Differentiaaliyhtälöongelma

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

No moipz...

Joo neuvokaa, olis tällanen differentiaaliyhtälö missä käsketään ratkaisemaan päättelemällä mitä yksityisratkaisu täydellinen yhtälö tulisi olla.

y'-5y=-2cos(6x)

Homogeeninen yhtälön jo ratkaisinkin, pitäisi olla muotoa y=e^(5x),
mutta täydellistä yhtälöä en ymmärrä...

voisitteko selittää Täydellisen yhtälön ratkaisun.

V: y=e^(5x)-((12/61)sin6x)+((10/61)cos6x)

Kiitoksia...

Kommentit (3)

Vierailija
newhistory
No moipz...

Joo neuvokaa, olis tällanen differentiaaliyhtälö missä käsketään ratkaisemaan päättelemällä mitä yksityisratkaisu täydellinen yhtälö tulisi olla.

y'-5y=-2cos(6x) 1)

Homogeeninen yhtälön jo ratkaisinkin, pitäisi olla muotoa y=e^(5x),
mutta täydellistä yhtälöä en ymmärrä...

voisitteko selittää Täydellisen yhtälön ratkaisun.

V: y=e^(5x)-((12/61)sin6x)+((10/61)cos6x) 2)

Kiitoksia...

Sijoitat erikoisratkaisuksi y = Acos 5x + B sin 5x, 3)

jossa A ja B ovat tuntemattomia vakioita, ja sitten derivoit ja sijoitat 1) :en.

Saat kaksi yhtälöä, eli cos 6x:n ja sin 6x:n kertoimet, joista edellisen pitää olla = -2, ja jälkimmäisen = 0. Näistä ratkeavat kertoimet A ja B, ja saadaan yhtälö 2).

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
newhistory

y'-5y=-2cos(6x)

Homogeeninen yhtälön jo ratkaisinkin, pitäisi olla muotoa y=e^(5x),
mutta täydellistä yhtälöä en ymmärrä...

voisitteko selittää Täydellisen yhtälön ratkaisun.

Yksi yleensä toimiva keino näissä on vakion varioitimenetelmä.

Eli ratkaistaan homogeeninen yhtälö, jonka ratkaisu on tässä muotoa Ae^(5x).

Sitten sijoittaa täydelliseen yhtälöön yritteen, joka on muotoa A(x)*e^(5x)

(eli vakiota A varioidaan, kun sen oletetaan olevan x:n funktio)

Tästä pitäisi sitten tulla A(x):lle yhtälö, joka ratkeaa integroimalla.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
newhistory
No moipz...

Joo neuvokaa, olis tällanen differentiaaliyhtälö missä käsketään ratkaisemaan päättelemällä mitä yksityisratkaisu täydellinen yhtälö tulisi olla.

y'-5y=-2cos(6x)

Homogeeninen yhtälön jo ratkaisinkin, pitäisi olla muotoa y=e^(5x),
mutta täydellistä yhtälöä en ymmärrä...

voisitteko selittää Täydellisen yhtälön ratkaisun.

V: y=e^(5x)-((12/61)sin6x)+((10/61)cos6x)

Kiitoksia...


Tuollaisen epähomogeenisen yhtälön ratkaisu saadaan siis homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun y_h(x) ja täydellisen yhtälön yhden yksittäisratkaisun y_0(x) summana. Homogeenisen yhtälon ratkaisuksi saitkin jo y_h=Ce^(5x).

Yksittäisratkaisun etsimiseen on monia tapoja, ja esim. juuri bosonin ehdottama vakion variointi toimii mainiosti. Lukiossa (ja myöhemminkin) riittänee kuitenkin käyttää yritettä y_0(x)=Asin(kx)+Bcos(kx) aina, kun epähomogeenisuustermi on vastaavaa muotoa oleva trigonometrinen funktio. Yritettä on kenties paras perustella sillä, että se vain toimii

Idea on lähinnä se, että kun sijoitat tuota muotoa olevan yritteen täydelliseen diff. yhtälöön, vasemmalle puolelle tulee jokin sinin ja kosinin lineaarikombinaatio (koska sinin ja kosinin derivaatat ovat sinejä ja kosineja), ja myös oikealta puolelta löytyy jo valmiiksi samanlaista muotoa oleva tekijä. Näin voidaan asettaa sinin ja kosinin kertoimet yhtä suuriksi, ja saadaan ratkaistua A ja B. Tämän jälkeen sinulla onkin yksi yksittäisratkaisu täydelliselle diff. yhtälölle.

Uusimmat

Suosituimmat