Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaako joku johtaa kaavan:
∫(1)/(a^2+x^2)dx=(1/a)arctan(x/a)?

Käytin kaavaa ratkaisun apuna mutta en tajua yhtään mitä tuli tehtyä...

Kommentit (2)

Derivoi funktio arctanx. Tarvitset siihen käänteisfunktion derivoimiskaavaa. Sitten huomaat kyllä, miten integraalikin sujuu.

Ihan ajankulukseni väsäsin tässä tämmöisen.

Käänteisfunktion derivoimiskaava on f’(x) = 1 / g’(y), missä funktio f on funktion g käänteisfunktio (ja päinvastoin). Lisäksi y = f(x) = arctanx. Siis x = g(y) = tany ja g’(y) = 1 + tan²y. Saadaan

d/dx (arctanx) = 1 / (1 + tan²y) = 1 / [1 + tan²(arctanx)] = 1 / (1 + x²)

Ja siis integraalina saadaan

∫ 1 / (1 + x²) dx = arctanx + C.

Ja lopulta

∫ 1 / (a² + x²) dx = 1/a ∫ (1/a) / [1 + (x/a)²] dx = 1/a arctan(x/a) + C

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat