Seuraa 
Viestejä45973

Ensimmäinen pitkän matematiikan kurssini alkaa olla lopuillaan, ja se osoittautui yllättävän helpoksi minulle. Neliöjuurten laskemisesta puhuttaessa opettaja tuli maininneeksi kompleksiluvuista, muttei suostunut puhumaan niistä sen enempää. Taulukkokirjassa on tietoa siitä, miten niillä lasketaan, mutta siinä kaikki.

Eli siis: Haluaisin tietää, mitä ovat kompleksiluvut ja mihin niitä käytetään. Entä käsitelläänkö niitä lukion pitkässä matematiikassa ollenkaan edes valinnaiskursseilla ja kuinka kattavasti?

Vastauksia toivoen wizard.

Sivut

Kommentit (26)

No eihän se matematiikka lukiossa loppujen lopuksi niin kovin kattavaa ole, mutta kyllä kompleksilukuja käsitellään. Ainakin Pyramidi-sarjassa kompleksiluvut löytyy "analyysi" kirjasta, muodostaen yhden kolmesta suuremmasta osa-alueesta, joista opettaja valitsee käsiteltävät. Analyysi-kurssi on syventävä, ja on todennäköistä, että kompleksiluvut otetaan kurssissa käsittelyyn, koska niitä YO-kirjoituksissa esiintyy. On muuten aika hyvä oljenkorsi, jos aiheen hallitsee...

Tässä nyt mahdollisimman yksinkertaisesti: (Käsitevirheitä saa korjailla!)

Imaginaariluvut on helpoin ymmärtää korkeamman asteen funktioiden juurien kautta, sillä silloin tällöin ratkaisuksi saadaan negatiivisten lukujen neliöjuuria. Yksinkertaisesti ajateltuna imaginaariluvut mahdollistavat kyseisten ratkaisujen olemassaolon...

Imaginaariluvut poikkeavat reaaliluvuista siten, että pelkän lukujanan sijaan ne muodostavat kompleksitason... Näiden lukujen ei siis voi ajatella sijaitsevan pelkällä lukujanalla, vaan ne voivat sijaita missä tahansa kaksiuloitteisessa koordinaatistossa. Reaaliluvut sisältyvät kompleksilukuihin, sillä myös ne sijaitsevat kompleksitasolla, mutta vain "vaakasuoralla akselilla", jota perinteisesti ajatellaan "lukujanana". Imaginaariosan ("y-koordinaatin") omaavilla kompleksiluvuilla ei luonnollisesti voida ajatella olevan minkäänlaista suuruusjärjestystä.

Perustan kopleksilukulaskuissa muodostaa epävirallisesti ajatus, että luvun -1 neliöjuuri on i, eli imaginaariyksikkö. Virallisesti sääntö kuuluu: i^2 = -1.

Kun kompleksilukujen perusajatuksen on saanut miellettyä, onkin lukion osuus näistä luvuista aika hyvin hallussa, sillä kurssissa käsitellään lopulta lähinnä näihin lukuihin liittyviä yksinkertaisia laskutoimituksia, pyörityksiä ja merkintätapoja. Kompleksiluvuilla laskemista voisi verrata vektorilaskuihin, joita on luvassa geometrian yhteydessä.

Vaikka lukion oppimäärä kompleksilukujen suhteen on melko suppea, ei niiltä voi matematiikassa välttyä, sillä ne tulevat vastaan jo yksinkertaistenkin funktioiden täydellisten ratkaisujen yhteydessä. Suosittelen analyysikurssia opiskeltavaksi!

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613

Kompleksiluvut ovat lukuja, jotka voidaan kirjoittaa muotoon

z=x+yi, Re z = x, Im z=y

Kompleksiluvut muodostavat kompleksilukujen joukon, jota merkitään kirjaimella C, usein vielä sellaisella fontilla että siinä on ylimääräinen pystyviiva C:n kaaren pystysuuntaisen osan sisäpuolella.

Kompleksiluku koostuu reaaliosasta (merkitään z:n reaaliosa Re z) x, joka on siis reaaliluku, sekä imaginääriosasta (vastaavasti Im z) y, jolla kerrotaan imaginääriyksikkö i.

i on mielenkiintoinen luku. Se on määritelty siten, että

i^2=-1

Tästä seuraa se, että voidaan laskea negatiivisten lukujen neliöjuuria, jotka ovat aina kompleksilukuja. Tämä helpottaa ja selkeyttää jossakin määrin analyysin teoriaa: Voidaan todeta että komleksijukujen joukossa kaikilla n-kertoimisilla funktioilla on n ratkaisua.

Kompleksilukuja ei kuitenkaan voi asettaa suuruusjärjestykseen samalla tavalla kuin reaalilukuja, mikä luonnollisesti asettaa vähäisiä rajoituksia niiden käytölle. Kompleksilukuja voi kuitenkin laskea yhteen ja kertoa keskenään.

Komleksiluvun määritelmän perusteellahan kompleksilukujen joukko eroaa reaaliluvuista yhdella tavalla. Reaalilukujen joukkoa voidaan ajatella suorana, jonka jokainen piste on yksi luku. Kompleksilukujen joukkoa voidaan kuitenkin ajatella tasona, jonka jokainen piste on yksi kompleksiluku. Origossa on piste, jonka arvo reaaliosa-akselilla on nolla ja arvo imaginääriakselilla on nolla, eli luku on siis nolla. Jos reaaliosa on nolla ja imaginääriakselilla piste saa arvon 1, lukua merkitään z=i.

i voidaan siis merkitä i=(0+1i)

joka korotettuna toiseen potenssiin on

(0+1i)^2=0x0+2x0x1i+i^2=i^2

joka on määritelmän perusteella -1.

Kompleksiluvuilla on myös vektorien ominaisuuksia, joten niihin voidaan soveltaa myös vektorilaskennan sääntöjä.

Jos kompleksiluku merkitään vektorimuotoon, saadaan merkintä

z=xi+yj, jossa z on vektori, i on x-akselin suuntainen yksikkövektori ja j y-akselin suuntainen yksikkövektori.

Tässä vaiheessa moni sekoittaa yksikkövektorin i (jonka päällä kuuluisi olla viiva tai nuoli) ja imaginääriluvun i. Pitää olla huolellinen merkintöjen kanssa. Yleisemmin vektorimerkintä saadaan seuraavasti (merkitään vektori zetaa Z:llä ja kompleksilukua z pienellä z:llä.:

Z=(Re z)*i + (Im z)*j, jossa i ja j ovat ortogonaalisen tasokoordinaatiston kantavektorit ja yhden mittaiset.

Kompleksilukuja voidaan myös käsitellä polaarikoordinaatistossa, jossa niillä on suuntakulma eli argumentti, sekä etäisyys nollasta eli itseisarvo. Suuntakulma puolestaan yleensä merkitään radiaaneissa, eli luonnolisen kulman yksiköllä, joka puolestaan on toinen juttu ja vaatii ainakin yhtä pitkän selityksen trigonometriasta kuin tämä selitys, joten toivon että olet kuullut siitä. Jos et ole, voin toki senkin selittää tai joku muukin sen voi tehdä.

Selvensiköhän tämä selostus yhtään kompleksilukujen käsitettä?

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Ei taida lukiossa kompleksilukujen käsittelyä olla. Ei ainakaan minun aikanani ollut.

Lyhyesti sanottuna näin: Luvuthan ymmärretään suorana, x-akselina. Kompleksiluvuilla on myös reaaliosan(x-akselikomponentin) lisäksi imaginääriosa, y-akselilla määritelty komponentti, i. i on määritelty reaalilukujen suhteen niin, että i^2=-1.

Reaaliluvut ovat vain erikoistapaus kompleksilukujen kunnassa. Esim. joitakin matemaattisia mallinnuksia voi olla vaikeaa esittää pelkillä reaaliluvuilla.

wizard
Eli siis: Haluaisin tietää, mitä ovat kompleksiluvut ja mihin niitä käytetään. Entä käsitelläänkö niitä lukion pitkässä matematiikassa ollenkaan edes valinnaiskursseilla ja kuinka kattavasti?

Vastauksia toivoen wizard.

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

Lukiossa ei ainakaan minun aikanani valitettavasti juurikaan niihin kajottu. Kompleksilukuja käytetään käytännössä varmaankin lähes kaikessa. Koskee esim. kaikkea sähköpuolen kamaa, sovellettua matematiikkaa ja fyysikotkin niitä käyttää.

Kiitos tiedoista! Valitettavasti kyseistä analyysi-kurssia ei taida enää uudessa opsissa olla ainakaan saman nimisenä. Kirjasarjakin on eri, nimeltänsä - yllättävän mielikuvituksellisesti - pitkä matematiikka.

Offtopic: tuosta dossin tupakasta tuli mieleen. Parhaat muistot yläasteelta oli juuri välituntien tupakoinnit. Piilossa nurkan takana, läheisessä metsässä, takapihalla tai alikulkutunnelissa. Sosiaalisten suhteiden kannalta tupakka on ollut ehkä paras asia nuoruudessani - onneksi se oli kiellettyä. Ja onneksi olen päässyt siitä eroon. Mitään en tekisi toisin.

Loptio
Missä muussa käytännön asiassa kompleksiluvuilla laskemisesta on hyötyä sähkötekniikan lisäksi?

Tuossa postaamassani linkissä kerrottiin sovelluskohteita. Enhän niitä kaikkia tietenkään tunne. Lisäksi, jos googleen syöttää esim. hakusanat complex numbers applications, niin pitäisi löytyä.

Esimerkkeinä kvanttimekaniikka perustuu niiden käyttöön. Tietenkin matematiikassa niitä käytetään mm. differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Tästä päästäänkin säätoteoriaan, jossa Laplace-muunnos/käänteismuunnos on ahkerassa käytössä. Kompeksiluvut voivat myös auttaa ymmärtämään todellisuutta paremmin.

Loptio
Seuraa 
Viestejä1187
Loptio
Missä muussa käytännön asiassa kompleksiluvuilla laskemisesta on hyötyä sähkötekniikan lisäksi?

Tarkoituksni oli voimakkaasti painottaa sanaa 'käytäntö', vaikka en tuonutkaan sitä riittävästi esille. En itse ole törmännyt kompleksilukujen käyttöön missään muussa yhteydessä kuin sähkötekniikan parissa, joten ajatukseni oli kysäistä käyttääkö palstalaisista joku moisia ihan käytännön työssään, poislukien tietenkin matemaatikot tai fyysikot, jotka oletusarvoisesti niitä käyttävät. Pahoittelen aiempaa, liian suppeasti esitettyä kysymystäni.

Herra Tohtori
Kompleksiluvut ovat lukuja, jotka voidaan kirjoittaa muotoon

z=x+yi, Re z = x, Im z=y

[...]

Kompleksiluku koostuu reaaliosasta (merkitään z:n reaaliosa Re z) x, joka on siis reaaliluku, sekä imaginääriosasta (vastaavasti Im z) y, jolla kerrotaan imaginääriyksikkö i.

i on mielenkiintoinen luku. Se on määritelty siten, että

i^2=-1


Tarkemmin ottaen kompleksiluvut ovat määritelmältään reaalilukupareja (x,y), joille on määritelty kaksi laskusääntöä:

Yhteenlasku: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
Kertolasku: (a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Nämä laskusäännöt toteuttavia lukuja voidaan sitten esittää eri tavoin ja yleisin tapa on juuri imaginääriyksikkö i:n avulla. Kattavampi esitys aiheesta löytyy yllä annetusta wikipedian linkistä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Loptio

Tarkoituksni oli voimakkaasti painottaa sanaa 'käytäntö', vaikka en tuonutkaan sitä riittävästi esille. En itse ole törmännyt kompleksilukujen käyttöön missään muussa yhteydessä kuin sähkötekniikan parissa, joten ajatukseni oli kysäistä käyttääkö palstalaisista joku moisia ihan käytännön työssään, poislukien tietenkin matemaatikot tai fyysikot, jotka oletusarvoisesti niitä käyttävät. Pahoittelen aiempaa, liian suppeasti esitettyä kysymystäni.

Mikä sitten on käytäntö, jollei fyysikot kelpaa? Eikös sähkötekniikka ole fysiikkaa sekin. Äkkiä tulisi mieleen vaikkapa akustiikka tai mikä tahansa tuö, jossa pitää aaltoja käsitellä. Kompleksiluvut helpottavat laskuja kummasti, ja niillä saa aina johdettua vaikkapa trigonometrisiä identiteettejä jne. Siis käytännössä niistä on apua aloilla, jossa joutuu pyörittelemään aaltoyhtälöitä, differentiaaliyhtälöitä, trigonometriaa jne.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

David
Seuraa 
Viestejä8877

Imaginääriluvuilla voidaan korvata puutteellista ymmärrystä tai kykyä kuvata tapahtuman luonnetta eksaktisti ( reaalisena ).

Jos on kuvattava ilmiötä, jonka vaikutus ilmenee käänteisenä normaaliin etenemiskäytäntöön nähden joudumme kuvaamaan ainakin näennäisiä tai tilapäistiloja imaginäärisinä, yleensä ne lopputuloksissa supistuvat pois.

Kovin tarkkaa muistikuvaa ei enää ole, sähkötekniikan opinnoista on vierähtänyt sen verran aikaa.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Säätötekniikka on aika tyypillinen ala, jossa ilmiöitä on mahdotonta tutkia
ilman kompleksilukuja. Tietysti monet säätölaitteet toimivat sähköllä, mutta
on noita ihan mekaanisia, pneumaattisia ja hydraulisiakin. Esimerkiksi
vesiturbiinien säätölaitteet oli tapana rakentaa mekaanisina tai hydraulisina.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Kompleksiluvuista puhuttaessa olisi hyvä mainita myös Eulerin kaava. Tosin lukiota käyvälle siitä ei liene mitään hyötyä - itselläni siihen on tullut tutustuttua juuri sähkötekniikan parissa. En ole matematiikan alan tyyppi, joten joku asiasta enemmän tietävä voinee esitellä Eulerin aikaansaannoksia.

ristiässä
En ole matematiikan alan tyyppi, joten joku asiasta enemmän tietävä voinee esitellä Eulerin aikaansaannoksia.

Eulerilla noita aikaansaannoksia onkin melkein kaikilta matematiikan aloilta, jotka hänen aikanaan olivat olemassa, ja Eulerin kaavoja ja lauseitakin on monta. Kompleksilukujen yhteydessä Eulerilla viitataan trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktion yhteyteen exp(z) = cos(z)+i*sin(z), joka on johdettavissa mm. sarjakehitelmien kautta. Tässä on tosiaan eräs kompleksilukujen käytetyimmistä laskuteknisistä hyödyistä: trigonometriset funktiot voidaan muuttaa eksponenttifunktioiksi joita on helppo derivoida, integroida jne.

Lainaus Malcolm E. Linesin kirjasta Jättiläisen harteilla:

... Jäljelle ei jää mystiikkaa - vain epäonnistunut terminologia, jonka mukaan kompleksiluku a+ib on "reaaliosan" a ja "imaginääriosan" ib summa. Arvelen vaikeuksien johtuvan siitä, että kaksiulotteisten kompleksilukujen esittämiseen tarvitaan kaksi akselia. Toinen niistä vastaa vanhan "reaalilukujärjestelmän" (toinen yhtä epäonnistunut termi) lukujanaa. Mikä muukaan nimi voitaisiin antaa toiselle akselille?

Itse rohkenen lisätä terminologian väärinymmärrykseen luvun joka määritellään kompleksiluvuksi. Koko määritelmä antaa kuvan että kompleksiluvut olisivat jotenkin vaikeita ja ihmeellisiä - irrallisia tästä maailmasta.

Itämaan tietäjille nolla voisi olla kompleksiluku, mutta nykypäivän ihmisille (niille jotka käsittelevät, opiskelevat tai muuten vain ovat tekemisissä numeroiden kanssa) kompleksiluvut eivät ole kompleksisia. Ne ovat vain laajennus luvuille.

Tokihan laskutoimitukset (tehtiinpä ne millä luvuilla tahansa) voivat olla kompleksisia, mutta itse kompleksiluku ei ole kompleksinen.

Terminologista paskanjauhamista. Helpompi olisi käyttää sanaa vaikea kompleksisen sijasta, mutta hienojen sanojen käyttö lisää arvostusta?

David
Seuraa 
Viestejä8877
Harhatien opiskelija
Lainaus Malcolm E. Linesin kirjasta Jättiläisen harteilla:

... Jäljelle ei jää mystiikkaa - vain epäonnistunut terminologia, jonka mukaan kompleksiluku a+ib on "reaaliosan" a ja "imaginääriosan" ib summa. Arvelen vaikeuksien johtuvan siitä, että kaksiulotteisten kompleksilukujen esittämiseen tarvitaan kaksi akselia. Toinen niistä vastaa vanhan "reaalilukujärjestelmän" (toinen yhtä epäonnistunut termi) lukujanaa. Mikä muukaan nimi voitaisiin antaa toiselle akselille?

.....

Itämaan tietäjille nolla voisi olla kompleksiluku, mutta nykypäivän ihmisille (niille jotka käsittelevät, opiskelevat tai muuten vain ovat tekemisissä numeroiden kanssa) kompleksiluvut eivät ole kompleksisia. Ne ovat vain laajennus luvuille.
....

Kaippa ne ovat kompleksisia itse peruslukujärjestelmän määritelmän kannalta.

Pitäiskö puhua moniulotteisista luvuista tai helpoimmillaan kaksiulotteisista luvuista.
Tarvittaisiinko jossain yhteydessä esim. kolmiulotteisia lukuja ?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35106
David

Pitäiskö puhua moniulotteisista luvuista tai helpoimmillaan kaksiulotteisista luvuista.
Tarvittaisiinko jossain yhteydessä esim. kolmiulotteisia lukuja ?

Tavallaan kolmen alkion vektorit ovat sellaisia. Niitähän tunnetusti silloin tällöin tarvitaan kolmiulotteisessa maailmassa. Kolmiulotteisilla luvuilla ei kutienkaan voida määritellä mielekkäitä peruslaskutoimituksia (lähinnä kertolaskua), joten kompleksilukujen kaltaista lukujoukkoa (kuntako se matemaatinen termi oli) ne eivät muodosta.

Neliulotteisia hyperkompleksilukuja on olemassa useammantyyppisinä. Katso: http://mathworld.wolfram.com/HypercomplexNumber.html

Tavallaan kolmen alkion vektorit ovat sellaisia. Niitähän tunnetusti silloin tällöin tarvitaan kolmiulotteisessa maailmassa. Kolmiulotteisilla luvuilla ei kutienkaan voida määritellä mielekkäitä peruslaskutoimituksia (lähinnä kertolaskua), joten kompleksilukujen kaltaista lukujoukkoa (kuntako se matemaatinen termi oli) ne eivät muodosta.

Nämä eri lukukunnathan vastaavat eri jako algebroja (? division algebra). Meillä on reaaliluvut, kompleksiluvut, kvarternionit ja oktonionit. Esim. kvarternioneissa on skalaariosa ja kolme 'kompleksista' osaa eli a=t +a*i+b*j+c*k, missä i^2=j^2=k^2=-1 ja kompleksiosien i,j ja k algebra vastaa SO(3) generaattorialgebraa eli 3-ulotteisen avaruuden rotaatiot voidaan kuvata näillä kvarternioneilla. Niitäpä käytetäänkin kovast singaalin käsittelyssä ja alunperinhän Hilbert sovelsi niitä elektromagnetismin ongelmiin.

Näille luvuille on siis olemassa hyvin määritellyt laskutoimitukset.

Mieleenkiintoistahan on se, että näyttää toimivan sillä tavalla, että tarvitsemme sen mallintamiseen kompleksilukuja. On olemassa myös yrityksiä formuloida kvanttimekaniikka kvarternioneiden avulla, mutta en tiedä mikä järki siinä hommassa on (kompleksilukuja kun tarvitaan ihan fysikaalisista syistä).

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat