Sumean logiikan konnektiivit

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tavallisessa PROPOSOTIOLOGIIKASSA määritellyt konnektiivit ovat kaikille tuttuja, mutta SUMEASSA LOGIIKASSA nämä lienevät vieraampia. Vaikka ne esitellään edellisessä linkissä, niin kirjaan ne tähän lukemisen helpottamiseksi.

⌉A ≡ 1 - A (negaatio)
A Λ B ≡ min(A,B) (konjunktio)
A ∨ B ≡ max(A,B) (disjunktio)

Lisäksi huomautan, että sumeassa logiikassa A,B ∈ [0,1]

Kuten sumean logiikan linkissä sanotaan, niin tämä ei siis ole mikään lukkoon lyöty määritelmä. Kyseessä on vain kaikkein tavanomaisin tapa määritellä ko. konnektiivit. Määritelmäksi kävisi jokin muukin, mikäli se on yhtenevä propositiologiikan konnektiivien kanssa silloin, kun A:n ja B:n totuusarvot ovat variaatioita nollista ja ykkösistä. Siis esimerkiksi seuraava kävisi määritelmäksi:

⌉A ≡ 1 - A (negaatio)
A Λ B ≡ A∙B (konjunktio)
A ∨ B ≡ A + B - A∙B (disjunktio)

Tässä määritelmät on tehty todennäköisyyslaskennan kanssa analogisella tavalla.

KYSYMYS:
Miksi tämä viimeisempi ei ole myös tavanomaisin tapa? Tuo nykyään tavanomaisin tapa mielestäni rikkoo matematiikan analogisuutta ja siten myös yhtenäisyyttä. Ainakin se mielestäni on ns. "symmetriarikko" (fyysikot tykännevät ilmauksesta).

Kommentit (10)

kuningas
Seuraa 
Viestejä1246
Liittynyt10.12.2007

Jos A ja B ovat sumeita, niillä ei ole tarkkaa arvoa vaan esimerkiksi "pieni" tai "suuri".

Tällöin A Λ B ≡ "pieni"∙"suuri", josta ei voi sitten enempää sanoakaan.

Helpompaa on sanoa
A Λ B ≡ min("pieni","suuri"), joka on loogisesti pieni.

War doesn't determine who's right but who's left.

There is no such thing as an atheist in a foxhole.

Vierailija
kuningas
Jos A ja B ovat sumeita, niillä ei ole tarkkaa arvoa vaan esimerkiksi "pieni" tai "suuri".

Tällöin A Λ B ≡ "pieni"∙"suuri", josta ei voi sitten enempää sanoakaan.

Helpompaa on sanoa
A Λ B ≡ min("pieni","suuri"), joka on loogisesti pieni.


Kyllä niille tarkka arvo on tapauskohtaisesti määritettävissä (ei ehken aina, makuasia). Totuusarvo lauseilla ei yleensä ole tavanomaiset 0 tai 1 vaan se on luku väliltä [0,1]. Siis myös 0 ja 1 käyvät ääritapauksina.

Esim. totuusarvo sanonnalle "pieni" voi olla 0,3 tai "melko pieni" 0,4 tai "hyvin pieni" 0,1.

Vierailija
Kale

⌉A ≡ 1 - A (negaatio)
A Λ B ≡ A∙B (konjunktio)
A ∨ B ≡ A + B - A∙B (disjunktio)

Tässä määritelmät on tehty todennäköisyyslaskennan kanssa analogisella tavalla.

KYSYMYS:
Miksi tämä viimeisempi ei ole myös tavanomaisin tapa? Tuo nykyään tavanomaisin tapa mielestäni rikkoo matematiikan analogisuutta ja siten myös yhtenäisyyttä. Ainakin se mielestäni on ns. "symmetriarikko" (fyysikot tykännevät ilmauksesta).

Eikö vallalla oleva tapa ole nimenomaan parempi siksi, koska se ei riko yhtenäisyyttä eikä sekoita turhaan aritmetiikalta näyttävää tavaraa logiikan joukkoon? Jos A ja B ovat 1 ja 0 jonoja..heh tai no ihan mitä vaan niin omasta mielestäni propologiikan notaatio on hyvä. Ja min ja max toimii myös mutta A+B - A ∙ B on minusta turhan hankala esitystapa.

