arctan integrointi

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaako joku johtaa kaavan:
∫(1)/(a^2+x^2)dx=(1/a)arctan(x/a)?

Käytin kaavaa ratkaisun apuna mutta en tajua yhtään mitä tuli tehtyä...

Kommentit (2)

Vierailija

Derivoi funktio arctanx. Tarvitset siihen käänteisfunktion derivoimiskaavaa. Sitten huomaat kyllä, miten integraalikin sujuu.

Vierailija

Ihan ajankulukseni väsäsin tässä tämmöisen.

Käänteisfunktion derivoimiskaava on f’(x) = 1 / g’(y), missä funktio f on funktion g käänteisfunktio (ja päinvastoin). Lisäksi y = f(x) = arctanx. Siis x = g(y) = tany ja g’(y) = 1 + tan²y. Saadaan

d/dx (arctanx) = 1 / (1 + tan²y) = 1 / [1 + tan²(arctanx)] = 1 / (1 + x²)

Ja siis integraalina saadaan

∫ 1 / (1 + x²) dx = arctanx + C.

Ja lopulta

∫ 1 / (a² + x²) dx = 1/a ∫ (1/a) / [1 + (x/a)²] dx = 1/a arctan(x/a) + C

Uusimmat

Suosituimmat