astetta kovempi todennäköisyyspulma

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

x^2+px+q=0

Arvotaan p ja q sattumanvaraisesti väliltä [-2,2]. Millä todennäköisyydellä yhtälöllä on kaksi reaalijuurta?

Ohjelmalla, joka teki kyseisen arpomisen muutama miljoona kertaa sain likiarvon, joka on lähellä lukua 7/12, jota epäilen vastaukseksi.

Lähdin yrittämään näin:

2 reaalijuurta, jos (p/2)^2>q -> p^2>4q

Eli todennäköisyys, että satunnainen luku väliltä [0,4] on suurempi kuin satunnainen luku väliltä [-8,8].

Tästä en pääse eteenpäin. Olen koettanut binomitodennäköisyyksiä lukujonolla, joka lopulta jaetaan äärettömään määrään osia. Tämä ei kuitenkaan tunnu toimivan jostain syystä.

Apua?

Edit: Tuo ei taida olla edes oikea tapa, siinä ei anna numeerisesti alkuperäistä tulosta.

Kommentit (4)

Vierailija
Regel
x^2+px+q=0

Arvotaan p ja q sattumanvaraisesti väliltä [-2,2]. Millä todennäköisyydellä yhtälöllä on kaksi reaalijuurta?

Ohjelmalla, joka teki kyseisen arpomisen muutama miljoona kertaa sain likiarvon, joka on lähellä lukua 7/12, jota epäilen vastaukseksi.

Lähdin yrittämään näin:

2 reaalijuurta, jos (p/2)^2>q -> p^2>4q

Eli todennäköisyys, että satunnainen luku väliltä [0,4] on suurempi kuin satunnainen luku väliltä [-8,8].

Tästä en pääse eteenpäin. Olen koettanut binomitodennäköisyyksiä lukujonolla, joka lopulta jaetaan äärettömään määrään osia. Tämä ei kuitenkaan tunnu toimivan jostain syystä.

Apua?

Edit: Abivuoden kertausta.

En voi sanoa että onko juu tai jaa oikea mutta voin antaa sulle hyvän vihjeen..

Eli sä haluat saada vastauksen tuohon yhtälöön

mutta et ikinä voi saada isompaa pulmaa yhtälöösi ku 50%..

koska jos paat silmäs kii na sit arvaat niin se on armoton vastaus

kannattaa joskus tuuriin luottaa ja useammin intuutioon ehkkä jos semmosta on...

mutta toihan on aivan suhteellinen kysymys loppujenlopuks

Vierailija
Regel
x^2+px+q=0

Arvotaan p ja q sattumanvaraisesti väliltä [-2,2]. Millä todennäköisyydellä yhtälöllä on kaksi reaalijuurta?


Kannattanee lähteä tutkimaan geometrista todennäköisyyttä. Piirrät qp-akselistoon neliön [-2,2]*[-2,2] "otosavaruudeksi" ja tutkit, missä osa-alueessa yhtälö p^2-4q>0 on voimassa.

mattile71
Seuraa 
Viestejä198
Liittynyt6.9.2006
Regel
Eli todennäköisyys, että satunnainen luku väliltä [0,4] on suurempi kuin satunnainen luku väliltä [-8,8].

Eikö se ole juuri tuo ?
Eli 50% todennäköisyydellä q on negatiivinen jolloin yhtälö pätee.
q on 25% todennäköisyydellä välillä [0,4] jolloin todennäköisyys on
50%

Lopullinen vastaus olisi siis 62.5%

Simulaatio antaa vastaukseksi 58% joten olen todennäköisesti
väärässä.

[code:kwy04sr4]
laskuri = 0
RANDOMIZE TIMER
FOR i = 1 TO 10000
p = RND * 4 - 2
q = RND * 4 - 2
IF (p ^ 2 - 4 * q) > 0 THEN laskuri = laskuri + 1
PRINT p, q
NEXT i

PRINT laskuri, i - 1, laskuri / (i - 1)
[/code:kwy04sr4]

Edit:Taitaapi olla sittenkin 25 % tuo mahdollisuus eikä 50% että
P^2 > q välillä [0, 4] eli geometrinen todennäköisyys.

Tällöin oikea vastaus olisi 9/16 eli 56,25 %

Edit 2: Tuossa pitänee integroida. Saadaan todennäköisyydeksi
1/3 * 1/4 +1/2 = 58.3 %

Eli tuo lopullinen pähkäilyni taitanee olla oikein.

mattile71
Seuraa 
Viestejä198
Liittynyt6.9.2006
mattile71

Edit 2: Tuossa pitänee integroida. Saadaan todennäköisyydeksi
1/3 * 1/4 +1/2 = 58.3 %

Eli tuo lopullinen pähkäilyni taitanee olla oikein.

Tuo 1/3 saadaan seuraavalla tavalla:
Integroidaan p^2 välillä [0 , 2]

Saadaan 1/3*p^3 välille [0, 2]
Sijoitetaan luvut ja saadaan 1/3*2^3 - 0 = 8/3
Koska välin pituus on 2 niin tuo jaetaan kahdella saadaan 8/6

Eli jos arvotaan p^2 välille [0,2] niin saadaan keskimäärin luku 4/3
Jos arvotaan luku välille [0,4 ] niin se on todennäköisyydellä 1/3
pienempi kuin 4/3
4/3 * 1/4 = 4/12 = 1/3

Vastaus on siis toden totta 1/3* 1/4 + 1/2 = 7/12 = 58.3%

Uusimmat

Suosituimmat