Matematiikan yo s2000 tehtävä 9

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Heips, Ongelmaa tehtävässä 9, joka kuuluu:

Ympyrän muotoisen suon halkaisija AB on 1 km. Suunnistaja haluaa päästä mahdollisimman lyhyessä ajassa paikasta A paikkaan B. Miten hänen on valittava reittinsä, jos hän juoksee kovalla maalla 10 km/h ja suolla 5 km/h ?

Yritin itse jos jonkinlaista kaavaa muodostaa, mutta ainoaksi tulokseksi sain, että kannattaa juosta koko matka suon läpi, joka ei ole oikea tulos.

Missä menen siis vikaan:

Äijä juoskoon ympyrän kaarta s1 km, eli pituus on tällöin (keskuskulma olkoon alfa) 0,5*alfa. tästä hän oikaisee suon poikki pisteeseen B matkan s2 km. Tuota matkaa en osaa muodostaa alfan avulla.

Miten tämä tehtävä tulisi siis ratkaista?

Kommentit (14)

Vierailija

Suon läpi juokseminen on varmasti väärä vastaus.

Suoraan yli:
1km/(5km/h)=0,2h

Ympyrää pitkin kulkeminen:
(pi*0,5km)/(10km/h)=0,157h

Vierailija

Hankkikoon siivet ja lentäköön suon yli. Tai jos on talvi ja suo jäässä niin vaikka kävelee/juoksee/luistelee läpi.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Mixer

Äijä juoskoon ympyrän kaarta s1 km, eli pituus on tällöin (keskuskulma olkoon alfa) 0,5*alfa. tästä hän oikaisee suon poikki pisteeseen B matkan s2 km. Tuota matkaa en osaa muodostaa alfan avulla.

Piirrä se suon poikki juostu matka x-akselin suuntaiseksi, eikä suoraan pisteeseen B. Silloin kaarella juostuja matkoja on kaksi kaksi kappaletta, alussa ja lopussa.

Jos piirrät kuvaan suorakulmaisen kolmion ympyrän kaarelta x-akselille, ja muistelet suorakulmaisen kolmion trigonometriaa... niin saat sen suossa juostun matkan ilmaistua kulman avulla.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
Mixer
Heips, Ongelmaa tehtävässä 9, joka kuuluu:

Ympyrän muotoisen suon halkaisija AB on 1 km. Suunnistaja haluaa päästä mahdollisimman lyhyessä ajassa paikasta A paikkaan B. Miten hänen on valittava reittinsä, jos hän juoksee kovalla maalla 10 km/h ja suolla 5 km/h ?

Yritin itse jos jonkinlaista kaavaa muodostaa, mutta ainoaksi tulokseksi sain, että kannattaa juosta koko matka suon läpi, joka ei ole oikea tulos.

Missä menen siis vikaan:

Äijä juoskoon ympyrän kaarta s1 km, eli pituus on tällöin (keskuskulma olkoon alfa) 0,5*alfa. tästä hän oikaisee suon poikki pisteeseen B matkan s2 km. Tuota matkaa en osaa muodostaa alfan avulla.


Olkoon piste C se piste, josta suunnistaja päättää lähteä oikomaan suon läpi. Tällöin OCB muodostaa tasakylkisen kolmion, jonka huippukulma on pii-alfa, ja kylkien pituuksina on r=0.5. Tästä sinun pitäisi osata perustrigonometrialla ratkaista kolmannen sivun pituus alfan funktiona. Joko kosinilauseella tai jakamalla tasakylkinen kolmio kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.

Tämän jälkeen saat funktion s(alfa)=0,5*alfa+CB(alfa), jonka voit minimoida differentiaalilaskennalla.

EDIT: Ja aina se bosoni ehtii ensin. Mutta tässä O oli siis ympyrän keskipiste.

Vierailija

Tämän voi kuulemma ratkaista myös ilman tuollaista derivoimista:
otetaan jokin kuvitteellinen kaari AC, josta huomataan, että matka kaarta pitkin AC on aina ajallisesti lyhyempi kuin matka suoraa AC pitkin.

Vierailija

Tehtävätyyppi taitaa olla yo-kirjoitusten laajan matematiikan vakiona oleva ääriarvosovellus. Derivointi sinällään ei pitäisi olla ongelma, mutta oikean lausekkeen esille kaivaminen karsii jyviä akanoista.

