Laplace muunnos?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Yritän ymmärtää Laplace muunnosta. Mikä on se salaperäinen s-vakio joka aina ilmestyy muunnoksen jälkeen ja miten ja miksi käytetään laplace muunnosta.

Onko jollakulla tarjota jotain käytännönläheistä esimerkkiä laplace muunnoksesta.

Jos laplace muunnan yksinkertaisen funktion 2x niin siitä tulee: 2/s^2

Ok, jos nyt piirretään lineaarinen viiva välille x=-10...10 niin mitä tuo Laplace funktio oikein esittää? Mikä on laplace funktio tulos kun x=5?

Olen yrittänyt päästä kärrylle Laplacesta mutta heikoin tuloksin.
[/img]

Sivut

Kommentit (36)

Vierailija
tabularasa
Yritän ymmärtää Laplace muunnosta. Mikä on se salaperäinen s-vakio joka aina ilmestyy muunnoksen jälkeen ja miten ja miksi käytetään laplace muunnosta.

Onko jollakulla tarjota jotain käytännönläheistä esimerkkiä laplace muunnoksesta.

Jos laplace muunnan yksinkertaisen funktion 2x niin siitä tulee: 2/s^2

Ok, jos nyt piirretään lineaarinen viiva välille x=-10...10 niin mitä tuo Laplace funktio oikein esittää? Mikä on laplace funktio tulos kun x=5?

Olen yrittänyt päästä kärrylle Laplacesta mutta heikoin tuloksin.
[/img]


Siitä on kauan kun noita opiskelin, mutta muistaakseni s on x:n derivaatta ajan t suhteen, eli dx/dt. s^2 taas oli x;n toinen derivaatta ajan suhteen. Saatan muistaa väärinkin.

Vierailija
tabularasa
Yritän ymmärtää Laplace muunnosta. Mikä on se salaperäinen s-vakio joka aina ilmestyy muunnoksen jälkeen ja miten ja miksi käytetään laplace muunnosta.

s ei ole vakio, vaan uusi muuttuja. Jos Laplace-muunnetaan esim. virta i(t), jonka argumenttina on aika, saadaan muunnokseksi I(s). s vastaa tietyssä mielessä taajuutta, eli tehdään muunnos aika-alueesta taajuusalueeseen. Kun yleisesti kondensaattorin impedanssi on 1/(jωC), Laplace-muunnetussa taajuusalueessa kondensaattorin impedanssi (jännitteen ja virran suhde) on 1/(sC). Siis s <-> jω, missä j on imaginaariyksikkö. Enpä osaa sen paremmin selittää, aika vähän on tullut käytettyä tuota piirianalyysissa. Differentiaaliyhtälöissä Fourier-muunnos on vain kivempi.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
tabularasa
Yritän ymmärtää Laplace muunnosta. Mikä on se salaperäinen s-vakio joka aina ilmestyy muunnoksen jälkeen ja miten ja miksi käytetään laplace muunnosta.

Tämä on vähän ympäripyöreä selitys...

Kuten edellä mainittu, niin s on uusi(kompleksinen) muuttuja. Vähän samaan tapaan, kuin Fourierin muunnoksessa muuttujaksi tulee taajuus, kun alkuperäinen funktio oli funktio ajan suhteen.

Oppikirjassa Laplacen muunnos oli johdettu käyttäen fourierin muunnosta ja siitä määritelty sopivia imaginäärisiä muutujia. Ominaisuudet oli johdettu fourierin muunnoksia käyttäen ja fourierin muunnoksien ominaisuudet oli johdettu aiemmin... En osaa kiteyttää kovin lyhyesti, ja muistia pitäisi virkistää paljon, jotta osaisi oikeasti selittää edes pidemmin...

No kuitenkin se muunnos on hyvä työkalu integraalien ja derivaattojen laskemisessa. Derivointi muunnoksen jälkeen muuttuu kertolaskuksi s:n avulla ja integrointi jakolaskuksi. Sopii olettaa, että differentiaaliyhtälön ratkaisu on helppoa silloin! Sittein vain käänteismuunnoksella takaisin alkuperäisiin muuttujiin.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Mielenkiintoista, kiitos bosoni ja deriva.

Jotenkin tuntuu, että kukaan ei oikein osaa tarkasti selittää mikä tuo Laplace on, olen laittanut saman kysymyksen muutamaan physics forumiin ja matematiikkaforumiin ja vastaukset on aika ympäripyöreitä. Teidän vastauksenne ovat selkeimpiä ja parhaimpia tähän mennessä.

Voitteko antaa esimerkin miten Laplace helpottaa tai on hyvä työkalu esim. integraalin laskemisessa kun tuntuu siltä, että se vaan aiheuttaa hämminkiä ainakin omassa pääkopassani. Jos minulla on määrätty yksinkertainen integraali: int(2x dx) välille 5-1 niin miten tuo lasketaan Laplace muunnoksella jos se muuntaa tuon helposti algebralliseen muotoon jakolaskuksi?

Entä voiko Laplacea käyttää jossain muussakin kuin sähkötekniikassa sinikäyrien käpistelyssä ja mitä kompleksiluku S silloin esittäisi?

Vierailija
tabularasa
Mielenkiintoista, kiitos bosoni ja deriva.

Jotenkin tuntuu, että kukaan ei oikein osaa tarkasti selittää mikä tuo Laplace on, olen laittanut saman kysymyksen muutamaan physics forumiin ja matematiikkaforumiin ja vastaukset on aika ympäripyöreitä. Teidän vastauksenne ovat selkeimpiä ja parhaimpia tähän mennessä.

Voitteko antaa esimerkin miten Laplace helpottaa tai on hyvä työkalu esim. integraalin laskemisessa kun tuntuu siltä, että se vaan aiheuttaa hämminkiä ainakin omassa pääkopassani. Jos minulla on määrätty yksinkertainen integraali: int(2x dx) välille 5-1 niin miten tuo lasketaan Laplace muunnoksella jos se muuntaa tuon helposti algebralliseen muotoon jakolaskuksi?

Entä voiko Laplacea käyttää jossain muussakin kuin sähkötekniikassa sinikäyrien käpistelyssä ja mitä kompleksiluku S silloin esittäisi?

Nuo paskiaiset ei osaakaan selittää mitään.

Ensin sinun pitää ymmärtää koordinaatistomuunnokset. Olet Iisalmessa, koordinaateissa 5,3,4 GPS:n mukaan. Mutta 4,7,6 jonkun turistikartan mukaan.

Kartat voi olla eri origo, eri skaala ja eri kulma akseleilla. Laplacessa homma laajenee, että saman asian voit selittää integraalilla, esim käyrän alapuolisen pinta-alan perusteella.

Vanha koordinaatti miehelle oli 180cm pitkä, paino 70kg.
Laplace sanoisi että miehen tilavuus on 150 litraa ja pinta-ala 1.1m2.

Totuus on sama, näkökulma vaihtelee.

Vierailija
Boysen
tabularasa
Mielenkiintoista, kiitos bosoni ja deriva.

Jotenkin tuntuu, että kukaan ei oikein osaa tarkasti selittää mikä tuo Laplace on, olen laittanut saman kysymyksen muutamaan physics forumiin ja matematiikkaforumiin ja vastaukset on aika ympäripyöreitä. Teidän vastauksenne ovat selkeimpiä ja parhaimpia tähän mennessä.

Voitteko antaa esimerkin miten Laplace helpottaa tai on hyvä työkalu esim. integraalin laskemisessa kun tuntuu siltä, että se vaan aiheuttaa hämminkiä ainakin omassa pääkopassani. Jos minulla on määrätty yksinkertainen integraali: int(2x dx) välille 5-1 niin miten tuo lasketaan Laplace muunnoksella jos se muuntaa tuon helposti algebralliseen muotoon jakolaskuksi?

Entä voiko Laplacea käyttää jossain muussakin kuin sähkötekniikassa sinikäyrien käpistelyssä ja mitä kompleksiluku S silloin esittäisi?




Nuo paskiaiset ei osaakaan selittää mitään.

Ensin sinun pitää ymmärtää koordinaatistomuunnokset. Olet Iisalmessa, koordinaateissa 5,3,4 GPS:n mukaan. Mutta 4,7,6 jonkun turistikartan mukaan.

Kartat voi olla eri origo, eri skaala ja eri kulma akseleilla. Laplacessa homma laajenee, että saman asian voit selittää integraalilla, esim käyrän alapuolisen pinta-alan perusteella.

