Vektoreista.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olkoon tason kanta (a, b) ja vektorit u=r1a+s1b ja v=r2a+s2b. Yhtälö u=v on tosi, jos ja vain jos r1=r2 ja s1=s2. Vastaavasti, jos kyseessä olisi avaruusvektorit muotoa ra+sb+tc, yhtälön olisi tosi, jos ja vain jos r1=r2, s1=s2 ja t1=t2. Tason vektoreiden ollessa kyseessä, tuon ehdon (r1=r2 ja s1=s2) todistaminen onnistuu lukiolaiselta ihan hyvin, mutta miten todistetaan tuo sama yhtäpitävyys avaruusvektoreilla, tai vaikkapa yleisesti n.-ulottuvuuden vektoreilla?

Kommentit (14)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Jos oletetaan, että kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, niin vektorit voivat olla samat jos ja vain jos kaikki komponentit ovat samoja. Ei kai siinä enää jää mitää todistettavaa?

Jos taas ei oleteta kantavektoreiden lineaarista riippumattomuuta, niin väite ei pidä paikkaansa yleisesti, jolloin jää korkeintaa todistettavaksi väitteen vääryys vaikkapa esimerkillä.

Tietysti tämä voi olla minun liiallista suurpiirteisyyttäkin.

edit: Jaa, muuten oliko niin, että ainakin joissakin lähteissä kantavektoreiden määritelmään jo kuuluu lineaarinen riippumattomuus? Eli vektorit muodostavat kannan vain jos ne ovat lineaarisesti riippumattomia.

Tuohon lineaariseen riippumattomuuteen aloittaja saattaa kaivata tarkennusta. Lukiossa sitä ei välttämättä käsitellä. Vektorijono on lineaarisesti riippumattomaton jos mitään niistä ei voi ilmaista toisten vektoreiden avulla. (määritelmän kansankielinen versio)

Tuosta sitten seuraa, että jokaisen kantavektorin suuntaisen komponentin täytyy olla samat, jotta vektori voisi olla sama, koska sitä komponenttia ei voi muiden komponenttien avulla ilmaista.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Tuohon tason vektoreille kehittelin kutakuinkin tällaisen todistuksen:
r1a+s1b=r2a+s2b ||-s1b-r2a
r1a-r2a=s2b-s1b
(r1-r2)a=(s2-s1)b

Koska a ja b ovat lineaarisesti riippumattomia eli erisuuntaisia, yhtälö on tosi, jos ja vain jos r1-r2=0 ja s1-s2=0 eli r1=r2 ja s1=s2.

Jonkun vastaanlaisen kun saisi avaruuden ja n.-ulottuuvuuden vektoreillekin..

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
huismjar

Jonkun vastaanlaisen kun saisi avaruuden ja n.-ulottuuvuuden vektoreillekin..

Eikös tuo todistus yleisty ihan helposti n-ulotteisillekin vektoreille?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Aivan! Yhtälöstä tulee tällöin (r1-r2)a+(s1-s2)b=(t1-t2)c tai jotain sensuuntaista, ja koska c on lineaarisesti riippumaton a:sta ja b:stä, c:tä ei voi ilmoittaa a:n ja b:n lineaarikombinaationa ja yhtälö on tosi, jos ja vain jos r1-r2=0, s1-s2=0, t1-t2=o eli r1=r2, s1=s2, t1=t2. Selvisipähän tämäkin!

Vierailija

Niin en minäkään ymmärrä, missä se ongelma on. Tasossa joudutaan ratkaisemaan yhtälöpari, 3-ulotteisessa avaruudessa 3 yhtälön ryhmä ja n-ulotteisessa avaruudessa n yhtälön ryhmä.

EDIT: Näköjään sait sen jo. Viesti tuli varmaan sekunteja ennen tätä.

Vierailija
bosoni
Jaa, muuten oliko niin, että ainakin joissakin lähteissä kantavektoreiden määritelmään jo kuuluu lineaarinen riippumattomuus? Eli vektorit muodostavat kannan vain jos ne ovat lineaarisesti riippumattomia.

Kyllä, näin asia on ainakin minulle esitetty ja näyttäähän tuo Wikipediakin olevan samaa mieltä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
huismjar
Aivan! Yhtälöstä tulee tällöin (r1-r2)a+(s1-s2)b=(t1-t2)c tai jotain sensuuntaista

tai sitten voi kirjoittaa vaikka tähän tapaan:

r1a+s1b+... = r2a+s2b +... || -( r1a+s1b+... )
0 = (r2-r1)a+(s2-s1)b+...

josta nähdään, että kertoimien pitää olla nollia.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
huismjar
Lisää kysyttävää:

Miksi vektoreiden a=a1i+b1j+c1k ja b=a2i+b2j+c2k skaalaritulo on a1a2+b1b2+c1c2?


