-avaruudessa rotaatio tapahtuu 2 keskenään kohtisuoran kiertotason "ympäri" ja kiertokulmia on 2 kappaletta!
Ja yleistäen 2n-avaruudessa rotaatio tapahtuu n keskenään kohtisuoran kiertotason "ympäri" ja kiertokulmia on n kappaletta!

Kommentit (0)

Uusimmat

Suosituimmat