Pikaista apua matematiikkaan

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eli, olen nyt itestäni tarpeeks kauan pähkäilly tätä OSAMURTOHAJOTELMAA:

1/(1-X^2)

Tuosta pitäis siis saaha tehtyä osamurtohajotelma. Eli jos joku voi kertoa miten tuo menee, tai kertoa jotain vinkkiä! Olis todellakin apua!

En ole edes ihan varma noista tekijöistä, mitkä tulee A:n, B:n ja C:n alle... Onko ne:

1
X^2
1-X^2

Kiitos, jos joku jaksaa auttaa!

Kommentit (14)

Vierailija
Jaws2
Eli, olen nyt itestäni tarpeeks kauan pähkäilly tätä OSAMURTOHAJOTELMAA:

1/(1-X^2)

Tuosta pitäis siis saaha tehtyä osamurtohajotelma.

Kannattaa lähteä liikkeelle siitä, että hajottaa nimittäjän tekijöihin. Tämä onnistuu esimerkiksi binomikaavalla (a² - b²) = (a-b)(a+b) tai etsimällä nollakohdat. Joka tapauksessa siitä pitäisi saada jotain tällaista:

1-x² = (1-x)(1+x)

Nyt sitten pitäisi etsiä sellaiset luvut A ja B, että

1 / (1 - x²) = A / (1-x) + B / (1 + x),

mistä saat pienellä pyörittelyllä yhtälöparin. Onnistuuko näillä eväillä?

Vierailija

Osamurtokehitelmät ei ole matikkaa vaan kehitelmiä.

Alappa nyt arvailemaan eka termi. Jos ei toimi niin arvaa joku muu jne.

Onhan niihin kaavakin, mutta se taas on hiton hankala.

Nykypäivän mikropiiritkin käyttää LUT-taulukoita, etsi semmoinen ohjelma.

Vierailija
Jaws2
Mutta kun tehtävä nimen omaan ois, että tosta pitää tehä osamurtohajotelma!

Löytyiskö jeesiä


Ok, tuossa tulikin jo vastausta aiheeseen. Eipä tuo "kaava" nyt hirveän vaikea ole. Ylipäätään ideana on, että
1) Jaetaan ylempi alemmalla kunnes ylemmän korkein potenssi on korkeintaan alemman potenssi
2) etsitään nimittäjän nollakohdat
3) kirjoitetaan [annettu yhtälö] = A/([x-ekajuri]) + B/([x-tokajuuri]) +... n/([x-vikajuuri]), eli:
(x+1)/(x^2-1) = A/(x-1) + B/(x+1)

4) Lavennetaan jokainen oikean puolen termi kaikilla muilla oikean puolen termeillä:
(x+1)/(x^2-1) = A(x+1)/(x-1)(x+1) + B(x-1)/(x+1)(x-1)

5) Huomataan, että vasemmalta ja oikealta puolelta voidaan ottaa nimittäjä pois koska niihin tuli samat:
(x+1) = A(x+1) + B(x-1)

6) ryhmitellään oikea puoli siten, että ensin tulee korkeimman potenssin kertoimet, sitten toiseksi korkeimman jne kunnes tulee pelkät mahdolliset vakiot, eli esim pelkkä +C.
x+1 = (A+B)x +A -B

7) Korkeimman potenssin kertoimet oikealla puolella on yhteensä sama kuin korkeimman potenssin kerroin vasemmalla jne, eli:
A+B=1 // 1 tulee x:n kertoimesta
A + (-B) = 1 // 1 on (x+1):n ykkönen

Huomaa, että jos on lauseke:
f(x)/((x+1)(x-1)^2), niin tuossa alla on kolme juurta ja ne pitää kaikki huomioida:
f(x)/((x-1)(x+1)^2)= A/(x-1) + B(x+1) + C/(x+1)^2

ps. en oikolukenut, voi olla merkkivirheitä ym omituista, periaate kuitenkin nuinikkaasti...

Vierailija
Puolihullu
3) kirjoitetaan [annettu yhtälö] = A/([x-ekajuri]) + B/([x-tokajuuri]) +... n/([x-vikajuuri]), eli:
(x+1)/(x^2-1) = A/(x-1) + B/(x+1)

Homma toimii näin, jos tekijä on ensimmäisen asteen polynomi eikä juuri ole moninkertainen. Jos nimittäjässä Q(x) on tekijänä muotoa (x - a)^k oleva polynomi, niin osamurtokehitelmässä sitä vastaa summa

A1 / (x - a) + A2 / (x - a)² + ... + Ak / (x - a)^k,

missä A1, ..., Ak ovat tuntemattomia kertoimia.

Jos nimittäjässä Q(x) taas on tekijänä termi (x² + bx + c)^k, niin osamurtokehitelmässä on summa

(A1*x + B1) / (x² + bx + c) + (A2*x + B2) / (x² + bx + c)² + ... + (Ak*x + Bk) / (x² + bx + c)^k,

missä taas luvut A1, ... , Ak ja B1, ... , Bk ovat tuntemattomia kertoimia

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
oge
Osamurtokehitelmät ei ole matikkaa vaan kehitelmiä.

Mikä erottaa sen matematiikasta?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Joo, kiitoksia, apuja oli noista!

Vielä jos voin kysyä apua osittaisintegrointiin liittyen.

Eli tämmönen määräämätön integraali pitäis ratkaista:

/xsin2x

Olenko aivan hakoteillä, jos valitsen kaavaan näin:

g=x
g´=1

f´=sin2x
f=-cos2x

Koska kaavahan on se /f´g dx = fg - /g´f dx

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Jaws2

/xsin2x

Olenko aivan hakoteillä, jos valitsen kaavaan näin:

g=x
g´=1

f´=sin2x
f=-cos2x

Koska kaavahan on se /f´g dx = fg - /g´f dx

Noinhan se ratkeaa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Ei, mulla hakkaa nyt ihan tyhjää...

Voisko joku kertoa mikä se f(x) on, jos f´(X)=sin2x. Pääsisin laskussa eteen päin.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Jaws2
Ei, mulla hakkaa nyt ihan tyhjää...

Voisko joku kertoa mikä se f(x) on, jos f´(X)=sin2x. Pääsisin laskussa eteen päin.

kokeile derivoida -1/2*cos(2x)

näköjään en vilkaissut tarpeeksi tarkkaan edellisellä kerralla.

edit: Niin, kai yhdistetyn funktion derivointi on muistissa? Sieltähän nuo sitten seuraavat.

Jos derivoit vaikkapa funktiota sin(f(x)), niin tulee cos(f(x))*f '(x).

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Uusimmat

Suosituimmat