Etsi virhe yhtälönratkaisussa.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Seuraava tehtävä on Lukion Calculus -sarjan analyyttisen geometrian osasta. En millään löydä virhettä omasta ratkaisustani. Silti jostain putkahtaa ylimääräinen juuriehdokas. Ehkä joku teistä osaa auttaa.

(Seuraavassa ">_" tarkoittaa suurempi tai yhtä suuri kuin ja "+/-" tarkoittaa plus-miinus.)

Tehtävä: Ratkaise yhtälöpari "xy + y^2 = 4y ja x^2 + xy = 4".

"Ratkaisu": Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen ja kirjoitetaan vasen puoli neliöksi, jolloin saadaan (x + y)^2 = 4y + 4. Huomioidaan rajoite y >_ -1, jolloin voidaan ottaa puolittain neliöjuuri. Saadaan x = -y +/- 2 sqrt{y + 1}.

Sijoitetaan saatu x:n lauseke alkuperäiseen yhtälöön xy + y^2 = 4y, jolloin saadaan sieventämisen jälkeen 4y +/- 2y sqrt{y + 1} = 0. Jaetaan vasen puoli tekijöihin ja käytetään tulon nollasääntöä, jolloin saadaan 2y = 0 tai 2 +/- sqrt{y + 1} = 0. Edellisen yhtälön ratkaisu on y = 0. Jälkimmäisen yhtäloön ainoa ratkaisu on y = 3. Nämä molemmat ovat sopusoinnussa ehdon y >_ -1 kanssa.

Sijoittamalla yhtälöön x = -y +/- 2 sqrt{y + 1} saadaan ratkaisuiksi (x, y)-parit (2, 0), (-2, 0) ja (1, 3) sekä (-7, 3), joka on ylimääräinen.

Mistä tuo ylimääräinen ratkaisupari oikein putkahti? Ts. missä vaiheessa pitäisi huomioida, että myös x:n arvoja rajoittaa jokin ehto?

Sivut

Kommentit (32)

Vierailija

Ehw, taitaakin olla jotain ylempää matematiikkaa. Itse sain yhtälöpareilla tuosta x=1 ja y=3, jotka toimivat molemmissa yhtälöissä ratkaisuina
Edit: niin, ja huomenna kirjoituksiin

Vierailija
Heat
summa x+y ei voi olla negatiivinen, kun siitä otettiin neliöjuuri..

Mutta eihän summasta x + y suinkaan otettu neliöjuurta vaan neliöstä (x + y)^2. Eli hyvinkin saa olla x + y < 0. Ja näinhän onkin ratkaisun (-2, 0) tapauksessa.

OT: Rutkasti peukkuja kirjoituksiin meneville! Ottakaa joku se 66 pistettä!

Vierailija
Samuli

Jaetaan vasen puoli tekijöihin ja käytetään tulon nollasääntöä, jolloin saadaan 2y = 0 tai 2 +/- sqrt{y + 1} = 0. Edellisen yhtälön ratkaisu on y = 0. Jälkimmäisen yhtäloön ainoa ratkaisu on y = 3. Nämä molemmat ovat sopusoinnussa ehdon y >_ -1 kanssa.

Sijoittamalla yhtälöön x = -y +/- 2 sqrt{y + 1} saadaan ratkaisuiksi (x, y)-parit (2, 0), (-2, 0) ja (1, 3) sekä (-7, 3), joka on ylimääräinen.

Mistä tuo ylimääräinen ratkaisupari oikein putkahti? Ts. missä vaiheessa pitäisi huomioida, että myös x:n arvoja rajoittaa jokin ehto?

Eikös tuo y=3 ratkaisu toimi vain ton 2sqrt{y+1}negatiivisella arvolla. Lopussa olet napannut x:lle kaksi arvoa (+/-) kun y=3.

Vierailija

Turha laskea liian vaikealla tavalla.

Yksinkertaisemmin:

(1) xy + y^2 = 4y <=> y(x+y-4)=0 eli ensimmäinen yhtälö voidaan

helposti hajoittaa kahdeksi suoraksi y=0 tai x+y=4

(2)ja x^2 + xy = 4 <=> x(x+y)=4 sijoittamalla tähän saadut suorat saadaan

x(x+0)=4 tai x(4)=4 eli x^2=4 tai x=1 =>

x=+-2, kun y=0 tai x=1, kun x+y=4 <=> y=3 eli saadaan pisteet

(+-2,0) ja (1,3) eikä lainkaan ylimääräisiä.

(ps. ykkösyhtälön hajoitetusta muodostakin nähdään helposti, että

piste (-7,3) ei ole suoralla y=-x+4)

Vierailija
Ehtycs
Eikös tuo y=3 ratkaisu toimi vain ton 2sqrt{y+1}negatiivisella arvolla. Lopussa olet napannut x:lle kaksi arvoa (+/-) kun y=3.

Ymmärrän kyllä mitä kirjoitat (paitsi tarkoitit varmaankin "positiivisella"), mutta en ymmärrä, miksi näin on. Siis mikä ihme kieltää käyttämästä yhtälöä x = -y - 2sqrt{y + 1} ratkaistaessa x:ää, kun y = 3.

Vierailija

En itse lähtisi tuossa summaamaan yhtälöitä puolittain. Helpommalla mielestäni pääsee, kun kirjoittaa ensimmäisen yhtälön muotoon xy+y^2-4y=y(x+y-4)=0, josta tulon nollasäännöllä saadaan kaksi ratkaisua, eli y=0 tai x+y=4. Arvolla y = 0 saadaan jälkimmäisestä yhtälöstä x^2 =4, eli ratkaisut x=2 ja x=-2. Jälkimmäinen yhtälö voidaan niin ikään kirjoittaa seuraavasti x^2+xy=x(x+y) ja sijoittamalla edellä saatu ehto x+y=4 saadaan 4x=4, josta saadaan x=1 ja y =3.

Oletko tarkastanut, toteuttaako ylimääräinen "ratkaisusi" yhtälöparin?Juuren ottamisessa on usein se ongelma, että saadaan ylimääräisiä juuria, mutta ne eivät silti ole alkuperäisen yhtälön ratkaisuja.Siksi kannattaa ensin katsoa, saisiko yhtälöä muokattua muutoin, vaikkapa etsiskellä yhteisiä tekijöitä tms.

Onnea ylppäreihin

Vierailija

Olen Lasikaton ja Matemaatikon kanssa ihan samaa mieltä siitä, että liian vaikeasti ei pidä laskea. Kuitenkin haluaisin tietää, mikä hankalassa ratkaisussani menee pieleen --- kyllähän ne oikeat ratkaisut pitäisi saada vaikeastikin laskien!

Matemaatikko
Juuren ottamisessa on usein se ongelma, että saadaan ylimääräisiä juuria, mutta ne eivät silti ole alkuperäisen yhtälön ratkaisuja.

Juu, toki näin on. Mutta ne ylimääräiset ratkaisut kyllä huomaa, kun pitää huolta reaalisuusehdoista juurtaessaan. Minä en kertakaikkiaan nyt näe, missä vaiheessa jää joku x:n rajoite huomiotta.

Vierailija

No mää koitan selittää... Olen hirveän huono selittämisessä, jos pitää selittää asiaa mutta kaikenlaista sontaa osaan kyllä selittää.

Yhtälöpari: xy +y^2 = 4y ja x^2 +xy = 4
Lasketaan puolittain yhteen ja täydennetään neliöksi.
(x+y)^2 = 4(y + 1) | otetaan neliöjuuri, y>=-1
saadaan kaksi yhtälöä (plusmiinus arvot)

(1.) x = 2 sqrt{y+1} -y ja (2.) x = -2 sqrt{y+1} -y
.noin

Sijoitetaan se tuohon x^2 + xy = 4, saadaan että:

(1.) 4y + 2y sqrt{y+1} = 0 kun "käytetään plus arvoa"
ja
(2.) 4y - 2y sqrt{y+1} = 0 kun "käytetään miinus arvoa"

1. kohdasta saadaan 2y = 0 <=> y=0 ja
2 + sqrt{y+1} = 0, jolla ei ole reaalijuurta.

2.kohdasta saadaan sama y=0 ja 2 - sqrt{y+1} = 0 jolla on reaalijuuri y=3.

NYT kun laskemme x:lle arvot:
a)
kun y=0 jolloin pätee kohtat 1. ja 2. saadaan ne x = +/-2
b)
kun y=3 pätee vain tuo kohta 2. ratkaisu y=3 saatiin sijoittamalla x:n lauseke "miinus" arvolla tuohon jälkimmäiseen yhtälöön. Toinen ei päde koska y=3 ei ole sen ratkaisu. Tästä saadaan siis tuo kolmas x=1.

Ne ylimääräset koordinaatit voi sijoittaa sinne yhtälöpariin ja jossei ne toteuta molempia yhtälöitä ni ne ei oo sillon oikeita ratkaisuja.

Blargh... Onnea kaikille vain kirjoituksiin muuten myös Huomenna on sitten kunnon jälkipyykki!

Vierailija

Se nyt ainakin pistää silmään, että saamasi tulos yhtälöiden yhteenlaskusta

(x + y)^2 = 4y + 4, toteuttaa pisteen (-7,3)

vaikka kumpikaan alkuperäisistä yhtälöistä ei toteuta.

Eli yhteenlaskussa tässä tapauksessa menetetään olennaista informaatiota
x:n ja y:n rajoitteista.

Muutenkin toinen yhtälö y=-x+4/x esittää hyberbeliä, jolla on epäjatkuvuus kohta suoralla x=0, joten kyseisen yhtälön kuvaajan
vasen ja oikea puoli pitäisi varmaankin käsitellä omina tapauksinaan.

Vierailija

Tehtävä: Ratkaise yhtälöpari "xy + y^2 = 4y ja x^2 + xy = 4".

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan jakamalla y:llä

x+y=4

Sijoitetaan toiseen yhtälöön x=4-y niin saadaan

y=3

ja x=1

Jos y=0 jolloin jakoa ei voida tehdä, niin x=2 ja y=0. (Joo x= plus miinus 2)

Vierailija
lasikatto
Se nyt ainakin pistää silmään, että saamasi tulos yhtälöiden yhteenlaskusta

(x + y)^2 = 4y + 4, toteuttaa pisteen (-7,3)

vaikka kumpikaan alkuperäisistä yhtälöistä ei toteuta.

Oho! Tämä on kyllä jotain ihan uutta. Minä kun kuvittelin, että yhtälöiden puolittain yhteenlaskemisessa ei koskaan olisi mitään ongelmia. Ilmeisesti näin ei sitten olekaan.

Vierailija
Samuli
lasikatto
Se nyt ainakin pistää silmään, että saamasi tulos yhtälöiden yhteenlaskusta

(x + y)^2 = 4y + 4, toteuttaa pisteen (-7,3)

vaikka kumpikaan alkuperäisistä yhtälöistä ei toteuta.




Oho! Tämä on kyllä jotain ihan uutta. Minä kun kuvittelin, että yhtälöiden puolittain yhteenlaskemisessa ei koskaan olisi mitään ongelmia. Ilmeisesti näin ei sitten olekaan.

Voihan sitä ajatella vain yhtälöparia {x+1=0, x-1=0}, jolla ei selvästikään ole ratkaisuja (y-muuttujan saa ajatella rajoittamattomaksi). Yhtälöt yhteen laskemalla saadaan kuitenkin "ratkaisu" x=0. Näin siinä tosiaan voi käydä, jos lähtee epätodesta lausekkeesta liikkeelle. Aika jännä.

Vierailija
deriva
Voihan sitä ajatella vain yhtälöparia {x+1=0, x-1=0}, jolla ei selvästikään ole ratkaisuja (y-muuttujan saa ajatella rajoittamattomaksi). Yhtälöt yhteen laskemalla saadaan kuitenkin "ratkaisu" x=0.

Argh! Olipas tosi hyvä esimerkki! Toinen, nyt jälkiviisaana miettien aivan ilmeinen, on yhtälöpari {x = 0, y = 0}, jonka yhtälöiden yhteenlasku tuottaa yhtälön x + y = 0. Tällä on sitten jopa äärettömästi sellaisia ratkaisuja, jotka eivät toteuta alkuperäistä yhtälöparia.

Nyt pitää kyllä miettiä koko yhtälönratkaisukuvio uusiksi, ettei tule töpästeltyä tämän asian kanssa jatkossa.

Kiitos osallistuneille!

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat