Shakkilaudan ruudut
klo 19:28 | 28.3.2008
Minun pitäisi selvittää, montako neliöä ja suorakulmiöta shakkilaudasta (8x8 ruudukko) löytyy. Neliöiksi ja suoorakulmioiksi lasketaan siis muutkin, kuin 1x1-kokoiset neliöt, esim 3x3 ruudun neliökin on neliö.
Olen itse päässyt tulokseen, että neliöitä olisi 204 ja suorakulmioita 2476, mutta kaipaisin silti tarkistusta teiltä fiksummilta, sillä en ole ollenkaan varma tuloksistani.
Kiitos jo etukäteen.
Näytä toki se päättelyketju minkä johdosta päädyit valitsemiisi lukuihin niin autetaan.
Neliöiden lukumäärä on oikein.
Laskit varmaan 8x8 + 7x7 +...+ 2x2 + 1 = 204
Suorakulmiot ovat hankalampi juttu.
Sain, kun nopeasti laskin, että 1062 suorakulmiota.. siis jos neliöitä ei oteta huomioon..
1*x -kokoisia 448 kpl
2*x - 294kpl
3*x - 180 kpl
4*x - 100 kpl
5*x - 48 kpl
6*x - 18 kpl
7*x - 4 kpl
Aivan hyvin voi olla että jäi noinkin paljon huomioimatta, eli voi olla sinunkin saamasi luku oikein.
EDIT neliöitä sain sen saman 204.
EDIT oli jäänyt 30 ruutua ilmeisesti tuossa yhteenlaskussa sitten jonnekin.
eli 1092 ruutua, jos ei neliöitä ja neliöiden kanssa 1296 ruutua olisi.
nxm-laudalla on erilaisia suorakulmioita (ei neliöitä) laskujeni mukaan n*(n+1)/2*m*(m+1)/2 kpl. Suorakulmiota siis 1296 kpl.
Jopas löytyy eriäviä vastauksia. No, kiva tietää, että neliöt ovat oikein.
Pistän tähän linkin skanniin, jonka otin laskelmistani. Varsinaista lauseketta tai muuta tälläistä höttöä ei ole, vaan ainoastaan laskelmia siitä, montako minkäkin kokoisia suorakulmioita ehkä löytyy. Ja linkki vielä tässä
Aika kömpelö tapa laskea ruutuja yksi kerrallaan. Itse ajattelin, että suorakulmio muodostuu siitä, kun valitaan n rivin joukosta kaksi suorakulmion yhdeksi sivuksi ja m sarakkeen joukosta kaksi toisiksi. Tapojen lukumäärä saadaan kaavasta (n+1 yli 2)*(m+1 yli 2). Voihan tuon toki laskea myös inkluusio-ekskluusioperiaatteella.
Eli esim 8x7(ja 7x8) kokoisia olisi yhteensä 8 kpl?
Mielestäni tulee silloin kahteen kertaan laskettua.
XXXXXXXX eli (1 x 8 ) muotoa olevia on 1*8 kpl
XXXXXXX eli (1 x 7) muotoa olevia on 2*8 kpl
XXXXXX eli (1 x 6) muotoa olevia on 3*8 kpl
XXXXX eli (1 x 5) muotoa olevia on 4*8 kpl
XXXX eli (1 x 4) muotoa olevia on 5*8 kpl
XXX eli (1 x 3) muotoa olevia on 6*8 kpl
XX eli (1 x 2) muotoa olevia on 7*8 kpl
X eli (1 x 1) muotoa olevia on 8*8 kpl
Huomioidaan pystysuuntaisetkin kerrotaan tulos kahdella. Neliölliset toistuvat kahdesti, joten vähennetään -8*8
Saadaan 2*8*(1+2+3+4+5+6+7)+8^2
XXXXXXXX
XXXXXXXX eli (2 x 8 ) muotoa olevia on 1*7
XXXXXXX
XXXXXXX eli (2 x 7) muotoa olevia on 2*7
XXXXXX
XXXXXX eli (2 x 6) muotoa olevia on 3*7
XXXXX
XXXXX eli (2 x 5) muotoa olevia on 4*7
XXXX
XXXX eli (2 x 4) muotoa olevia on 5*7
XXX
XXX eli (2 x 3) muotoa olevia on 6*7
XX
XX eli (2 x 2) muotoa olevia on 7*7
Huomioidaan pystysuuntaisetkin kerrotaan tulos kahdella. Neliölliset toistuvat kahdesti, joten vähennetään -7*7
Saadaan 2*7*(1+2+3+4+5+6)+7^2
XXXXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXXXX eli (3 x 8 ) muotoa olevia on 1*6
XXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXX eli (3 x 7) muotoa olevia on 2*6
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX eli (3 x 6) muotoa olevia on 3*6
XXXXX
XXXXX
XXXXX eli (3 x 5) muotoa olevia on 4*6
XXXX
XXXX
XXXX eli (3 x 4) muotoa olevia on 5*6
XXX
XXX
XXX eli (3 x 3) muotoa olevia on 6*6
Huomioidaan pystysuuntaisetkin kerrotaan tulos kahdella. Neliölliset toistuvat kahdesti, joten vähennetään -6*6
Saadaan 2*6*(1+2+3+4+5)+6^2
.
.
.
Loput induktiolla taikka vaan analogisesti...
2*8*(1+2+3+4+5+6+7)+8^2 +
2*7*(1+2+3+4+5+6)+7^2 +
2*6*(1+2+3+4+5)+6^2 +
2*5*(1+2+3+4)+5^2 +
2*4*(1+2+3)+4^2 +
2*3*(1+2)+3^2 +
2*2*(1)+2^2 +
2*1*(0)+1^2
= 1*(71)+2*(68 )+3*(63)+4*(56)+5*(47)+6*(36)+7*(23)+8*(8 )
= (2^4)*(3^4) = 1296
juu kyllä se oli minullakin sittenkin tämä sama 1296 ruutua, 30 katosi jonnekin, kun laskin paperilla lopuksi yhteen.
En ole koskaan ollut erityisen hyvä näissä, mutta itse päättelin asian näin:
Laskin ensin suorakulmioiden ja neliöiden määrän neliöissä 1x1 - 4x4.
Tässä kuva joka havainnollistaa asian:
Samalla periaatteella 5x5 neliössä on (10+5)^2 neliöä ja suorakulmiota, eli 15^2.
6x6, (15+6)^2
7x7, (15+6+7)^2
8x8, (15+6+7+8 )^2 = 36^2 = 1296
Eli sama vastaus kun aikaisemmilla.
Koska neliöitä 8x8 neliössa on 8x8+7x7+...+2x2+1=204, niin suorakulmioita on 1296-204=1092.
Vastaus: neliöitä 204 kpl ja muita suorakulmioita 1092 kpl.
edit: nxn -neliössä on sitten (1+2+3+...+n-1+n)^2 suorakulmiota ja neliötä, joista neliöitä on siis se tuttu n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2
2nd edit: koska kaikki varmasti tiedämme että, 1+2+..+n=n(n+1)/2, on nxn -neliössä siis (n^2 x (n+1)^2)/4 neliöä ja suorakulmiota.
Kiitoksia ihan mielettömästi, varsinkin Numeratorin viestistä oli apua, mutta kyllä te muutkin olitte hyödyksi.
Jatko analyysillä huomataan, että vastaukset ovat summan
SIGMA(X:0 -> n) X^3
osasummia.
Siis shakkilauta tapauksessa n=8 ja summa on:
0^3+1^3+2^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3 = 1296
7x7 neliöitä on 4 kpl ja 6x 6 neliöitä on (8 nCr 6) *4 vai onko?
Eikös shakkilauta itsessään ole yksi neliö/ruutu. Vai kävikö se tuossa edellä ilmi?
Juu, siis shakkilautahan on 8*8 ruutu ja se on laskelmissa otettu huomioon. Kai.