Yhtälö x^x=I

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miten ratkaistaan kyseinen yhtälö, kun I on imaginääriyksikkö?

Itse olen edennyt jonkin verran:

x*ln(x)=ln(I)=I*Pi/2, merkitään

x=k*e^(It), niin saadaan

ke^(It)*(ln(k)+It)=I*Pi/2

ottamalla huomioon, että e^(It)= cos(t)+Isin(t) voidaan reaaliosat saattaa
muotoon:

(1) k*cos(t)*ln(k) - k*sin(t)*t = 0 ja imarinaariosat muotoon

(2) k*sin(t)*ln(k) + k*cos(t)*t = Pi/2

Ylimmästä saadaan

cos(t)*ln(k) = t*sin(t)

ln(k) = t*tan(t)

k=e^(t*tan(t))

Sijoittamalla tämä (2):een saadaan yksiyhtälö

t*e^(t*tan(t)) * [sin(t)*tan(t) + cos(t)] = pi/2

t*e^(t*tan(t))=Pi/2*cos(t)

Tästä ei kuitenkaan taida päästä eteenpäin kuin numeerisesti vai
onko tuo alkukin jo päin honkia?

Kommentit (2)

Vierailija

Väliarvolauseella voi saada jtn selvempää. Jos siis x^x-i=f(x) ja

f´(x)=e^(xln(x))*(lnx+1)

Mutta en tiä. Melkosen ikävä noinkin.

itsellä nopeella pyörittelyllä tuli. otettu siis derivaatasta joku liki-arvo tähän, koska muuten olis melkosen kauheeta.

x^x=6,8x-9.6

Voi tosin olla virheitäkin.

Uusimmat

Suosituimmat