matematiikan merkintä ongelma.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eli siis, jos on vaikka

[1,2] x [2,5]

Niin tarkoitetaanko, että jos A=[1,2] ja B=[2,5], a kuuluu A:han ja b kuuluu B:hen. Niin tarkoittaako merkintä x kyseisten a:n ja b:n sisätuloa. Eli näiden A:n ja B:n sisätulo muodostaa joukon C. Olenko ymmärtänyt oikein?

Sivut

Kommentit (20)

Vierailija

Tarkoittanee karteesista tuloa.

EDIT:

Ja joukkojen A ja B karteesinen tulo A x B siis tarkoittaa joukkoa { (a,b) | a kuuluu joukkoon A ja b kuuluu joukkoon b}. Toisin sanoen kyse on järjestetyistä pareista.

Vierailija
Eli siis, jos on vaikka

[1,2] x [2,5]

Niin tarkoitetaanko, että jos A=[1,2] ja B=[2,5],
a kuuluu A:han ja b kuuluu B:hen.
Niin tarkoittaako merkintä x kyseisten a:n ja b:n
sisätuloa. Eli näiden A:n ja B:n sisätulo muodostaa
joukon C. Olenko ymmärtänyt oikein?

Kyseessä on selityksesi perusteella karteesinen tulo.

Itse en hirveästi sisätuloista tiedä, mutta minä olen käsittänyt,
että ne määritellään kuvauksena VxV->R. On tietysti mahdollista,
että sisätulo voidaan määrittää kuvauksena kaikille avaruuksille, mutta minun rehellinen mielipide on se, että olet asian ymmärtänyt väärin.

Mutta palatakseni aiheeseen:
yleisesti A:n ja B:n karteesinen tulo eli tulojoukko on
AxB = {(a,b): a kuuluu A:han ja b kuuluu B:hen}

Eli niiden pisteiden (a,b) joukko, missä a kuuluu A:han ja b B:hen.
Tässä tapauksessa siis suorakulmion, jonka kärkipisteet ovat (1,2), (1,5), (2,2) ja (2,5), sisältämät pisteet.

Vierailija
Enola Gay
Itse en hirveästi sisätuloista tiedä, mutta minä olen käsittänyt, että ne määritellään kuvauksena VxV->R.

Maaliavaruuteena ei välttämättä tarvitse kyllä olla reaaliluvut. Lukiomatematiikassa sisätulosta puhutaan yleensä "vektorien pistetulona", mutta mikään ei sinällään estä määrittelemästä sisätuloa myös esimerkiksi funktioiden muodostamalle vektoriavaruudelle. Sisätulo noin yleensäkin on varsin käytännöllinen työkalu, kun tutkii vektoriavaruuksia ja haluaa esimerkiksi muodostaa semmoiselle ortonormaalin kannan.

Sisätulon tarkemmasta määrittelystä näyttäisi ainakin englanninkielisestä Wikipediasta löytyvan ihan kivasti juttua. Jos kiinnostaa, niin kannattaa varmaan tutustua.

Vierailija

Enola Gay kirjoitti:

Itse en hirveästi sisätuloista tiedä, mutta minä olen käsittänyt, että ne määritellään kuvauksena VxV->R.



Maaliavaruuteena ei välttämättä tarvitse kyllä olla reaaliluvut. Lukiomatematiikassa sisätulosta puhutaan yleensä "vektorien pistetulona", mutta mikään ei sinällään estä määrittelemästä sisätuloa myös esimerkiksi funktioiden muodostamalle vektoriavaruudelle. Sisätulo noin yleensäkin on varsin käytännöllinen työkalu, kun tutkii vektoriavaruuksia ja haluaa esimerkiksi muodostaa semmoiselle ortonormaalin kannan.

Sisätulon tarkemmasta määrittelystä näyttäisi ainakin englanninkielisestä Wikipediasta löytyvan ihan kivasti juttua. Jos kiinnostaa, niin kannattaa varmaan tutustua.




Tosiaan omat tiedot sisätuloista ovat varsin puutteellisia,
ja Wikipedia valaisikin asiaa huomattavasti.

Tutkinpa vielä sitä karteesista tuloa:

Wikipedia: the inner product is a map: <.,.>:VxV->F
satisfying the following axioms for all x,y,z E V, a,b E F

...

(2) Linearity in the first variable
= + . Tämä ei näytä kovin järkevältä.
Jos x ja y kuuluvat A:han (tai tässä tapauksessa V:hen) ja A on esim. [0,1]U[2,3]. Valitsemalla
x=0,5 ja y=2, :aa ei ole edes määritelty.

(3) Nonnegativity
_> 0. Entäs tämä? Jos x=-1, niin = (-1,-1)
on ilmeisen negatiivinen.

...

sokker:

Niin tarkoittaako merkintä x kyseisten a:n ja b:n sisätuloa?

Nähdäkseni siis karteesinen tulo ei ole sisätulo.

Vierailija
Enola Gay

Tosiaan omat tiedot sisätuloista ovat varsin puutteellisia,
ja Wikipedia valaisikin asiaa huomattavasti.

Tutkinpa vielä sitä karteesista tuloa:

Wikipedia: the inner product is a map: <.,.>:VxV->F
satisfying the following axioms for all x,y,z E V, a,b E F

...

(2) Linearity in the first variable
= + . Tämä ei näytä kovin järkevältä.
Jos x ja y kuuluvat A:han (tai tässä tapauksessa V:hen) ja A on esim. [0,1]U[2,3]. Valitsemalla
x=0,5 ja y=2, :aa ei ole edes määritelty.

(3) Nonnegativity
_> 0. Entäs tämä? Jos x=-1, niin = (-1,-1)
on ilmeisen negatiivinen.

...

sokker:

Niin tarkoittaako merkintä x kyseisten a:n ja b:n sisätuloa?



Nähdäkseni siis karteesinen tulo ei ole sisätulo.

Nyt kyllä sekoitat hieman asioita. Kahden joukon karteesinen tulo on joukko A x B = {(a,b) | a \in A & b \in B}. Karteesinen tulo on siis kahden joukon järjestettyjen lukuparien joukko. Sisätulo taas on kuvaus karteesiselta tulolta V x V kompleksiluvuille, eli V x V -> C. Pitää siis ottaa lukupari (v,w), jonka molemmat alkiot kuuluvat vektoriavaruuteen V, ja tämän jälkeen kuvata lukupari kompleksiluvuksi. Toki maaliavaruutena voi olla jokin muukin kunta kuin kompleksiluvut.

EDIT: Näemmä olitkin jo ylempänä käynyt läpi määritelmät, mutta tulipahan kerrattua.

Vierailija
Enola Gay
Wikipedia: the inner product is a map: <.,.>:VxV->F
satisfying the following axioms for all x,y,z E V, a,b E F

...

(2) Linearity in the first variable
= + . Tämä ei näytä kovin järkevältä.
Jos x ja y kuuluvat A:han (tai tässä tapauksessa V:hen) ja A on esim. [0,1]U[2,3]. Valitsemalla
x=0,5 ja y=2, :aa ei ole edes määritelty.

(3) Nonnegativity
_> 0. Entäs tämä? Jos x=-1, niin = (-1,-1)
on ilmeisen negatiivinen.




Ehto (2) tarkoittaa siis sitä, että sisätulo on ensimmäisen komponentin suhteen lineaarinen (eli summavektorin sisätulo vektorin Z kanssa on sama kuin summattavien vektorien sisätulojen summa). Ehto on järkevä jo siitäkin syystä, että vektoriavaruus V on lineaarinen.

Ei-negatiivisuusehto (3) taas tulee siitä, että vektorin X sisätulo itsensä kanssa tarkoittaa oikeastaan X:n normin (eli pituuden) neliötä.

Sisätulo taas on kuvaus karteesiselta tulolta V x V kompleksiluvuille, eli V x V -> C. Pitää siis ottaa lukupari (v,w), jonka molemmat alkiot kuuluvat vektoriavaruuteen V, ja tämän jälkeen kuvata lukupari kompleksiluvuksi.

Ehkö olisi parempi puhua vektoripareista niin ei enää enempää sotkisi tätä asiaa karteesiseen tuloon. Jos pohjalla ei ole korkeakoulutasoisia matematiikan perusopintoja, niin mielestäni koko sisätulo kannattaa ajatella Euklidisen avaruuden R^n vektorien pistetuloksi. Eli juuri siksi, mitä lukion pitkän matematiikan pakollisella vektorikurssilla pyöriteltiin. Ja kyllähän se tosiaan taitaa nykyään olla lyhyelläkin matematiikalla valinnaisella kurssilla.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
kurnimaha
Jos pohjalla ei ole korkeakoulutasoisia matematiikan perusopintoja, niin mielestäni koko sisätulo kannattaa ajatella Euklidisen avaruuden R^n vektorien pistetuloksi.

Pistetulo on yksi sisätulo. Niitä voidaan kuitenkin määritellä monenlaisia. Yksi paljon käytössä oleva sisätulo on = ∫dx f(x)g(x) jollakin määrätyllä integrointivälillä. Niitä voi määrittää melko vapaamielisesti halutessaan, kunhan sisätulon ominaisuudet täyttyvät.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
kurnimaha
Jos pohjalla ei ole korkeakoulutasoisia matematiikan perusopintoja, niin mielestäni koko sisätulo kannattaa ajatella Euklidisen avaruuden R^n vektorien pistetuloksi.



Pistetulo on yksi sisätulo. Niitä voidaan kuitenkin määritellä monenlaisia. Yksi paljon käytössä oleva sisätulo on = ∫dx f(x)g(x) jollakin määrätyllä integrointivälillä. Niitä voi määrittää melko vapaamielisesti halutessaan, kunhan sisätulon ominaisuudet täyttyvät.

Niin voi, jos tietää, mitä tekee. Suurin osa suomalaisista taitaa kuitenkin varsinaisen lineaarialgebran perusteisiin ja siten myös vektoriavaruuksiin tutustua vasta korkeakoulussa. Jos pohjatietoina on lukion pitkä matematiikka (hyvinkin suoritettuna), niin funktioiden välinen sisätulo voi tuntua aika hämmentävältä - ainakin, jos alkaa miettiä jotain "fuktioiden välisten kulmien kosiineja" tai "funktioiden pituuksia".

Lukiotasoisilla pohjatiedoilla ei funktioiden välisestä sisätulosta oikeastaan edes ole mitään hyötyä, sillä lukiossa ei käsitellä vektoriavaruuksia eikä niiden (ortogonaalisia) kantoja muuten kuin Euklidisessa avaruudessa R^n, jossa dimensio n=2 tai n=3. Tällöin sisätulo kuitenkin on sama kuin pistetulo.

Vierailija
kurnimaha

Niin voi, jos tietää, mitä tekee. Suurin osa suomalaisista taitaa kuitenkin varsinaisen lineaarialgebran perusteisiin ja siten myös vektoriavaruuksiin tutustua vasta korkeakoulussa. Jos pohjatietoina on lukion pitkä matematiikka (hyvinkin suoritettuna), niin funktioiden välinen sisätulo voi tuntua aika hämmentävältä - ainakin, jos alkaa miettiä jotain "fuktioiden välisten kulmien kosiineja" tai "funktioiden pituuksia".

Lukiotasoisilla pohjatiedoilla ei funktioiden välisestä sisätulosta oikeastaan edes ole mitään hyötyä, sillä lukiossa ei käsitellä vektoriavaruuksia eikä niiden (ortogonaalisia) kantoja muuten kuin Euklidisessa avaruudessa R^n, jossa dimensio n=2 tai n=3. Tällöin sisätulo kuitenkin on sama kuin pistetulo.


Mutta eihän se funktioidenkaan L2-sisätulo ole mitään muuta kuin kahden vektorin "komponenttien" tulojen summa, ihan kuin R^3:n vektoreilla. Tosin niitä komponentteja on sitten ylinumeroituva määrä

Vierailija

Kiitoksia. Ei ollu vaa ennen tullu vastaan kyseinen merkintä. Ku tenttimäl joutuu suorittaa, ni tulee näitä tyhmiä kysymyksiä.

Tänään oli sitten tentti. Löytyisköhä viisaampaa kertomaan meneekö se tosiaan näin, kun siis käskettiin antamaan sisätulo metriikan d avulla, niin eipä siitä muuta tullu mieleen, ku

=[d(e1[x,y])]/[d(x,y)]*d(x,0)*d(y,0)

e1 on siis. No siis yritin x:n suuntast projektioo ottaa. Mikä se nimi ny o. Se vektroi, millä x1 on yks ja muut nollia.

Vierailija
sokker
Eli siis, jos on vaikka

[1,2] x [2,5]

Kyllä tuo minusta näyttää ristitulolta eli ulkotulolta, eikä pistetulolta.

Piste olisi ALT-250 eli ·

Tässä teille pistetuloa: [1,2] · [2,5]

Vierailija

Kyseine kaava olis tietty ollu kiva, mut siis olen yrittäny määritellä, että

cos a = [d(e1[x,y])]/[d(x,y)], koska cosini on muistaakseni

cos a = /(|x||y|), niin siitä

= cos a*|x||y| = [d(e1[x,y])]/[d(x,y)]*d(x,0)*d(y,0)

Niin ja ristitulo se ei ole.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat