Pythagoran kolmikko

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaiskohan joku auttaa?

Minun pitäisi todistaa, että Pythagoran kolmikoista

a= u2-v2, b= 2uv, c = u2+v2 (2 on potenssina)

toinen kahdesta ensimmäisestä (a tai b) on pariton ja toinen parillinen?

Kommentit (14)

Vierailija

Oikeastaan tosi mielenkiintoinen lauseke toi. Seuraillaan. Olen jotenkin sitä mieltä, että ao. tyypiä ei ole ollut olemassakaan.
Oli muka elänyt joskus satoja vuosia ennen eaa. Onhan noita sanontoja laiteltu toistenkin suihin. Ei sen puoleen. Ihan OK on, mutta kuitenkin. Tulee mieleen huijaukset.

Kappas vaan. Löyty täältäkin http://fi.wikipedia.org/wiki/Pythagoras

Vierailija

Niin siis eli oletetaan, että a,b,c,u,v kuuluu kokonaislukuihin? Onko tässä a,b,c Pythagoraan kolmikko vai ovatko ne kenties a,u,v ; b,u,v ; c,u,v ja jos näin on niin miten on määritelty Pythagoraan kolmikon parittomuus tai parillisuus?

edit: vastaesimerkki ei toimi, koska neliöjuuri 12 ei ole kokonaisluku.

edit2: OP varmaankin tarkoittaa, että meillä on annettuna kaksi Pythagoraan kolmikkoa a= u^2-v^2 ja b = 2uv. Tulee todistaa, että joko a on parillinen ja b on pariton tai b on parillinen ja a on pariton.

b on parillinen, sillä b/2 = uv (u on kokonaisluku, v on kokonaisluku ja siitä seuraa että uv on kokonaisluku). Täytyy siis todistaa, että a on pariton.

Mitä tietoja sulla on käytössä? Mathworldistasaadaan seuraavaa tietoa:

It is usual to consider only primitive Pythagorean triples (also called "reduced"triples) in which a and b are relatively prime, since other solutions can be generated trivially from the primitive ones. The primitive triples are illustrated above, and it can be seen immediately that the radial lines corresponding to imprimitive triples in the original plot are absent in this figure. For primitive solutions, one of a or b must be even, and the other odd (Shanks 1993, p. 141), with c always odd.

Ihan vaan jatkossa tiedoksi, että jos haluat jotain mielenkiintoisia vastauksia niin kannattanee myös panostaa threadin avaukseen ja tehtävänantoon.

Vierailija
suolaasuolaa
edit: vastaesimerkki ei toimi, koska neliöjuuri 12 ei ole kokonaisluku.

Miten tämä liittyy tähän tehtävään?

Vastaesimerkki toimii! perustelu:

b on aina parillinen. Se on perusteltu jo aiemmin.

u=4 ja v=2. Nyt

a = 4² - 2² = 12
b = 2·4·2 = 16
c = 4² + 2² = 20

a² + b² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20² = c²

Joten on olemassa pythagoraan kolmikko siten, että kaikki a,b ja c ovat parillisia.

Tehtävänanto on siis poskellaan...

Vierailija

Niin siis jos Pythagoraan kolmikkoja olisikin tuossa kolme niin silloin vastaesimerkki ei toimi.

Eli u^2 = v^2 + (neliöjuuri(a))^2

Vierailija
suolaasuolaa
Niin siis jos Pythagoraan kolmikkoja olisikin tuossa kolme niin silloin vastaesimerkki ei toimi.

Eli u^2 = v^2 + (neliöjuuri(a))^2


Ai sää ajattelit sen noin...

Vierailija

Hmm.

a=u^2-v^2
b=2uv => b on parillinen

v=b/2u , sijoitetaan se ekaan lausekkeeseen, saadaan

a= u^2- (b/2u)^2
a=u^2-(b^2)/(4u^2) , lavennetaan
a= (4u^4)/(4u^2)-(b^2)/4u^2
a= (4u^4-b^2)/(4u^2)

Koska lausekkeessa 4u^4 on aina parillinen, b^2 on aina parillinen ja 4u^2 on aina parillinen, myös a on aina parillinen.

Vierailija

Kiitoksia tähän mennessä tulleista vastauksista. Osaako joku teistä neuvoa myös kuinka lähden liikkeelle, jos pitää todistaa noiden primitiivisten kolmikoiden kaavat eli nuo edellä mainitut

a= u^2-v^2, b= 2uv, c = u^2+v^2

Itse ajattelin näin:

Ensin todistan, että näillä kolmella luvulla ei ole yhteisiä tekijöitä.

Seuraavaksi todistan, että a on pariton, b parillinen.

Mutta mitäs sitten?

Vierailija

Saisko kysyy prinssiltä että missä opiskelet, mitä opiskelet ja miksi kyselet täältä todistuksia?

Toi todistus on alusta lähtien meinaa melkoisesti hankalampi kuin aikasemmat kyselysi.

Uusimmat

Suosituimmat