Vanha koordinaatti miehelle oli 180cm pitkä, paino 70kg.
Laplace sanoisi että miehen tilavuus on 150 litraa ja pinta-ala 1.1m2.

Totuus on sama, näkökulma vaihtelee.


Kiitos. Tuo pisti sinun kommenttisi muuallakin, esimerkiksi Paris Hiltonista, oikeaan perspektiiviin.

Vierailija

Mielenkiintoista, että Laplace on oppikirjoissa johdettu Fourierista. Fourier muunnos syntyi kuitenkin Laplacen jälkeen.

Löysin MIT:n professorin Arthur Mattuckin luennon videoidusta luentosarjasta http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-03Spring-2006/VideoLectures/ind...

Luento nro 19: Introduction to the Laplace Transform; Basic Formulas. Kenties tuota parempaa selitystä en löydä.

Jos kuitenkin palautan tuon lisäkysymyksen aiheesta pinnalle:

Voitteko antaa esimerkin miten Laplace helpottaa tai on hyvä työkalu esim. integraalin laskemisessa kun tuntuu siltä, että se vaan aiheuttaa hämminkiä ainakin omassa pääkopassani. Jos minulla on määrätty yksinkertainen integraali: int(2x dx) välille 5-1 niin miten tuo lasketaan Laplace muunnoksella jos se muuntaa tuon helposti algebralliseen muotoon jakolaskuksi?

Entä voiko Laplacea käyttää jossain muussakin kuin sähkötekniikassa sinikäyrien käpistelyssä ja mitä kompleksiluku S silloin esittäisi?

Vierailija

Paris Hiltonista puhuminen oli tahallinen aktivointi trollaus.

Jos semmoinen bimbo voi menestyä, niin jokainen täällä voi.

Kyse on ensinnäkin aloittamisesta, toisekseen sinnikkyydestä.

Näin ainakin uskon. Mutta on se vaan hiton vaikeaa, jos valtio vie kokonaan sen pesämunan, mitä tarvitaan yrityksen aloittamiseen. Jos jäisi edes satanen kuussa käteen, niin saisi hankintoja tehtyä. Mutta ei, 1500 menee veroihin joka kuu, vaikka olisi miljoonien senssit ja asiakaskin jo valmiina. Ei mitään edistystä taas kahteen vuoteen, ja aikaikkuna on kohta ohi. Kirottu maa.

Vierailija
Boysen
Lainaa en saa kun ei ole vakuuksia.

Samassa jamassa kuin Bushmankin siis? Ettäkö systeemi petti? Älä välitä, sama se on Amerikan ihmemaassa. Sielläkin se on fifty-sixty, asutko kartanossa vai pahvilaatikossa.

Vierailija

Mielenkiintoista, että Laplace on oppikirjoissa johdettu Fourierista. Fourier muunnos syntyi kuitenkin Laplacen jälkeen.

Löysin MIT:n professorin Arthur Mattuckin luennon videoidusta luentosarjasta http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-03Spring-2006/VideoLectures/ind...

Luento nro 19: Introduction to the Laplace Transform; Basic Formulas. Kenties tuota parempaa selitystä en löydä.

Jos kuitenkin palautan tuon lisäkysymyksen aiheesta pinnalle:

Voitteko antaa esimerkin miten Laplace helpottaa tai on hyvä työkalu esim. integraalin laskemisessa kun tuntuu siltä, että se vaan aiheuttaa hämminkiä ainakin omassa pääkopassani. Jos minulla on määrätty yksinkertainen integraali: int(2x dx) välille 5-1 niin miten tuo lasketaan Laplace muunnoksella jos se muuntaa tuon helposti algebralliseen muotoon jakolaskuksi?

Entä voiko Laplacea käyttää jossain muussakin kuin sähkötekniikassa sinikäyrien käpistelyssä ja mitä kompleksiluku S silloin esittäisi?

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
tabularasa
Jos minulla on määrätty yksinkertainen integraali: int(2x dx) välille 5-1 niin miten tuo lasketaan Laplace muunnoksella jos se muuntaa tuon helposti algebralliseen muotoon jakolaskuksi?

Tämä kelpaa loistavaksi esimerkiksi, milloin tuosta muunnoksesta ei ole apua. Laitetaan kuitenkin esimerkinomaisesti, kun itseänikin kiinnosti hieman kerrata.

Muutan esimerkkiä mukavuussyistä hieman. Lasketaan intgraali ∫2xdx välillä [0,t]. Tuota tulosta käyttäen saa minkä tahansa määrätyn integraalin funktiosta 2x laskettua.

merkitsen laplacen muunnosta funktiosta f nyt L[f].
f = ∫2xdx välillä [0,t]

=> L[f] = 1/sL[2t] (tässä nyt käytettiin sitä integroinnin helppoutta... loppu onkin sitten hankalampaa)

L[f] = 1/s*∫e^(-st)*2tdt, välillä [0,∞]
osittaisintegroiden tulee
L[f] = 1/s*(2/s²) = 2/s³

Nyt käänteismuunnoksella

g(t) = 1/(2πi)*∫2/s³ * e^(st) ds, välillä [σ-i∞,σ+i∞ ]

muistaakseni muotoa c/s^n muotoisten laplacen muunnosten takaisinmuunnoksen näkee suoraan, jos muistaa jonkin säännön, mutta en näitä vähään aikaan ole laskenut, joten pitää pärjätä muuten:

Jos t > 0 , niin tuo integroitava funktio täyttää Jordaanin lemman ehdon funktion suppenemisesta, jos integroidaan negatiivisen reaaliakselin puolelta jostakin äärellisestä positiivisesta kohdasta alkaen. (integrointireitti on siis puoliympyrä äärettömyyteen reaaliakselin negatiivisella puolella kompleksitasossa ja alkaen joltakin reaaliakselin positiiviselta parametrilta)

Residylausetta käyttäen todetaan, että integraalin arvo on residyn arvo origossa kerrottuna 2πi:llä. (kolmannen kertaluvun napa integrandilla origossa, ja se jää integrointireitin sisään)

=> g(t) = 1/(2πi)*2πi * Res[ 2e^(st)/s³ | s=0 ja kertaluku m=3 ]
= 1/(m-1)!*d^(m-1)/ds^(m-1)[(s-0)^m*2e^(st)/s³] | s=0
= 1/2*d²/ds²[2e^(st)] | s=0
= t²e^(st) | s=0
= t²

Eli tässä tapauksessa se "hyöty" ainakin minulle oli lähinnä useammankin asian kertaamisessa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Kiitos bosoni! Tuossa on pureskeltavaa.

En ehtinyt katsomaan vielä Mattuckin koko luentoa mutta alussa Mattuck kertoo miten Laplace on johdettu ja laskee hyvin yksinkertaisen Laplacemuunnoksen eli muunnetaan f(1). Luvusta 1 tulee Laplace muunnettuna 1/S kun S>0. Kuvaajana tämä on alaspäin laskeva käyrä x:n ja y:n positiivisilla arvoilla. Täytyy jatkaa luentoa eteenpäin.

Nyt kun vielä ymmärtäisi, mitä laplace muunnettu 1 eli 1/S esittää vai esittääkö yhtikäs mitään?

Vierailija

"bosoni"

No kuitenkin se muunnos on hyvä työkalu integraalien ja derivaattojen laskemisessa. Derivointi muunnoksen jälkeen muuttuu kertolaskuksi s:n avulla ja integrointi jakolaskuksi. Sopii olettaa, että differentiaaliyhtälön ratkaisu on helppoa silloin! Sittein vain käänteismuunnoksella takaisin alkuperäisiin muuttujiin./

En vielä kovin syvällisesti ymmärrä integrointia, saati sitten Laplace-muunnoksia, mutta yksi yhtäläisyys pisti silmään.

Kerto- ja jakolasku myös voidaan muuttaa logaritmia hyväksi käyttäen yhteen- ja vähennyslaskuksi ( Niin kuin myös potenssi ja juuri kerto- ja jakolaskuksi).Tarkoittaako siis Laplace-muunnos samaa integroinnille ja derivoinnille ?

Näillä liene ollut suuri merkitys ajassa ennen laskukoneita. Logaritmit on voitu etsiä erikseen lasketuista valmiista taulukoista. On ollut kätevä kiertotie pitkissä (desimaali) laskuissa, joissa on vaadittu suurta tarkkuutta.

No, joku varmaan tuntee historiaa paremmin.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat