Mitä Einstein tarkoitti?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Grilliä lämmittäessään mies huomaa unohtaneensa ostaa saunaoluet. Juhannusvieraat saapuvat viiden minuutin kuluttua ja vaimon eriävistä mielipiteistä huolimatta mies päättää kipaista oluet superrelativistisella Honda Monkeyllään, joka kulkee vaatimattomat 90% valonnopeudesta. Reissu kestää miehen mielestä tasan viisi minuuttia, mutta palatessaan takaisin hän huomaa vieraiden saapuneen aikaisemmin. Kuinka kauan reissu kesti vaimon mielestä?

Vastaus: 11,5 min

Tehtävä laskettiin lukiossa suppean suhteellisuusteorian aikadilaation kaavalla 5min / sqrt(1-(0.9c/c)^2) = 11,5min.

Kuitenkin samoissa oppikirjoissa lukee isoin kirjaimin, että tämä kaava liittyy suppeaan suhteellisuusteoriaan, jossa tutkitaan vakionopeudella toistensa suhteen liikkuvia koordinaatistoja.

Esimerkissä Monkeyn täytyy kiihdyttää mökin pihasta, jarruttaa kaupan pihaan, kiihdyttää kaupan pihasta ja vielä jarruttaa takaisin mökin pihaan. Siis mies ei voi tehdä kauppareissua vakio nopeudella vaimon suhteen.

Miksi aikadilaatiot lasketaan yleisesti tällä kaavalla, vaikka vakionopeusehtoa rikotaan?

Kun kiihtyvyydet otetaan huomioon yleisessä suhteellisuusteoriassa, supistuuko aikadilaation laskeminen takaisin suppean suhteellisuusteorian mukaiseen kaavaan?

Kommentit (4)

Vierailija

Lukiossa lasketaan karkeasti suppealla suhteellisuusteorialla, sillä se on hiukan hankalempaa laskea yleisellä suhteellisuusteorialla.
Lukio tasolla tarkoituksena ymmärtää ainoastaan aikadilaation merkitys. (ajan suhteellisuus)

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Jurtala

Tehtävä laskettiin lukiossa suppean suhteellisuusteorian aikadilaation kaavalla 5min / sqrt(1-(0.9c/c)^2) = 11,5min.

Kuitenkin samoissa oppikirjoissa lukee isoin kirjaimin, että tämä kaava liittyy suppeaan suhteellisuusteoriaan, jossa tutkitaan vakionopeudella toistensa suhteen liikkuvia koordinaatistoja.

Esimerkissä Monkeyn täytyy kiihdyttää mökin pihasta, jarruttaa kaupan pihaan, kiihdyttää kaupan pihasta ja vielä jarruttaa takaisin mökin pihaan. Siis mies ei voi tehdä kauppareissua vakio nopeudella vaimon suhteen.

Inertiaaliseksi (= ei-kiihdyttäväksi) koordinaatistoksi voidaan ensinnäkin valita vaimon koordinaatisto. Kun mies kiihdyttää autollaan, hän hyppii inertiaalikoordinaatistosta toiseen. Tarkastelu voidaan siis jakaa dt:n suuruisiin infinitesimaalisiin aikaväleihin, jonka mies aina viettää jossain hetkellisessä inertiaalikoordinaatistossa. Aikadilataatio voidaan laskea kullekin dt:lle, jolloin miehen kello tikittää ajan dT = dt*sqrt[1 - v(t)^2] vaimon koordinaattiajassa dt.

Tehtävänannosta tiedetään, että miehen kello tikittää koko matkan aikana 5 min, eli

T = integraali_0^5(dT) = 5.

Tuossa merkinnässä 0 on integroinnin alaraja ja 5 yläraja. Tähän voidaan sijoittaa dT:n lauseke tuolta edeltä, jolloin saadaan

T = integraali_0^x(dt*sqrt[1 - v(t)^2]) = 5,

missä x on vaimon kellon kulkema aika miehen reissun aikana.

Jotta tuo integrointi voitaisiin suorittaa, täytyy tuntea v(t), eli miehen nopeus vaimon koordinaatistossa matkan aikana. Se on paloittain määritelty funktio

v(t) =

a*t, kun 0 < t < t1 (t1 on alkukiihdytykseen kuluva aika ja a kiihtyvyys; a*t1 = 0.9)

0.9, kun t1 < t < x/2 - t1 (olettaen, että jarrutus aloitetaan t1 minuuttia ennen kaupan pihaan saapumista)

0.9 - a*(t - x/2 + t1), kun x/2 - t1 < t < x/2 + t1 (tänä aikana jarrutetaan, kunnes kaupan pihassa hetkellä t = x/2 auton nopeus on nolla, ja sitten kiihdytetään paluumatkalle)

-0.9, kun x/2 + t1 < t < x (loppujarrutuksen kotipihaan voit itse halutessasi lisätä).

Kun tuo nopeus sijoitetaan yllä esitettyyn integraaliin, voidaan integraali laskea paloissa:

T = int_0^t1(...) + int_t1^(x/2-t1)(...) + ... = 5.

Jos kiihdytykset tapahtuvat hyvin nopeasti, on t1 likimain nolla, ja lauseketta voidaan approksimoida sijoittamalla t1 = 0, jolloin saadaan:

T = int_0^(x/2)(dt*sqrt[1 - 0.9^2]) + int_(x/2)^x(dt*sqrt[1 - (-0.9)^2])

= sqrt[1 - 0.9^2]*int_0^x(dt) = sqrt[1 - 0.9^2]*x = 5, mistä

x = 5/sqrt[1 - 0.9^2] = 11.5 (min).

Eli menee se ihan suppeamman suhteellisuusteorian mukaan.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija

Einsteinin ehkä viisain oivallus oli tämä: "Kaikki on suhteellista."

Nopeuden kasvaessa aika hidastuu jne.

Mutta minun mielestäni mielenkiintoisinta on se, että tämä aksiooma pätee myös psykologiassa!

Uusimmat

Suosituimmat