Kartioleikkauksista
klo 9:18 | 12.2.2008
Kuten me kaikki tiedämme, muotoa ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f muotoa olevat käyrät (=2.asteen käyrät) ovat kaksoiskartiopinnan ja tason välisiä leikkauksia. Sitä vaan, että olisiko muotoa ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j, tai jotkin muut vastaavat jonkun neliuloitteisen tsydeemin leikkauskuvioita?
Pitäisi tietenkin olla yhtälö: ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f = 0.
Tämä käyrä on pinnan z=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f ja xy-tason (z=0) leikkauskäyrä. Vastaavasti yhtälö
ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j = 0
on 4-ulotteisessa avaruudessa olevan 3-ulotteisen 'pinnan'
t = ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j
leikkaus 3-ulotteisen xyz-avaruuden (t=0) kanssa. Tuloksena on siis toisen asteen pinnat (ellipsoidit, hyperboloidit, paraboloidit, kartiot). Miltä em. 3-ulotteinen pinta näyttää 4-ulotteisessa avaruudessa, on sitten kysymys ihan erikseen: 3-ulotteinen kartio 4-ulotteisessa avaruudessa?
Kysymystä voidaan yleistää suurempiin ulottuvuuksiin. Kyseessä on neliömuotojen (quadratic forms, bilinear forms) teoria.