Vierailija

Tehtävä vaikuttaa ääriarvosovellutukselta, mutta sen todellakin voi ratkaista ilman derivointejakin. Jos otetaan puoliympyrän kaaren pituuden suhde halkaisijaan, saadaan π/2 ≈ 1,57. Jos otetaan mikä tahansa muu ympyrän kaaren pituuden suhde sitä vastaavaan jänteen pituuteen, saadaan aina pienempi suhde. Koska nopeuksien suhde 10 km/h : 5 km/h = 2 on aina suurempi kuin mikään em. suhteista, niin kannattaa juosta koko matka ympyrän kaarta pitkin.

Vierailija

Kiitos paljon auttaneille, tehtävä ratkesi Kunpa muistaisi ensi kerralla tuon laajennetun Pythagoraan lauseen, siitä oli tässä tehtävässä apua.

Vierailija

Huomio vielä tuosta ratkaisun rakentelusta: Jos tuossa tehtävässä oikaisu kannattaa loppupuolella, niin silloinhan se kannattaa myös alussa, koska maasto on symmetrinen.

Vierailija

Tämä tehtävä on siitä typerä (tai viisas, makuasia), että valittiinpa juoksunopeudet miten tahansa, niin aina vastaus on joko kokonaan suon reunaa pitkin tai suon halkaisijaa pitkin. Rajatapuksessa käy vielä molemmat reitit. Koskaan ei kannata juosta osittain suon reunaa ja osittain suota pitkin.

Vierailija

Huomenna on pitkän matikan yo-kirjoitus, ja aivot alkaa jo nyt olla aika lailla jumissa
Eli koitan ratkaista seuraavasta piirtämästäni kuvasta kateettien x ja y suhdetta Pythagoraan lauseen avulla. Tehtävän siis voisi tehdä myös toisin, mutta haen tässä juuri tuota.

Tällä kertaa ei tarvitse todistaa, että pikkukolmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia.
Ja olisin kiitollinen jos vastausta saisin mahdollisimman nopeasti

Edit: tuo ison kolmion hypotenuusa on siis 10a, joka on jaettu suhteessa 3:7

Vierailija
P2
Huomenna on pitkän matikan yo-kirjoitus, ja aivot alkaa jo nyt olla aika lailla jumissa
Eli koitan ratkaista seuraavasta piirtämästäni kuvasta kateettien x ja y suhdetta Pythagoraan lauseen avulla. Tehtävän siis voisi tehdä myös toisin, mutta haen tässä juuri tuota.

Tällä kertaa ei tarvitse todistaa, että pikkukolmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia.
Ja olisin kiitollinen jos vastausta saisin mahdollisimman nopeasti


Jos nyt välttämättä haluat tehdä tuon Pythgoraan lauseen avulla, niin miten olisi, jos kirjoitetaan sekä vasemmasta että oikeasta kolmiosta Pythagoras ja ratkaistaisiin kummastakin h². Nyt voi molemmat h²:t laittaa yhtäsuuriksi ja tästä yhtälöstä pääset siihen suhteeseen käsiksi.

En vain ymmärrä miksi se pitää väellä ja vängällä tehdä näin monimutkaisesti...

Vierailija
Kale
P2
Huomenna on pitkän matikan yo-kirjoitus, ja aivot alkaa jo nyt olla aika lailla jumissa
Eli koitan ratkaista seuraavasta piirtämästäni kuvasta kateettien x ja y suhdetta Pythagoraan lauseen avulla. Tehtävän siis voisi tehdä myös toisin, mutta haen tässä juuri tuota.

Tällä kertaa ei tarvitse todistaa, että pikkukolmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia.
Ja olisin kiitollinen jos vastausta saisin mahdollisimman nopeasti


Jos nyt välttämättä haluat tehdä tuon Pythgoraan lauseen avulla, niin miten olisi, jos kirjoitetaan sekä vasemmasta että oikeasta kolmiosta Pythagoras ja ratkaistaisiin kummastakin h². Nyt voi molemmat h²:t laittaa yhtäsuuriksi ja tästä yhtälöstä pääset siihen suhteeseen käsiksi.

En vain ymmärrä miksi se pitää väellä ja vängällä tehdä näin monimutkaisesti...

Periaatekysymys
Katsoin tarkemmin omaa vastaustani, olin laskenut toisessa kolmiossa että 7a olisi ollut hypotenuusa, vaikka siinä se on kateetti... sitä vain äkisti tulee sokeaksi omille virheilleen

Uusimmat

Suosituimmat