Kinkkinen diffisyhtälö

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tuli mieleen klassinen ongelma: kuinka suuri alkunopeus tarvitaan, että päästää maasta pois ikuisiksi ajoiksi. Jos ilmanvastus hylätään, vastaus on helppo saada integroimalla.

Entä jos kysytään, että "Kuinka suuri alkunopeus pitää antaa, jotta kappale pääsisi 20 km korkeuteen kun ilmanvastus on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen sekä ilman tiheyteen?"

Helpotetaan siten, että gravitaation voi olettaa olevan vakio. Pitäisikö ehkä käyttää kaavaa, että F = roo * k * v^2 ? No, noilla nopeuksilla ei kaava kuitenkaan ole tarkka, joten voidaan helpottaa tehtävää siten, että se olisi verrannollinen nopeuteen.

Ilman tiheys on muotoa roo(h) = roo_0 * exp(- lamda * h)

Tästä kehkeytyy aika ilkeän oloinen yhtälö:

Yhtälön pitäisi olla melko oikein, tuosta pitäisi siis ratkaista v(t).

Oho, ilman tiheys maanpinnalla unohtui. No, sen voi sisällyttää tuohon k:n arvoon

Mitä mieltä, ratkeaako ilman numeerisia menetelmiä?

Kommentit (2)

Vierailija
msdos464

Tästä kehkeytyy aika ilkeän oloinen yhtälö:

Yhtälön pitäisi olla melko oikein, tuosta pitäisi siis ratkaista v(t).


Tuon integraalinhan voi laskea suoraan olevan -1/lambda*exp(-lambda*y). v(t) on siis sisäfunktion derivaatta. Itse hahmotan nuo helpommin vain kirjoittamalla liikeyhtälön y''=-y'*exp(-y)-g, ja tuosta integroidaan y'=exp(-y)-gt. Tämän pitäisi ratketa mukavasti. Kaikki vakiot siis ykkösiä.

Edit: Ja toki integroidessa pitäisi ottaa huomioon integrointivakiot, mutta ne ovat ratkaisun löytymisen kannalta sivuseikkoja.

Vierailija
deriva
Tuon integraalinhan voi laskea suoraan olevan -1/lambda*exp(-lambda*y). v(t) on siis sisäfunktion derivaatta. Itse hahmotan nuo helpommin vain kirjoittamalla liikeyhtälön y''=-y'*exp(-y)-g, ja tuosta integroidaan y'=exp(-y)-gt. Tämän pitäisi ratketa mukavasti. Kaikki vakiot siis ykkösiä.

Edit: Ja toki integroidessa pitäisi ottaa huomioon integrointivakiot, mutta ne ovat ratkaisun löytymisen kannalta sivuseikkoja.

Ahaa.. tosiaan sen hahmottaa kivemmin tuolla tavalla. Huomasin myös itse, että tuon integraalin saa todennäköisesti laskettua (en ollut täysin varma). En kuitenkaan hoksannut yhtälöstä tulevan helppoa, kun kirjoitin tuon v:n funktiona sitä. Eiköhän tästä saa jonkin tuloksen

Uusimmat

Suosituimmat