Kaksi pitkän matematiikan ongelmaa
Kumpikaan ei luultavasti sinänsä hirveän vaikea, mutta näin kokeen alla ei vain sytytä kun kyseisiä asioita ei ole tunnilla käyty läpi.
1. Janan toinen päätepiste on (0,1) ja toinen käyrällä x^2=2y. Millä käyrällä janan keskipiste on?
Eli, miten pisteen etäisyys käyrästä lasketaan? Yritin selailla kirjasta, mutta mitään selvää kaavaa ei ainakaan löytynyt.
2. Puolipallon sisään asetetaan neliöpohjainen suorakulmainen särmiö, jonka pohja on puolipallon pohjalla ja tilavuus mahdollisimman suuri. Kuinka monta prosenttia särmiön tilavuus on puolipallon tilavuudesta?
En pyydä laskemaan kumpaakaan tehtävää, vaan antamaan vaan periaatteen ratkaisuun. Ensimmäinen tehtävä on Analyyttinen Geometria -kurssista ja jälkimmäinen Juuri- ja logaritmifunktiot -kurssista.
Kiitos jo vastauksista!
Sivut
Veikkaan, että ei kannata laskea pisteen etäisyyttä käyrästä, on se sen verran hankalaa, kun pitäisi vielä laskea takaisinpäinkin.
Helpointa on, kun laskee janan pituuden ja suuntavektorin kiinteästä pisteestä lähtien. Sitten arvataan käyrän yhtälön luonne ja parilla kokeilulla selvitetään parametrit.
Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.
1) piirrä ensin kuva. Valitse tuolta paraabelilta piste (x, y). Laske että missä pisteessä (x', y') janan keskipiste tällöin on. Tästä yhtälöstä tarvitsee enää eliminoida tuo x niin saat riippuvuuden y' = f(x'), joka sekin näyttäisi olevan paraabeli.
2) Lagrangen kertojalla No ei, ei ole vielä lukiossa.
Symmetriaan vedoten voinee olettaa, että särmiön pohja on neliön muotoinen. Jos puolipallon säde on r, niin särmiön sivun pituus on siis 0 < a < r.
Laske kuution korkeus tuon a:n funktiona, eli h = f(a). Sitten maksimoi g(a) = a^2 * f(a), eli derivaatan nollakohta.
Vielä tuosta pisteen etäisyydestä käyrästä.
Pisteen etäisyys käyrästä on pienin etäisyys. Pisteen etäisyys jostakin käyrän pisteestä ratkeaa ihan Pythagoraan teoreeman nojalla.
Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.
Niin, noissa tehtävissä ei tarvitse ollenkaan laskea pisteen etäisyyttä käyrästä. Jos sen kuitenkin haluaa laskea, pitää muistaa vain että jos suorat leikkaavat toisensa 90 asteen kulmassa, suorien kulmakertoimien tulo on -1. Käyrä pitää parametrisoida (koostuu siis pisteistä (x, f(x)), ja tuolle funktiolle pitää vielä laskea derivaatta.
Kohta kaksi ratkeaa trigonometrialla...minuutissa.
Jos osaa laskea särmiön ja pallon pinta-alan niin tehtävä on ratkaistu...
Joo...kyllä dossi taitaa olla hyvinkin jyvällä
Kun janan toinen päätepiste on (0,1) ja toinen ( t, t^2/2), niin mikä on janan keskipiste? Mikä on yhtälö keskipisteen 1. (x-) ja 2. (y-) koordinaatin välillä?
Normaalisti en jaksa kirjoitella, mutta josko tämän kerran.
1) Kuten jo sanottuakin, piirrä kuva, käyrä on jo annettu, sitten vain mietit että minkälaisia pisteitä siltä käyrältä löytyy, esim jollain arvolla x'. Tämän pisteen ja annetun pisteen kautta pitäisi osata piirtää suora (eli suoran yhtälö pitäisi löytää), ja janankeskipiste löytyy tämän jälkeen helposti kuvaa katsomalla. (Mieti paljonko on halutun funktion arvo jos annetun funktion arvo on f(x'), ja sitten kelaat että milläs x:n arvolla tämä arvo pitäisi oikeasti saada). Vastaus on looginen, löytyy myös päättelemällä minkälaisen käyrän keskipiste piirtää (Onko suora, paraabeli, kolmannen asteen funktio vai mikä?, Mikä on arvo kohdassa x=0?, Entä x=1? =>parametrit funktiolle).
2) Itekkin rupesin eka miettimään derivointeja, mutta eihän tässä sellaisia tarvita. KBolt sanoikin jo kaiken tarvittavan. 2*Pythagoras + tilavuudet.
Miten särmiön tilavuus maksimoidaan ilman derivointia? Trigonometrialla saa helposti kyllä ratkaistua sivun pituutta a vastaavan korkeuden h = f(a).
Laske janan alku- ja loppupisteen keskiarvo.
X = (0+x)/2, Y = (1+(x^2)/2)2
" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi
“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo
Ei kauheen helposti. Täytynee turvautua geometrisiin faktoihin tai epäyhtälöiden todettuihin ominaisuuksiin, ja silloinkaan ei ole täysin selvää onko todellinen optimi löydetty.
Mitäköhän vittua tuokin nyt tarkoittaa[size=150:332r2t3t]?[/size:332r2t3t]
---
Tuolta löytyy kuitenkin sovellettu vastaus: [size=150:332r2t3t]Käänteinen induktio[/size:332r2t3t]
" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi
“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo
Jopas jotakin, se oli mahdollista! Eikö tuossa ole kuitenkin otsikossa virhe? Siinä ei ole kaavan oikealla puolella geometristä keskiarvoa vaan jokin outo summan neliöjuuri. Aina noloa =P
No olisi pitänyt luottaa vain omaan intuitioon ja vääntää derivoimalla. Onnistuihan se muutenkin kun aloitti piirtämällä osittain väärin kuvan Noh, pitää vissiin lopettaa tää yökukkuminen ja ottaa nämä muistia virkistävät tehtävät ihan vaan virkeässä kunnossa päivällä...
Edit: Multiple post - netti takkuaa
Sivut