Miten tuo nykyinen tapa on mielestäsi "symmetriarikko"? Minusta taas tuo jälkimmäinen "aritmeettisempi" tapa on se symmetriarikko.

edit: onhan tuo ok jossain bittinikkaroinnissa jos ei halua tai voi käyttää loogisia operaattoreita.

Vierailija
tabularasa
Kale

⌉A ≡ 1 - A (negaatio)
A Λ B ≡ A∙B (konjunktio)
A ∨ B ≡ A + B - A∙B (disjunktio)

Tässä määritelmät on tehty todennäköisyyslaskennan kanssa analogisella tavalla.

KYSYMYS:
Miksi tämä viimeisempi ei ole myös tavanomaisin tapa? Tuo nykyään tavanomaisin tapa mielestäni rikkoo matematiikan analogisuutta ja siten myös yhtenäisyyttä. Ainakin se mielestäni on ns. "symmetriarikko" (fyysikot tykännevät ilmauksesta).




Eikö vallalla oleva tapa ole nimenomaan parempi siksi, koska se ei riko yhtenäisyyttä eikä sekoita turhaan aritmetiikalta näyttävää tavaraa logiikan joukkoon?

Myöhempänä viestissä näytän, että vastaavankaltaista loogista päättelyä harrastetaan jo mm. todennäköisyyslaskennan puolella...

tabularasa
Jos A ja B ovat 1 ja 0 jonoja..heh tai no ihan mitä vaan niin omasta mielestäni propologiikan notaatio on hyvä. Ja min ja max toimii myös mutta A+B - A ∙ B on minusta turhan hankala esitystapa.

Sehän siinä onkin, että sumeassa logiikassa lauseet A ja B eivät ole mitään "nollan ja ykkösten jonoja". Sumeaa logiikkaa se on nimenomaan siksi, että lauseen A totuusarvo ei ole vain "0 tai 1" vaan se on luku väliltä [0,1]. Siis esim. totuusarvo voi olla 0,8 jolloin se on "80%:sti totta". Näissä tilanteissa ei voi millään käyttää propositiologiikasta tuttuja eri konnektiivien totuusarvotaulukkoja, vaan konnektiivien totuusarvoilla täytyy operoida toisella tavalla.

tabularasa
Miten tuo nykyinen tapa on mielestäsi "symmetriarikko"? Minusta taas tuo jälkimmäinen "aritmeettisempi" tapa on se symmetriarikko.

No nyt sitten aloitetaan se todennäköisyyslaskennan kertaus:

Mikäli tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia, niin

P(Ā) = 1 - P(A)
P(A Λ B) = P(A)∙P(B) ja
P(A ∨ B) = P(A) + P(B) - P(A Λ B) = P(A) + P(B) - P(A)∙P(B)

Huomaathan yhtenäisyyden ehdottamani määritelmän kanssa?

Mitä ehdottamani määritelmä sitten tekisi eri tilanteissa? Tarkastellaan erästä esimerkkiä.

Pekka kutsuu sekä Antin että Bossen katsomaan jääkiekkoa kotiinsa. Olkoon lause A = "Antti tulee katsomaan" ja lause B = "Bosse tulee katsomaan". Määritellään propositiologiikasta tuttujen totuusarvojen 1 = "tulee varmasti" ja 0 = "ei varmasti tule" lisäksi 0,5 = "ehkä tulee", 0,25 = "tuskin tulee" ja 0,75 = "luultavasti tulee".

Pekka soittaa sekä Antille että Bosselle ja kumpikin vastaa tahollaan ja toisistaan riippumattomasti, että ehkä tulee katsomaan. Siis lauseen A totuusarvo on 0,5 ja myös lauseen B totuusarvo on 0,5. Tarkastellaan lauseiden A Λ B = "molemmat tulevat katsomaan" ja A ∨ B = "ainakin toinen tulee katsomaan" totuusarvoja. Nyt yleisemmin käytetty määritelmä antaa totuusarvot

A Λ B = min(A,B) = min(0,5 ; 0,5) = 0,5
A ∨ B = max(A,B) = max(0.5 ; 0,5) = 0,5

Siis lauseeseen "molemmat tulevat katsomaan" saadaan totuusarvo 0,5, eli "molemmat ehkä tulevat katsomaan". Myöskin lauseeseen "ainakin toinen tulee katsomaan" saadaan totuusarvo 0,5, eli "ehkä ainakin toinen tulee katsomaan". Molemmat ovat tavallaan oikein, mutta nyanssit puuttuu. Miten ko. lauseille kävisi, jos käytettäisiin ehdottamaani määritelmää? Katsotaanpa.

A Λ B = A∙B = 0,5∙0,5 = 0,25
A ∨ B = A + B - A∙B = 0,5 + 0,5 - 0,5∙0,5 = 0,75

Siis lauseeseen "molemmat tulevat katsomaan" saadaan totuusarvo 0,25, eli "molemmat tuskin tulevat katsomaan". Lauseeseen "ainakin toinen tulee katsomaan" saadaan taas totuusarvo 0,75, eli "luultavasti ainakin toinen tulee katsomaan".

Eikö muka jos useampi sanoo "ehkä" niin mahdollisuus sille että kaikki tulevat, mene epätodennäköisemmäksi? Tai jos useampi sanoo ehkä, niin mahdollisuus että "ainakin yksi tulee" tulee todennäköisemmäksi? Tämä minun määritelmäni ottaa sen huomioon, tavanomaisin tapa määritellä ei.

EDIT: Yksi Bosse oli eksynyt Pekaksi ja typoja.

Vierailija

Virheesi on siinä, että oletat, että sumea logiikka olisi "analoginen" todennäköisyyslaskennan kanssa. Se, että jonkin asian totuusarvo on 0,5 ei tarkoita sitä, että sen todennäköisyys olisi 50%. Jos konjektiivit määritellään haluamallasi tavalla, olemme vain antaneet uuden formuloinnin todennäköisyyslaskennalle. Sumea logiikka ei pyri vastaamaan kysymykseen, että kuinka todennäköinen jokin tapahtuma on, vaan se käsittelee asioita sen kannalta kuinka paljon jokin objekti kuuluu johonkin joukkoon. Sumean logiikan konnektiivit Λ ja ∨ eivät yritä olla analogia todennäköisyyslaskennan vastaavien käsitteiden kanssa kanssa, vaan ne ovat analogisia propositiologiikan konjektiivien Λ ja ∨ kanssa. Vertaa seuraavaa:

(A Λ B ≡ 1) jos ja vain jos (A ≡ 1) ja (B ≡ 1) eli A Λ B ≡ min(A,B) ja
(A ∨ B ≡ 1) jos ja vain jos (A ≡ 1) tai (B ≡ 1) eli A Λ B ≡ max(A,B).

Nyt avaruudelle saadaan aivan toisenlainen mitta, jolloin olemme saaneet luotua jotakin muuta kuin todennäköisyyslaskennan.

Vierailija
starless
Virheesi on siinä, että oletat, että sumea logiikka olisi "analoginen" todennäköisyyslaskennan kanssa. Se, että jonkin asian totuusarvo on 0,5 ei tarkoita sitä, että sen todennäköisyys olisi 50%. Jos konjektiivit määritellään haluamallasi tavalla, olemme vain antaneet uuden formuloinnin todennäköisyyslaskennalle. Sumea logiikka ei pyri vastaamaan kysymykseen, että kuinka todennäköinen jokin tapahtuma on, vaan se käsittelee asioita sen kannalta kuinka paljon jokin objekti kuuluu johonkin joukkoon. Sumean logiikan konnektiivit Λ ja ∨ eivät yritä olla analogia todennäköisyyslaskennan vastaavien käsitteiden kanssa kanssa, vaan ne ovat analogisia propositiologiikan konjektiivien Λ ja ∨ kanssa. Vertaa seuraavaa:

(A Λ B ≡ 1) jos ja vain jos (A ≡ 1) ja (B ≡ 1) eli A Λ B ≡ min(A,B) ja
(A ∨ B ≡ 1) jos ja vain jos (A ≡ 1) tai (B ≡ 1) eli A Λ B ≡ max(A,B).

Nyt avaruudelle saadaan aivan toisenlainen mitta, jolloin olemme saaneet luotua jotakin muuta kuin todennäköisyyslaskennan.


JOS sumean logiikan konnektiivit määriteltäisiin ehdottamallani tavalla, niin ne olisivat analogiset SEKÄ propositiologiikan konnektiivien kanssa ETTÄ todennäköisyyslaskennasta tutun tapahtumien todennäköisyyden käsittelyn kanssa. Vertaa vuorostasi seuraavaa:

(A Λ B ≡ 1) jos ja vain jos (A = 1) ja (B = 1) eli A Λ B ≡ A∙B
(A ∨ B ≡ 1) jos ja vain jos (A = 1) tai (B = 1) eli A ∨ B ≡ A + B - A∙B

Voithan tehdä ikään kuin totuusarvotaulukon määritelmilleni kun A ∈ {0,1} ja B ∈ {0,1} ja todeta, että ne todellakin yhtyvät propositiologiikan vastaaviin totuusarvotaulukkoihin. Ja jos et tämänkään jälkeen usko, niin määritä funktioiden f(A,B) = A∙B, kun (A,B) ∈ [0,1]×[0,1] ja g(A,B) = A + B - A∙B, kun (A,B) ∈ [0,1]×[0,1] suurimmat ja pienimmät arvot ja totea, että suurin arvo 1 ja pienin arvo 0 tulee juuri niissä määrittelyjoukon pisteissä, missä ylempänä väitinkin.

Ja mitat näillä sumean logiikan konnektiivien eri määritelmillä todellakin ovat keskenään erilaiset. Ja voi olla, että joissakin erikoisissa tilanteissa yleisin tapa määritellä konnektiivit olisi käyttökelpoisempi kuin ehdottamani. Epäilen kuitenkin, että harvemmin.

EDIT: Typoja ja parempia merkintöjä

Vierailija
Kale
JOS sumean logiikan konnektiivit määriteltäisiin ehdottamallani tavalla, niin ne olisivat analogiset SEKÄ propositiologiikan konnektiivien kanssa ETTÄ todennäköisyyslaskennasta tutun tapahtumien todennäköisyyden käsittelyn kanssa.

Et lukenut viestiäni tarkasti. Tarkoitus on saada aikaan systeemi, joka juuri EI OLE analoginen todennäköisyyslaskennan kanssa, mutta rajoitettuessa 2-arvoon saamme normaalin propositiologiikan. Sitä paitsi useat moniarvologiikat määrittelevät JA-konnektiivin minimin kautta ja TAI-konnektiivin maksimin avulla. Poikkeuksiakin myös löytyy. Mutta jos sumean logiikan teoreettinen pohja kiinnostaa, niin kannattanee tutustua sumeaan joukko-oppiin.

Vierailija
starless
Kale
JOS sumean logiikan konnektiivit määriteltäisiin ehdottamallani tavalla, niin ne olisivat analogiset SEKÄ propositiologiikan konnektiivien kanssa ETTÄ todennäköisyyslaskennasta tutun tapahtumien todennäköisyyden käsittelyn kanssa.

Et lukenut viestiäni tarkasti. Tarkoitus on saada aikaan systeemi, joka juuri EI OLE analoginen todennäköisyyslaskennan kanssa, mutta rajoitettuessa 2-arvoon saamme normaalin propositiologiikan.

Minkä ihmeen takia on tarkoitus saada aikaan matematiikan osa-alue, joka analogisesti vaikuttaa olevan irrallaan muusta matematiikasta, kun vaihtoehtona on että se ei vaikuttaisi?

starless
Sitä paitsi useat moniarvologiikat määrittelevät JA-konnektiivin minimin kautta ja TAI-konnektiivin maksimin avulla.

Sehän tässä ihmetyttääkin, että miksi?

starless
Mutta jos sumean logiikan teoreettinen pohja kiinnostaa, niin kannattanee tutustua sumeaan joukko-oppiin.

Myönnän ,että tämä on ihan oma ajatelmani. Se ei ole ristiriidassa minkään reunaehdon kanssa. Lisäksi se on mielestäni niin helposti mieleenjuolahtava, että varmasti tätä ovat muutkin matemaatikot pohtineet. Ei minulla ole harhakuvitelmia, että olisin ensimmäinen tätä asiaa tästä vinkkelistä pohtinut. Ihmetyttää vain, miksi tämä min-max-määritelmä on ilmeisesti useammankin asiaan perehtyneen matemaatikon mielestä tavallisesti käyttökelpoisempi, kuin esittämäni vaihtoehtoinen määritelmä.

Vierailija

No, yksi tapa katsoa asiaa on tosiaan sumeiden joukkojen kanssa. Olkoon X jokin (normaali) pistejoukko. Jos A on joukon X osajoukko, niin joukon A karakteristinen funktio f_A määritellään klassisessa joukko-opissa funktiona f_A : X -> X, f_A(x) = 0, kun x ei ole A:n alkio ja f_A(x) = 1, kun x on joukon A alkio.

Sumeassa joukko-opissa pistejoukon X sumea osajoukko on funktio f: X -> [0,1]. Sen voidaan ajatella olevan joukon A = { x kuuluu X | f(x) > 0 } sumea karakteristinen funktio. Mikäli f(A) = {1}, niin ollaan saatu klassinen karakteristinen funktio.

Nyt tietenkin halutaan yleistää sumealle logiikalle joukko-opin peruskäsitteitä eli mitä tarkoittaa osajoukko, unioni ja leikkaus jne... Osajoukolle on helppo keksiä yleistys. Jos f_A ja f_B ovat joukkojen A ja B sumeita karakteristisia funktioita, niin A on joukon B sumea osajoukko jos ja vain jos f_A(x) ≤ f_B(x) kaikilla x kuuluu X. Tuo on varmasti aika intuitiivinen määritelmä. No, entäs joukkojen A ja B sumea unioni?

Intuitiivinen tapa määritellä sumea unioni on tietenkin ottaa se joukon X sumea osajoukko U, joka toteuttaa seuraavan ehdon: jos joukko D sisältää sumeina osajoukkoinaan joukot A ja B, niin tällöin myös joukko U on joukon D sumea osajoukko. Sumea unioni on siis suppein joukko, joka sisältää sumeina osajoukkoina joukot A ja B.

Osoitetaan nyt, että sumea unioni on todellakin olemassa, ja että sen karakteristinen funktio on f_U = max{f_A, f_B}. Olkoon f_E = max{f_A, f_B} eräs joukon X sumea osajoukko. On tietenkin selvää, että joukko E = { x kuuluu X | f_E(x) > 0 } sisältää joukot A ja B sumeina osajoukkoinaan. Jos joukko D sisältää sumeina osajoukkoina sekä joukon A että joukon B, niin sumean osajoukon määritelmän perusteella pätee f_A (x) ≤ f_D (x) ja f_B (x) ≤ f_D(x) kaikilla x kuuluu X. Siis f_E (x) = max{ f_A (x), f_B (x) } ≤ f_D (x) kaikilla x kuuluu X eli joukko E on joukon D sumea osajoukko. Siis U = E ja sumea unioni on todellakin olemassa.

Siis joukkojen A ja B sumea unioni on joukko U, jonka sumea karakteristinen funktio on f_U = max{f_A, f_B}. Vastaavasti intuitiivisesti määritellään, että joukkojen A ja B sumea leikkaus on laajin joukko, joka on sekä joukkojen A ja B sumea osajoukko. Vastaavalla tavalla on helppo todistaa, että sumea leikkaus on todellakin olemassa, ja että sen karakteristinen funktio on min{f_A, f_B}.

No, sumean logiikan konnektiiveihin tästä päästään tietenkin sillä, että voimme tiettyyn rajaan asti samaistaa JA-konnektiivin leikkaukseen ja TAI-konnektiivin unioniin.

Minkä ihmeen takia on tarkoitus saada aikaan matematiikan osa-alue, joka analogisesti vaikuttaa olevan irrallaan muusta matematiikasta, kun vaihtoehtona on että se ei vaikuttaisi?

Itseasiassa sumea joukko-oppi on minusta erittäin kaunis ja intuitiivinen laajennus joukko-opista. Joten minusta se ei ole mitenkään irrallaan muusta matematiikasta. Sinua vain sotkee se, että yrität löytää jonkinlaisen todennköisyyslaskennallisen vastineen tuolle "sumean kuuluvuuden" käsitteelle. Se, että jonkin pisteen karakteristinen funktio saa arvon 0,5 ei tarkoita juurikaan mitään, ei ainakaan sitä, että se kuuluisi joukkoon 50% varmuudella. Unohda tn-laskennallinen näkökulma ja ajattele asiaa sumeiden joukkojen kannalta.

Vierailija

Hyvin perusteltu starless. Pitää vähän pohtia ja pureskella tätä tuon sumean joukon määritelmän pohjalta. Minua kyllä hieman häiritsee tuo konnektiivien Zadeh-pohjainen määritelmä, koska esim. Antti ja Bosse -esimerkki toimii mielestäni paremmin omilla määritelmilläni. Toisaalta sumean joukon määritelmä, joka on kaiken lähtökohta, kyllä todellakin intuitiivisesti (ja muutenkin) johtaa tuohon Zadehiin, joten...

Uusimmat

Suosituimmat