Ongelmia matemaattisissa todistuksissa (irrationaaliluvut)

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

1) Pitäisi todistaa, että kuutiojuuri(3) + neliöjuuri(2) on irrationaaliluku.
Lähtee tietenkin liikkeelle vastaoletuksesta, eli lauseke=m/n, jossa m,n nollasta eroavia kokonaislukuja. Tästä eteenpäin en oikeastaan pääsekään.

Molempien termien todistus erikseen onnistuu myös, mutta ei kai voi olettaa että irrationaaliluku+irrationaaliluku = irrationaaliluku. (esim pii+(-pii) = 0 on rationaaliluku)

2) Pitäisi todistaa, että kahden irrationaaliluvun välistä löytyy aina rationaaliluku.

r,s irrationaalilukuja siten, että r < s
eli r-s >0

Mitäs sitten?

Kommentit (4)

Vierailija

Voisikos olettaa, että kahden erisuuren irrationaaliluvun summa on irrationaaliluku? Ei varmaan, pitäisi todistaa (jos on edes totta).

Vierailija
silmu
1) Pitäisi todistaa, että kuutiojuuri(3) + neliöjuuri(2) on irrationaaliluku.
Lähtee tietenkin liikkeelle vastaoletuksesta, eli lauseke=m/n, jossa m,n nollasta eroavia kokonaislukuja. Tästä eteenpäin en oikeastaan pääsekään.

Molempien termien todistus erikseen onnistuu myös, mutta ei kai voi olettaa että irrationaaliluku+irrationaaliluku = irrationaaliluku. (esim pii+(-pii) = 0 on rationaaliluku)




Vastaoletuksella kannattaa lähteä liikkeelle eli oletat, että
3^(1/3) + 2^(1/2) = m/n; m,n positiivisia kokonaislukuja

Yhtäpitävästi siis
3^(1/3) = m/n - 2^(1/2)

Jos korotat tuon kolmanteen potenssiin niin saat aika näppärästi ristiriidan.

silmu
2) Pitäisi todistaa, että kahden irrationaaliluvun välistä löytyy aina rationaaliluku.

r,s irrationaalilukuja siten, että r < s
eli r-s >0

Mitäs sitten?




Tuo kannattaa tehdä osissa.

1) Jos r<0

2) Jos 0

3) Jos r

Väitteen todistaminen onnistuu kyllä täydellisyysaksiooman ja Arkhimedeen ominaisuudenkin avulla.

Regel
Voisikos olettaa, että kahden erisuuren irrationaaliluvun summa on irrationaaliluku? Ei varmaan, pitäisi todistaa (jos on edes totta).

Tuota ei voi olettaa. Esimerkiksi 2^(1/2) on irrationaaliluku, joten myös - 2^(1/2) on irrationaaliluku. Kuitenkin näiden summa on 0, joka on rationaaliluku.

Vierailija

Kiitos, kyllähän ne tuosta aukesivat.

Vielä olisi yksi ongelma. Miten todistetaan että joukot ]a,b[ ja ]c,d[ ovat yhtämahtavat, kun a < b ja c < d.

Eli on olemassa bijektio ]a,b[ -> ]c,d[, mutta mikä?

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Affiini kuvaus auttaa asiaan.

[quote author=""] 2) Jos 0
Turhan monimutkaista. Sen todistamiseksi, että jokaisella reaaliluvulla on desimaalikehitelmä, käytetään Arkhimedeen lausetta, joten lausetta kannattaa käyttää suoraan.

Uusimmat

Suosituimmat