Todistustehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Kyseessä ei siis ole mikään kotitehtävä, vaan matematiikasta kiinnostuneena satuin törmäämään seuraavanlaiseen tehtävään:
Osoita, että on olemassa äärettömän monta irrationaalilukua x ja y, joiden summa ja tulo ovat luonnollisia lukuja.

Oma päättelyni menee seuraavasti.
√2 on irrationaaliluku. Tämänhän voi todistaakin, mutta jätän sen nyt laittamatta.
Tällöin myös (2 - √2) on irrationaaliluku, kuten myös (2 + √2).

Summa: (2 - √2) + (2 + √2) = 4 (luonnollinen luku)
Tulo: (2 - √2) x (2 + √2) = 2^2 - (√2)^2 = 2 (luonnollinen luku)

Irrationaaliluvut voidaan kertoa positiivisella kokonaisluvulla n niin, että tulo on aina irrationaaliluku. Luku 2(2 - √2) on irrationaaliluku. Niin myös 3(2 - √2) jne.
Summa: n(2 - √2) + n(2 + √2) = 2n - n√2 + 2n + n√2 = 4n (luonnollinen luku)
Tulo: n(2 - √2) x n(2 + √2) = 2n^2 (luonnollinen luku)

Koska positiivisia kokonaislukuja on äärettömästi, on myös äärettömästi vaihtoehtoja luvulle n. Tällöin myös irrationaalilukuja n(2 - √2) ja n(2 + √2), joiden summa ja tulo on luonnollinen luku, on äärettömästi.

Onko olemassa mitään muita todistustapoja, tai onko tässä tavassa jotain huomautettavaa?

edit: pari typoa korjasin

Kommentit (12)

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Numerator

Osoita, että on olemassa äärettömän monta irrationaaliluku x ja y, joiden summa ja tulo ovat luonnollisia lukuja.

Mitä ihmettä??

Ei kai tuollaista tehtävää nyt missään voi olla! Sama jos pitäisi "todistaa", että kahden luvun summa on joku luku....
Annappa linkki, jos jossain ihan oikeesti on esitetty jotain tuollaista todistustehtävänä.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Vierailija
Cargo
Ei kai tuollaista tehtävää nyt missään voi olla! Sama jos pitäisi "todistaa", että kahden luvun summa on joku luku....
Annappa linkki, jos jossain ihan oikeesti on esitetty jotain tuollaista todistustehtävänä.

Osoitus ja todistus, eikö ne nyt ole melkein sama asia. Kai.
Muistaakseni tämä oli alunperin jossain matematiikkaolympialaisissa. Koitan etsiä lähteen tässä kun ehdin, mutta noin se tehtävä kyllä kuului. (paitsi tuo typo "irrationaaliluku", pitäisi olla "irrationaalilukua")

Vierailija
Cargo

Ei kai tuollaista tehtävää nyt missään voi olla!

noh, alkeista sen on kaiken alettava! Sinänsä on aina hienoa, että jo yläasteella osoitetaan kiinnostusta matematiikkaa kohtaan.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Intuitioni sanoo, että jos luvut x ja y ovat algebrallisia, niiden on oltava toisen asteen yhtälön juuria. Transkendenttisten lukujen tapauksesta en tiedä, veikkaisin, että ei.

Vierailija
Numerator
Kyseessä ei siis ole mikään kotitehtävä, vaan matematiikasta kiinnostuneena satuin törmäämään seuraavanlaiseen tehtävään:
Osoita, että on olemassa äärettömän monta irrationaalilukua x ja y, joiden summa ja tulo ovat luonnollisia lukuja.

Oma päättelyni menee seuraavasti.
√2 on irrationaaliluku. Tämänhän voi todistaakin, mutta jätän sen nyt laittamatta.
Tällöin myös (2 - √2) on irrationaaliluku, kuten myös (2 + √2).

Summa: (2 - √2) + (2 + √2) = 4 (luonnollinen luku)
Tulo: (2 - √2) x (2 + √2) = 2^2 - (√2)^2 = 2 (luonnollinen luku)

Irrationaaliluvut voidaan kertoa positiivisella kokonaisluvulla n niin, että tulo on aina irrationaaliluku. Luku 2(2 - √2) on irrationaaliluku. Niin myös 3(2 - √2) jne.
Summa: n(2 - √2) + n(2 + √2) = 2n - n√2 + 2n + n√2 = 4n (luonnollinen luku)
Tulo: n(2 - √2) x n(2 + √2) = 2n^2 (luonnollinen luku)

Koska positiivisia kokonaislukuja on äärettömästi, on myös äärettömästi vaihtoehtoja luvulle n. Tällöin myös irrationaalilukuja n(2 - √2) ja n(2 + √2), joiden summa ja tulo on luonnollinen luku, on äärettömästi.

Onko olemassa mitään muita todistustapoja, tai onko tässä tavassa jotain huomautettavaa?

edit: pari typoa korjasin


Todistustapoja varmaan on monia. Tuo tapasi on ihan kelvollinen. Lihavoitu tosin pitäisi vielä osoittaa.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Puuhikki
Intuitioni sanoo, että jos luvut x ja y ovat algebrallisia, niiden on oltava toisen asteen yhtälön juuria. Transkendenttisten lukujen tapauksesta en tiedä, veikkaisin, että ei.

Eipä niitä transkendenttisia ehdon toteuttavia lukuja tosiaan ole.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006

Algebrallisia lukuja ovat kokonaislukukertoimisten polynomien juuret. Esimerkiksi luvun 2 kuutiojuuri on algebrallinen. Se on yhtälön x^3-2 =0 ratkaisu. Algebrallisia lukuja on ääretön, mutta kuitenkin vain numeroituva määrä. Transkendenttisia lukuja ovat sitten loput reaaliluvut ja niitä on paljon enemmän, ylinumeroituva määrää.

Vierailija

Tuo irratoinaaliluvun ja kokonaisluvun tulon irrationaalisuus oli mielenkiintoista todistaa:

Tehdään vastaoletus, että kokonaisluvun ja irratinaaliluvun tulo kuuluukin rationaalilukujen joukkoon, eli

na=p/q, missä n,p,q kuuluvat kokonaislukujen ja a irrationaalilukujen joukkoon. (n,q ja p erisuuria kuin nolla)
Kun yhtälön molemmat puolet jaetaan n:llä saadan yhtälö a=p/nq, mikä on ristiriidassa lähtöoletuksen (a on irrationaaliluku) kanssa => kokonaisluvun ja irrationaaliluvun tulo on irrationaalinen.
Tiedä sitten, pitäisikö kokonaislukujen tulo nq todistaa olevan rationaaliluku

Vierailija
Cargo
Numerator

Osoita, että on olemassa äärettömän monta irrationaaliluku x ja y, joiden summa ja tulo ovat luonnollisia lukuja.

Mitä ihmettä??

Ei kai tuollaista tehtävää nyt missään voi olla! Sama jos pitäisi "todistaa", että kahden luvun summa on joku luku....
Annappa linkki, jos jossain ihan oikeesti on esitetty jotain tuollaista todistustehtävänä.

Oletteko te sattumalta jälkeenjäänyt?

Vierailija

Olkoon k kokonaisluku. Tällöin luvut a_k=k/2-sqrt(2) ja b_k=k/2+sqrt(2) ovat irrationaalisia. Kuitenkin a_k+b_k = k kaikilla kokonaisluvuilla k, siis irrationaalilukupareja joiden summa on kokonaisluku, on äärettömän monta.

Vierailija
Puuhikki
Intuitioni sanoo, että jos luvut x ja y ovat algebrallisia, niiden on oltava toisen asteen yhtälön juuria.

Kaikki toisen asteen yhtälöt ovat kompleksilukujen joukosa ratkeavia tunnetulla ratkaisukaavalla, joka on juurikaava. Galois osoitti aikoinaan, että polynomeille joiden asteluku on n>= 5 löytyy nollakohtina algebrallisia lukuja, joita ei saa juuren otolla.

Vierailija
Puuhikki
Intuitioni sanoo, että jos luvut x ja y ovat algebrallisia, niiden on oltava toisen asteen yhtälön juuria.

Kaikki toisen asteen yhtälöt ovat kompleksilukujen joukosa ratkeavia tunnetulla ratkaisukaavalla, joka on juurikaava. Galois osoitti aikoinaan, että polynomeille joiden asteluku on n>= 5 löytyy nollakohtina algebrallisia lukuja, joita ei saa juuren otolla.

Uusimmat

Suosituimmat