satunnaiskävelijästä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Meillä on origossa ötökkä hetkellä t=0, joka lähtee kävelemään satunnaisesti hilassa. Askelten lukumäärä on aika. Tietänette varmaan, että tätä voidaan kuvata jatkumorajalla helposti diffuusioyhtälöllä, joka kuvaa ötökän paikkaa kuvaavan todennäköisyystiheyden valumista avaruuteen.

Todennäköisyys P(x,t) löytää ötökkä pisteestä x ajanhetken t päästä voitaneen kirjoittaa myös polkuintegraalina jossa summataan todennäköisyyksiä yli kaikkien polkujen.

Kun lisätään diffuusioyhtälöön imaginääriyksikkö (tehdään Wickin rotaatio), päästään Schrödingerin yhtälöön. Käsitteellisellä tasolla on helppo ajatella, että edelleen kuvataan diffuusiota, mutta tällä kertaa ei puhuta suoraan todennäköisyystiheydestä, vaan yhtälö kuvaa aaltofunktiota, jolla on vaihe. Kirjoitettuna diffuusiota vastaava käsite polkuintegraalimuotoon tämä näyttää tältä:
K(x,t) = sum_all_paths exp(-i/hbar S)
missä S on vaikutus (action).
Kysymyksiä tästä: Onko mitään intuitiivista tapaa ajatella, että mistä tuo exp(-i/hbar S) eksyy tuonne sisään? Miksi eri hiukkasten Lagrangen tiheydet (ötökät?) tuossa vaikutusintegraalissa ovat sen näköisiä kuin ovat? Onko ainoa seuraus Wickin rotaatiosta se, että jälkimmäisessä ötökkä voi interferoida itsensä kanssa, kun edellisessä polut summataan riippumattoamasti?

Kommentit (5)

Vierailija
sidemiete
Meillä on origossa ötökkä hetkellä t=0, joka lähtee kävelemään satunnaisesti hilassa. Askelten lukumäärä on aika. Tietänette varmaan, että tätä voidaan kuvata jatkumorajalla helposti diffuusioyhtälöllä, joka kuvaa ötökän paikkaa kuvaavan todennäköisyystiheyden valumista avaruuteen.

Todennäköisyys P(x,t) löytää ötökkä pisteestä x ajanhetken t päästä voitaneen kirjoittaa myös polkuintegraalina jossa summataan todennäköisyyksiä yli kaikkien polkujen.




Siis niinku hajun leviäminen

Kun lisätään diffuusioyhtälöön imaginääriyksikkö (tehdään Wickin rotaatio), päästään Schrödingerin yhtälöön. Käsitteellisellä tasolla on helppo ajatella, että edelleen kuvataan diffuusiota, mutta tällä kertaa ei puhuta suoraan todennäköisyystiheydestä, vaan yhtälö kuvaa aaltofunktiota, jolla on vaihe. Kirjoitettuna diffuusiota vastaava käsite polkuintegraalimuotoon tämä näyttää tältä:
K(x,t) = sum_all_paths exp(-i/hbar S)
missä S on vaikutus (action).

Onx tää niinku valon leviäminen?

Mikä olisi niinku äänen leviäminen?

Vierailija
jartsa

Siis niinku hajun leviäminen



Lähde kävelemään vaikkapa rautatieasemalta ja heitä joka kadunkulmassa nelisivuista noppaa. Käveltyäsi t kadunkulmaa, pystymme laskemaan todennäköisyyden olla jossain tietyssä paikassa ja saamme funktion p(x,y,t). Mutta kuitenkin olet vain yhdessä paikassa, toisin kuin haju.

Tämä todennäköisyystiheys vastaa jotain fysikaalista suuretta (hajua, lämpöä), silloin kun satunnaiskävelijöitä on lähes äärettömän paljon. Eli, jos rautatieasemalta lähtee satunnaiskävelemään 100000 ihmistä, niin voidaan laskea ihmistiheys per paikka ajan funktiona. Jos ihmiset haisevat siten, että kaksi ihmistä haisee tuplasti sen mitä mitä yksi, niin silloin diffuusioyhtälö kuvaa myös hajun leviämistä. Vastaavasti tilanne tietysti pätee, jos haisevat kaasupallerot levittäytyvät ilmaan Brownin liikkeenä.

jartsa

Onx tää niinku valon leviäminen?

Mikä olisi niinku äänen leviäminen?

Se oli koko nykyfysiikka. Tuosta muodosta saadaan esimerkiksi Maxwellin yhtälöt keksimällä oikean näköinen Lagrangen tiheys tuonne vaikutusintegraaliin (S lasketaan integroimalla Lagrangen tiheyttä) ja olettamalla, että S on iso verrattuna hbariin, koska silloin ei-klassiset polut polkuintegraalissa katoavat.