Skalaaritulon ominaisuuksiin kuuluu, että tulo (a+b)∙(c+d) voidaan laskea ihan tavalliseen tapaan alkioittain: (a+b)∙(c+d)=ac+ad+bc+bd.

Voit siis vain laskea tulon ab auki, ja koska tiedät että i,j ja k ovat keskenään kohtisuorassa, suurin osa termeistä katoaa. Lisäksi aa antaa vain vektorin a pituuden neliön.

Tässä pitää siis vain osoittaa/olettaa skalaaritulon toimivan lineaarisesti (mikä kuuluu skalaaritulon yleisempään määritelmään). En sitten tiedä miten tuon voisi todistaa siitä kosinimääritelmästä, luultavasti aika vaikeasti?

Vierailija
huismjar
Lisää kysyttävää:

Miksi vektoreiden a=a1i+b1j+c1k ja b=a2i+b2j+c2k skaalaritulo on a1a2+b1b2+c1c2?


(a1i+b1j+c1k)·(a2i+b2j+c2k)
= a1a2i·i + a1b2i·j + a1c2i·k + b1a2j·i + b1b2j·j + b1c2j·k + c1a2k·i + c1b2k·j + c1c2k·k
=a1a2 + 0 + 0 + 0 + b1b2 + 0 + 0 + 0 + c1c2
= a1a2 + b1b2 + c1c2

Vierailija

Lisää kysyttävää vektoreista:

Miten kahden neliulotteisen vektorin vektoritulo määritetään? Tuo homma ei oikein luonnistu determinantin kanssa..

Vierailija
huismjar
Lisää kysyttävää vektoreista:

Miten kahden neliulotteisen vektorin vektoritulo määritetään? Tuo homma ei oikein luonnistu determinantin kanssa..


Vektoritulo onnistuu vain 3- tai 7-ulotteisessa avaruudessa. Siis 4-ulotteinen vektori x=(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4,0,0,0) ja y=(y1,y2,y3,y4)=(y1,y2,y3,y4,0,0,0) jne. Yleisesti ottaen:

[size=150:26bjvv0m]x × y = T[/size:26bjvv0m][size=100:26bjvv0m]x[/size:26bjvv0m][size=150:26bjvv0m](y)[/size:26bjvv0m], missä

Lähde: http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dime ... ss_product

EDIT: Jäi mainitsematta, että ristitulo ei 7-ulotteisena ole yksikäsitteinen. Johtuu siitä, että vektoreiden x ja y virittämää tasoa vastaan kohtisuoria vektoreita on monia. Tuo aiempana esitetty "määritelmä" on vain yksi mahdollinen.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006

3-ulotteisten vektoreiden ristituloa ei voi sellaisenaan yleistää. Yleistyksissä korkeampiin ulottuvuuksiin täytyy luopua joistakin ominaisuuksista. Edellä esitetty 7-ulotteinen ristitulo liittyy 8-ulotteisiin kompleksilukujen yleistyksiin oktioneihin. Oktioneilla on seitsemän imaginaariyksikköä, ja ristitulo määritellään oktionien tulossa 7-ulotteisten imaginaariosien tuottamana imaginaariosana. Samalla tavalla 3-ulotteisten vektoreiden ristitulo saadaan 4-ulotteisten kvaternioiden tulon avulla. Kvaternioilla on kolme imaginaariyksikköä i, j ja k!

Korkeampiulotteisia vastaavia lukujärjestelmiä ei ole, ja näissäkin on jo laskusäännöissä jouduttu tinkimään. Yhteen-, kerto- ja jakolasku on määritelty, mutta kvaternioiden kertolasku ei ole vaihdannainen ja oktioneilla ei edes assosiatiivinen ts. (ab)c # a(bc).

Toisentyyppinen yleistys on sitten determinanttien avulla tapahtuva, jolloin voidaan muodostaa esim. kolmen 4-ulotteisen vektorin ulkoinen tulo. Se on 4-ulotteinen vektori, joka on kohtisuorassa annettuja vektoreita vastaan ja jonka pituus on verrannollinen kolmen vektorin virittämään tilavuuteen.

Uusimmat

Suosituimmat