Shakkilaudan ruudut

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Minun pitäisi selvittää, montako neliöä ja suorakulmiöta shakkilaudasta (8x8 ruudukko) löytyy. Neliöiksi ja suoorakulmioiksi lasketaan siis muutkin, kuin 1x1-kokoiset neliöt, esim 3x3 ruudun neliökin on neliö.
Olen itse päässyt tulokseen, että neliöitä olisi 204 ja suorakulmioita 2476, mutta kaipaisin silti tarkistusta teiltä fiksummilta, sillä en ole ollenkaan varma tuloksistani.
Kiitos jo etukäteen.

Kommentit (15)

Vierailija
Anniez
Minun pitäisi selvittää, montako neliöä ja suorakulmiöta shakkilaudasta (8x8 ruudukko) löytyy. NEliöiksi ja suoorakulmioiksi lasketaan siis muutkin, kuin 1x1-kokoiset neliöt, esim 3x3 ruudun neliökin on neliö.
Olen itse päässyt tulokseen, että neliöitä olisi 204 ja suorakulmioita 2476, mutta kaipaisin silti tarkistusta teiltä fiksummilta, sillä en ole ollenkaan varma tuloksistani.
Kiitos jo etukäteen.

Neliöiden lukumäärä on oikein.

Laskit varmaan 8x8 + 7x7 +...+ 2x2 + 1 = 204

Suorakulmiot ovat hankalampi juttu.

Vierailija

Sain, kun nopeasti laskin, että 1062 suorakulmiota.. siis jos neliöitä ei oteta huomioon..
1*x -kokoisia 448 kpl
2*x - 294kpl
3*x - 180 kpl
4*x - 100 kpl
5*x - 48 kpl
6*x - 18 kpl
7*x - 4 kpl

Aivan hyvin voi olla että jäi noinkin paljon huomioimatta, eli voi olla sinunkin saamasi luku oikein.

EDIT neliöitä sain sen saman 204.
EDIT oli jäänyt 30 ruutua ilmeisesti tuossa yhteenlaskussa sitten jonnekin.
eli 1092 ruutua, jos ei neliöitä ja neliöiden kanssa 1296 ruutua olisi.

Vierailija

Jopas löytyy eriäviä vastauksia. No, kiva tietää, että neliöt ovat oikein.
Pistän tähän linkin skanniin, jonka otin laskelmistani. Varsinaista lauseketta tai muuta tälläistä höttöä ei ole, vaan ainoastaan laskelmia siitä, montako minkäkin kokoisia suorakulmioita ehkä löytyy. Ja linkki vielä tässä

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Aika kömpelö tapa laskea ruutuja yksi kerrallaan. Itse ajattelin, että suorakulmio muodostuu siitä, kun valitaan n rivin joukosta kaksi suorakulmion yhdeksi sivuksi ja m sarakkeen joukosta kaksi toisiksi. Tapojen lukumäärä saadaan kaavasta (n+1 yli 2)*(m+1 yli 2). Voihan tuon toki laskea myös inkluusio-ekskluusioperiaatteella.

Vierailija

XXXXXXXX eli (1 x 8 ) muotoa olevia on 1*8 kpl

XXXXXXX eli (1 x 7) muotoa olevia on 2*8 kpl

XXXXXX eli (1 x 6) muotoa olevia on 3*8 kpl

XXXXX eli (1 x 5) muotoa olevia on 4*8 kpl

XXXX eli (1 x 4) muotoa olevia on 5*8 kpl

XXX eli (1 x 3) muotoa olevia on 6*8 kpl

XX eli (1 x 2) muotoa olevia on 7*8 kpl

X eli (1 x 1) muotoa olevia on 8*8 kpl

Huomioidaan pystysuuntaisetkin kerrotaan tulos kahdella. Neliölliset toistuvat kahdesti, joten vähennetään -8*8

Saadaan 2*8*(1+2+3+4+5+6+7)+8^2

XXXXXXXX
XXXXXXXX eli (2 x 8 ) muotoa olevia on 1*7

XXXXXXX
XXXXXXX eli (2 x 7) muotoa olevia on 2*7

XXXXXX
XXXXXX eli (2 x 6) muotoa olevia on 3*7

XXXXX
XXXXX eli (2 x 5) muotoa olevia on 4*7

XXXX
XXXX eli (2 x 4) muotoa olevia on 5*7

XXX
XXX eli (2 x 3) muotoa olevia on 6*7

XX
XX eli (2 x 2) muotoa olevia on 7*7

Huomioidaan pystysuuntaisetkin kerrotaan tulos kahdella. Neliölliset toistuvat kahdesti, joten vähennetään -7*7

Saadaan 2*7*(1+2+3+4+5+6)+7^2

XXXXXXXX
XXXXXXXX
XXXXXXXX eli (3 x 8 ) muotoa olevia on 1*6

XXXXXXX
XXXXXXX
XXXXXXX eli (3 x 7) muotoa olevia on 2*6

XXXXXX
XXXXXX
XXXXXX eli (3 x 6) muotoa olevia on 3*6

XXXXX
XXXXX
XXXXX eli (3 x 5) muotoa olevia on 4*6

XXXX
XXXX
XXXX eli (3 x 4) muotoa olevia on 5*6

XXX
XXX
XXX eli (3 x 3) muotoa olevia on 6*6

Huomioidaan pystysuuntaisetkin kerrotaan tulos kahdella. Neliölliset toistuvat kahdesti, joten vähennetään -6*6

Saadaan 2*6*(1+2+3+4+5)+6^2

.
.
.

Loput induktiolla taikka vaan analogisesti...

2*8*(1+2+3+4+5+6+7)+8^2 +
2*7*(1+2+3+4+5+6)+7^2 +
2*6*(1+2+3+4+5)+6^2 +
2*5*(1+2+3+4)+5^2 +
2*4*(1+2+3)+4^2 +
2*3*(1+2)+3^2 +
2*2*(1)+2^2 +
2*1*(0)+1^2

= 1*(71)+2*(68 )+3*(63)+4*(56)+5*(47)+6*(36)+7*(23)+8*(8 )

= (2^4)*(3^4) = 1296

Vierailija

juu kyllä se oli minullakin sittenkin tämä sama 1296 ruutua, 30 katosi jonnekin, kun laskin paperilla lopuksi yhteen.

Vierailija

En ole koskaan ollut erityisen hyvä näissä, mutta itse päättelin asian näin:
Laskin ensin suorakulmioiden ja neliöiden määrän neliöissä 1x1 - 4x4.
Tässä kuva joka havainnollistaa asian:

Samalla periaatteella 5x5 neliössä on (10+5)^2 neliöä ja suorakulmiota, eli 15^2.
6x6, (15+6)^2
7x7, (15+6+7)^2
8x8, (15+6+7+8 )^2 = 36^2 = 1296
Eli sama vastaus kun aikaisemmilla.

Koska neliöitä 8x8 neliössa on 8x8+7x7+...+2x2+1=204, niin suorakulmioita on 1296-204=1092.

Vastaus: neliöitä 204 kpl ja muita suorakulmioita 1092 kpl.

edit: nxn -neliössä on sitten (1+2+3+...+n-1+n)^2 suorakulmiota ja neliötä, joista neliöitä on siis se tuttu n^2+(n-1)^2+...+2^2+1^2

2nd edit: koska kaikki varmasti tiedämme että, 1+2+..+n=n(n+1)/2, on nxn -neliössä siis (n^2 x (n+1)^2)/4 neliöä ja suorakulmiota.

Vierailija

Kiitoksia ihan mielettömästi, varsinkin Numeratorin viestistä oli apua, mutta kyllä te muutkin olitte hyödyksi.

Vierailija

Jatko analyysillä huomataan, että vastaukset ovat summan

SIGMA(X:0 -> n) X^3

osasummia.

Siis shakkilauta tapauksessa n=8 ja summa on:

0^3+1^3+2^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3 = 1296

Vierailija
anomalia
Anniez
Minun pitäisi selvittää, montako neliöä ja suorakulmiöta shakkilaudasta (8x8 ruudukko) löytyy. NEliöiksi ja suoorakulmioiksi lasketaan siis muutkin, kuin 1x1-kokoiset neliöt, esim 3x3 ruudun neliökin on neliö.
Olen itse päässyt tulokseen, että neliöitä olisi 204 ja suorakulmioita 2476, mutta kaipaisin silti tarkistusta teiltä fiksummilta, sillä en ole ollenkaan varma tuloksistani.
Kiitos jo etukäteen.



Neliöiden lukumäärä on oikein.

Laskit varmaan 8x8 + 7x7 +...+ 2x2 + 1 = 204

Suorakulmiot ovat hankalampi juttu.

7x7 neliöitä on 4 kpl ja 6x 6 neliöitä on (8 nCr 6) *4 vai onko?

Vierailija
Tarkkailija
Eikös shakkilauta itsessään ole yksi neliö/ruutu. Vai kävikö se tuossa edellä ilmi?

Juu, siis shakkilautahan on 8*8 ruutu ja se on laskelmissa otettu huomioon. Kai.

Uusimmat

Suosituimmat