Mietin lähinnä siis diffuusioanalogian vahvuutta, sekä intuitiota tuon polkuintegraalin muodon ymmärtämiseksi.

Vierailija

Ilmeisesti tää on vähän mielenkiinnoton aihe, tai olen ihan pihalla. Mutta jatketaan nyt tätä, kun tajusin aiheesta jotain, joka herätti taas lisää ongelmia.

sidemiete
Onko ainoa seuraus Wickin rotaatiosta se, että jälkimmäisessä ötökkä voi interferoida itsensä kanssa, kun edellisessä polut summataan riippumattoamasti?

Kvanttimekaaninen satunnaiskävelijä on mielestäni vielä ihan ok analogia ja interferenssi tosiaan tulee siitä imaginääriyksiköstä. Eli tehdään seuraava muutos tuohon tavalliseen kulkijaan.

Tavallisessa klassisessa hilassa meillä on p(alas) = p(ylös) = p(oikea) = p(vasen) = 1/4. Kvanttimekaanisessa hilassa meillä ei olekaan enää todennäköisyyksiä tilojen välillä, vaan todennäköisyysamplitudeja. Eli, c(ylös) = i/2, c(alas) = -i/2, c(oikea) = 1/2, c(vasen) = -1/2. Eikös?

Todennäköisyys on amplitudin neliö ja kuten huomaamme, kun aika naksahtaa yhden pykälän eteenpäin me olemme liikkuneet yhtäläisellä todennäköisyydellä johonkin suuntaan, koska |c|^2 on 1/4. Mahdollisia polkuja on vain yksi.

Mistä se interferenssi sitten tulee? No, mehän summaamme jotain sellaista, missä voi olla negatiivisia lukuja, eli laskettaessa vaikkapa todennäköisyyttä liikkua ajassa t=3 yhden pykälän verran oikealle, saadaan polkuja, missä amplitudi on negatiivinen, joka pienentää todennäköisyyttä päätyä tähän ruutuun! Tätä kautta myös tuo exp (i/hbar S) on helppo ymmärtää: me tarvitsemme todennäköisyysamplitudin ja dimensionalayysillä tuo sisällä oleva näyttää vakuuttavalta.

Jotenkin mulla on kuitenkin semmoinen tuntuma, että tässä yksi kvanttimekaaninen satunnaiskävelijä vapaassa avaruudessa tuottaa samanlaisen ratkaisun, kuin tavallinen diffuusio sille todennäköisyystiheydelle. Oletteko samaa mieltä? (Edit: ei tuota)

Mikä olisi oikea tapa simuloida tuota systeemiä, ilman että luetellaan kaikki mahdolliset polut (mikä on mahdotonta t=iso tapauksessa)? Tavallisen diffuusion tapauksessahan todennäköisyystiheys on helppoa laskea vain laittamalla iso joukko kävelijöitä kävelemään ja katsoa minkälainen jakauma tulee. (Edit: tähän löytyi aika helposti vastaus quantum random walk haulla. Lisäksi QRW on oiva tapa ymmärtää kvanttilaskennan perusteita, kaivakaa Deutschin paperi Machines, Logic and Quantum Physics).

Vierailija
sidemiete
Ilmeisesti tää on vähän mielenkiinnoton aihe, tai olen ihan pihalla. Mutta jatketaan nyt tätä, kun tajusin aiheesta jotain, joka herätti taas lisää ongelmia.

sidemiete
Onko ainoa seuraus Wickin rotaatiosta se, että jälkimmäisessä ötökkä voi interferoida itsensä kanssa, kun edellisessä polut summataan riippumattoamasti?



Kvanttimekaaninen satunnaiskävelijä on mielestäni vielä ihan ok analogia ja interferenssi tosiaan tulee siitä imaginääriyksiköstä. Eli tehdään seuraava muutos tuohon tavalliseen kulkijaan.

Tavallisessa klassisessa hilassa meillä on p(alas) = p(ylös) = p(oikea) = p(vasen) = 1/4. Kvanttimekaanisessa hilassa meillä ei olekaan enää todennäköisyyksiä tilojen välillä, vaan todennäköisyysamplitudeja. Eli, c(ylös) = i/2, c(alas) = -i/2, c(oikea) = 1/2, c(vasen) = -1/2. Eikös?

Todennäköisyys on amplitudin neliö ja kuten huomaamme, kun aika naksahtaa yhden pykälän eteenpäin me olemme liikkuneet yhtäläisellä todennäköisyydellä johonkin suuntaan, koska |c|^2 on 1/4. Mahdollisia polkuja on vain yksi.

Mistä se interferenssi sitten tulee? No, mehän summaamme jotain sellaista, missä voi olla negatiivisia lukuja, eli laskettaessa vaikkapa todennäköisyyttä liikkua ajassa t=3 yhden pykälän verran oikealle, saadaan polkuja, missä amplitudi on negatiivinen, joka pienentää todennäköisyyttä päätyä tähän ruutuun! Tätä kautta myös tuo exp (i/hbar S) on helppo ymmärtää: me tarvitsemme todennäköisyysamplitudin ja dimensionalayysillä tuo sisällä oleva näyttää vakuuttavalta.

Jotenkin mulla on kuitenkin semmoinen tuntuma, että tässä yksi kvanttimekaaninen satunnaiskävelijä vapaassa avaruudessa tuottaa samanlaisen ratkaisun, kuin tavallinen diffuusio sille todennäköisyystiheydelle. Oletteko samaa mieltä? (Edit: ei tuota)

Mikä olisi oikea tapa simuloida tuota systeemiä, ilman että luetellaan kaikki mahdolliset polut (mikä on mahdotonta t=iso tapauksessa)? Tavallisen diffuusion tapauksessahan todennäköisyystiheys on helppoa laskea vain laittamalla iso joukko kävelijöitä kävelemään ja katsoa minkälainen jakauma tulee. (Edit: tähän löytyi aika helposti vastaus quantum random walk haulla. Lisäksi QRW on oiva tapa ymmärtää kvanttilaskennan perusteita, kaivakaa Deutschin paperi Machines, Logic and Quantum Physics).


Vaikken osaakaan vastata kysymyksiisi lainkaan, kiitos paljon mielenkiintoisista pohdinnoistasi. Oli ilo lukea. En ole itse vielä opinnoissani ehtinyt polkuintegraaliformalismiin, mutta teoria vaikuttaa varsin mielenkiintoiselta!

Vierailija

Korjataan nyt tätä uusien ajatuksien myötä, ettei tuo ylläoleva viesti aiheuta hämminkiä.

sidemiete

Jotenkin mulla on kuitenkin semmoinen tuntuma, että tässä yksi kvanttimekaaninen satunnaiskävelijä vapaassa avaruudessa tuottaa samanlaisen ratkaisun, kuin tavallinen diffuusio sille todennäköisyystiheydelle. Oletteko samaa mieltä? (Edit: ei tuota)

Tuossa edeltävässä viestissä oli ehkä vähän puppua: jos kenttä on skalaarinen (kuvattavissa paljaalla luvulla jokaisessa pisteessä) pelkkä kvanttimekaaninen satunnaiskävely ei taida tuottaa mitään kovin mielenkiintoista (edelleenkään en ole ihan täysin varma). Tuossa antamassani esimerkissä ongelma tuli diskretoinnista, jonka ei soisi vaikuttavan. Eli, näyttää siltä skalaarikenttä kuvaisi bosonia, niinku vaikka valoa.

Tarina taitaa muuttua ihan erinäköiseksi, jos sen sijaan meillä on esimerkiksi hiukkanen, jolla on spin. Silloin vaikkapa origosta lähtevä ylös-spin-satunnaiskävelijä lähtee kävelemään jakaantumalla naapurihilapisteisiin muuttumalla yhdistelmäksi ylös- ja alasspinihiukkasta, eli se kävelijä onkin oikeasti qubitti.

Nyt interferenssi alkaa vaikuttamaan ihan eri tavalla siihen mistä hitu löytyy ja myös siihen, että mitä löydetään. Simulointi näyttää olevan raskasta, koska "mittauksen" eli todennäköisyysitheyden laskemisen vuoksi täytyy ylläpitää 2^t eri maailmaa, jotta saadaan todennäköisyystiheys säilymään satunnaiskävelyssä. Jos sen todennäköisyystiheyden laskee väärässä välissä, niin tämä romahduttaa interferenssin vaikutuksen ja esim. Schrödingerin yhtälö ei ole sitten voimassa.

Eli, kvanttimekaanisen satunnaiskävelijän noppa on ikäänkuin yhdistelmä todennäköisyysamplitudia sekä taustarakennetta (siis kenttää) ja vaikka kävelijöitä olisi vain yksi, sitä ei pysty käsittelemään sellaisena ja laskemisesta tulee tosi monimutkaista.

Tjaa-a, monimutkaiseksi tuo näyttää menevän.

Uusimmat

Suosituimmat