Seuraa 
Viestejä45973

Keilapallo vierii yhden akselinsa ympäri, mikäli se pukataan aivan tasaisesti liikkeelle. No entä jos laitetaan kierrettä? Kuinka monen akselinsa ympäri pyörähdyskappale voi kiertyä samanaikaisesti?

  • ylös 1
  • alas 1

Sivut

Kommentit (71)

Vainko yhden? Hyrrä kiertyy yhden Y-akselinsa ympäri pöydällä. Ei kai mikään estä ajattelemasta, että se kiertyisi saman aikaisesti myös poikkiakselinsa x ympäri vaikkakin teknisesti sellaisen härvelin valmistaminen on hankalaa. Ja sitten vielä kai kolme D mallisesti se voisi kiertyä myös akselinsa Z ympäri. Toisin sanoen voisiko akseleita olla lukematon määrä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006

Käytännössä on aina yksi akseli, jonka ympäri kappale pyörii. Se on jotain niiden kolmen akselin välistä.

Joku muu saa kirjoittaa matemaattiset todistukset.

Hagbard
Seuraa 
Viestejä418
Iiris
Vainko yhden?



Kappale voi pyöriä vain yhden akselin ympäri.

Tosin tämä akseli (ja sen mukana koko kappale) voi pyöriä toisen akselin ympäri. Ja tämä taas kolmannen jne. loputtomiin.

Jupiter Pluvius ante-diluvius
higgledy-piggledy rainmaking chap
Poured all his masculine potentialities
all over Danaë's succulent lap

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Hagbard

Kappale voi pyöriä vain yhden akselin ympäri.

Tosin tämä akseli (ja sen mukana koko kappale) voi pyöriä toisen akselin ympäri. Ja tämä taas kolmannen jne. loputtomiin.




Näinhän se on. Hetkellisesti kappaleella on täysin määrätty pyörähdysakselin suunta (3x3-matriisin ominaisvektori). Tämä pyörähdysakseli voi siis ajan mukana vaihtaa suuntaansa. Hyrräliikkeessä suunta muuttuu varsin säännöllisesti. Keilapallolla akselin suunnan muutos on vähittäistä.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Ding Ding
Voiko keilapallon pyörimisliikkeen kuitenkin kuvata kahden akselin avulla?

Alkutilanteessa pyörimisliikkeen voi kuvata keilailijan antaman kierteen (akseli=?) ja ratakosketuksen (vaakasuora akseli?) avulla. Mutta sitten astuvat peliin kitka ja ilmanvastus

David
Seuraa 
Viestejä8877
JAM
Tämä pyörähdysakseli voi siis ajan mukana vaihtaa suuntaansa. Hyrräliikkeessä suunta muuttuu varsin säännöllisesti. Keilapallolla akselin suunnan muutos on vähittäistä.

Luulenpa, etä pelkkä aika ei tuossa juurikaan mitään merkitse, vaan tarvitaan nopeuden tuottamaa siirtymää muodossa tai toisessa. Myös hyrrän kohdalla tukipisteen siirtymä muuttaa hyrrän tasapainoehtoja, nopeuden, massan, pintojen ja muiden fysikaalisten tekijöiden (mm, gravitaatio, kitka, lämpötila, aineen ominaisuudet) asettamissa puitteissa.

Aika ei vuorovaikuta, eikä näin ollen myöskään aseta ehtoja liiketilan muutoksille. No joo - saivarteluksi tahtoo mennä.

Hagbard
Seuraa 
Viestejä418
Ding Ding
Voiko keilapallon pyörimisliikkeen kuitenkin kuvata kahden akselin avulla?



Otetaan yksinkertainen tapaus. Sidotaan koordinaatisto pallon keskipisteeseen ja keilahallin tasoihin, eli jätetään lineaariliike pois tarkastelusta. Tarkkailijamme istuu siis vakioasennossa pallon keskipisteessä.

Pallo vierii = pyörii vaakasuoran poikittain keilarataan nähden olevan akselin ympäri.

Pallolla on kierre = pyörii pystyakselin ympäri.

Määritellään vielä pyöriminen: Jokainen pallon pisteistä liikkuu ympyrärataa, jonka keskipiste on akselilla ja jonka taso on kohtisuorassa akseliin nähden.

Jos tarkastellaan yhtä mielivaltaista pistettä, ymmärretään, ettei se voi mitenkään kulkea samanaikaisesti kahta eri kulmissa olevaa ympyrärataa. Yhden radan seuraaminen vie sen väistämättä pois toiselta.

Pyöriikö pallo sitten jonkin resultanttiakselin ympäri? Ajattele kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraa ympyrää ja molempia kiertää piste samalla nopeudella. Ei ole olemassa katselukulmaa (=akselisuuntaa), jossa molemmat pisteet näyttäisivät kiertävän samaa ympyrärataa. 45 asteen kulmasta katsottuna pisteiden radat näyttävät kyllä yhtyvän (ympyrät peittävät toisensa), mutta tämä näennäisrata on ellipsi. Eli ei synny yhtä resultanttiakselia.

Pallo kuitenkin pyörii moneen suuntaan. Kun sidotaan koordinaatisto poikittaisakseliin (vierintä), pallo pyörii sen ympäri, pisteet kulkevat ympyrärataa, mutta koko tämä koordinaatisto taas pyörii pystyakselin (kierre) ympäri, koko ympyräratataso kiertää ympyrää.

Kun pallon keskipisteen mukana kulkeva keilahalliin nähden pyörimätön tarkkailija tutkii pallon liikettä, hän joutuu toteamaan, ettei mikään pallon pisteistä (esim. peukalonreikä) liiku ympyrärataa pitkin, vaan jotain siniaallontapaista.

Jupiter Pluvius ante-diluvius
higgledy-piggledy rainmaking chap
Poured all his masculine potentialities
all over Danaë's succulent lap

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Vieriminen tapahtuu pintaa pitkin, ei akselin ympäri. Todella outo tapaus olisi, jos pinta olisi suora viiva, jonka ympäri pallo verisi.
Nojoo, jos pallo vierisi esimerkiksi pitkin huvipuiston vuoristorataa, niin varmastikin pyörimisakselin suunta tai sijainti tai molemmat muuttuisivat pallon edetessä.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Eli miten monen akselin ympäri voi kappale kiertyä saman aikaisesti? Kun ajan polkupyörällä kiertyy etuvanne fyysisen akselinsa ympäri. Kun ajan kurviin, kierrän sarvista ja niin etupyörä kiertyy pystyakselinsa suhteen, oikelle tai vasemmalle. Jos vielä kallistan hiukan ajokkiani, niin eteen päin pyöriessään vanne kiertyy hieman myös kolmannen näennäisen akselinsa ympäri. Toi koordinasto keilahallissa tosin selvensi hiukan ajatteluani. Mutta kuitenkin pystyn visualisoimaan ainakin kolme akselia.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Hagbard

Kun pallon keskipisteen mukana kulkeva keilahalliin nähden pyörimätön tarkkailija tutkii pallon liikettä, hän joutuu toteamaan, ettei mikään pallon pisteistä (esim. peukalonreikä) liiku ympyrärataa pitkin, vaan jotain siniaallontapaista.

Samalla tavalla junan pyörän pisteet kulkevat ympyrärataa pyörän keskipisteen ympäri. Kun junan etenevä liike otetaan huomioon, niin radat ovat erilaisia sykloideja (¨siniaallontapaisia¨).
Tässä kai oli tarkoitus tarkastella pelkkää pyörimistä, eli tilannetta painopisteeseen kiinnitetyssä pyörimättömässä koordinaatistossa.
Pyörimisliikkeellä 3-ulotteisessa avaruudessa on aina yksi akseli. Jos akselin suunta pysyy samana, niin kappaleen pisteet kulkevat ympyräratoja. Mutta kun akselin suunta muuttuu (esim. hyrrä), niin radat ovat paljon monimutkaisempia. Painopisteen etenevä ja ehkä mutkittelevakin liike (keilapallo!) tuo sitten vielä omat lisänsä.

Hagbard
Seuraa 
Viestejä418
Iiris
Eli miten monen akselin ympäri voi kappale kiertyä saman aikaisesti? ...kuitenkin pystyn visualisoimaan ainakin kolme akselia.



Otetaan se fillarin etupyörä tarkasteluun ja lukitaan koordinaatisto sinuun siinä satulassa.

Suoraan ajaessa etupyörä pyörii tiehen nähden poikittaisen vaakasuoran akselin ympäri. Venttiili piirtää edessäsi ympyrärataa.

Kun käännät pyörää, se kääntyy ohjausakselin ympäri ja koko fillari vielä kallistuu. Seuraus on se, että venttiili ei enää liikukaan ympyränmuotoista rataa sinun koordinaatistossasi eikä pyörä enää pyöri saman akselin ympäri kuin suoraan ajettaessa, koska sen pyörimisakseli kääntyy.

Etuhaarukkaan sidotussa koordinaatistossa venttiili sen sijaan edelleen pyörii ympyräradalla, mutta koko koordinaatisto kääntyy sinun koordinaatistossasi.

Homman hahmottamista sotkee se, että helposti unohtuu se, missä koordinaatistossa asiaa tarkastellaan.

Kun pysytään yhdessä koordinaatistossa, pätevät seuraavat asiat:
- Kappale voi pyöriä vain yhden akselin ympäri kerrallaan.
- Tämä akseli voi sitten pyöriä ja kääntyillä.
- Pyörimisen ja akselin kääntymisen muodostama liikeyhdistelmä ei enää ole pyörimistä, koska kappaleen pisteet eivät enää liiku ympyränmuotoista rataa.

Jupiter Pluvius ante-diluvius
higgledy-piggledy rainmaking chap
Poured all his masculine potentialities
all over Danaë's succulent lap

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Iiris
Kuinka monen akselinsa ympäri pyörähdyskappale voi kiertyä samanaikaisesti?

Tässä ketjussa on ehkä sekoittunut se, mitä matemaattisesti tehdään ja mitä fyysinen kappale tekee.
Kappaleen etenevää liikettä voidaan matemaattisesti tarkastella eri akselien suunnassa. Kuitenkaan kappale ei erikseen liiku kuhunkin suuntaan vaan täsmälleen yhteen suuntaan, sinne minne nokka osoittaa.
Vastaavasti kappaleen pyörähdys voidaan matemaattisesti jaotella eri akselien suhteen tapahtuviksi pyörähdyksiksi. Tällä pyörähdyksellä on kuitenkin yksi (todellinen) pyörähdysakseli. Muussa tapauksessa kappale hajoaisi välittömästi.
Vähän asiaa sivuava esimerkki tuli esille 'Reaalimaailma ja matematiikka'-ketjussa. Siellä esiteltiin, kuinka matemaattisesti voidaan kääntää ehjä pallonpinta sisäpinta ulos. Reaalimaailman pallolle tätä temppua ei kuitenkaan voi tehdä.

Hagbard
Seuraa 
Viestejä418
JAM
Kuitenkaan kappale ei erikseen liiku kuhunkin suuntaan vaan täsmälleen yhteen suuntaan, sinne minne nokka osoittaa.



Lineaarisessa liikkeessä näin onkin. Eri suuntaisista liikkeistä muodostuu yksi resultanttiliikerata ja jos kaikki osaliikkeet ovat lineaarisia, on myös niiden resultantti lineaarinen.

JAM
Vastaavasti kappaleen pyörähdys voidaan matemaattisesti jaotella eri akselien suhteen tapahtuviksi pyörähdyksiksi. Tällä pyörähdyksellä on kuitenkin yksi (todellinen) pyörähdysakseli.



Ei se nyt ihan niinkään ole. Yksikään pyörähdysakseleista ei ole sen "todellisempi" kuin muutkaan. Useiden akseleiden ympäri pyörivän kappaleen liike ei ole pyörimistä, ei synny yhtä resultanttiakselia, jonka ympäri kappale pyörii, koska kappaleen pisteet eivät enää liiku ympyränmuotoista rataa.

Jupiter Pluvius ante-diluvius
higgledy-piggledy rainmaking chap
Poured all his masculine potentialities
all over Danaë's succulent lap

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Hagbard

Ei se nyt ihan niinkään ole. Yksikään pyörähdysakseleista ei ole sen "todellisempi" kuin muutkaan.
...

Olisi varmaan ollut parempi puhua hetkellisestä pyörähdysakselista tällaisessa tilanteessa, jossa liikkeen suunta ('nokka') ja kaarevuus muuttuu koko ajan.
Keilapallon pisteen radan tangenttivektori osoittaa senhetkisen liikkeen suunnan. Yksikkötangenttivektorin derivaatan avulla selviää, mihin rata on kaareutumassa ja kuinka nopeasti. Siitä saadaan selville radan päänormaali ja kaarevuussäde. Tangenttivektoria ja päänormaalia vastaan kohtisuora vektori on (hetkellisen) pyörähdysakselin suunta (käyrän sivunormaali). Derivoimalla päänormaali saadaan selville miten kaarevuuden suunta ja siis pyörähdysakseli muuttuu. Tämä on pisteen radan kierevyyttä.
(Täsmälliset avaruuskäyrän kaavat varmaan löytyvät jostakin. Ylläolevan kaivoin muistini kätköistä.)

Niin, keskeistä vaikuttaa olevan ympyrärata monista hyvistä vastauksista päätellen.

Kaivoin kätköistä pallon muotoisen jojon. Siinä on heikkotasoinen nyöri ja kaiken lisäksi se luistaa akselillaan, pääsee siis vapaasti pyörimään "hirttolenkissään".

Kun jojoan piirtää naru-uran kehällä olevat pisteet ympyrää silloin, kun lasken jojon vapaasti purkamaan energiansa narun ollessa suorana. Silloin se pyörii sen löysän narusilmukkansa varassa. Saman aikaisesti narun kiertynyt jännite voittaa hyrrän huimavoiman ja jojo alkaa kiertyä pystyakselinsa suhteen oikealle ja tekee täysiä kierroksia. Kun katson suoraan pystyakselin suunnasta kohti lattiaa, kuten Pohjantähdestä kohti pohjoisnapaa, pirtää jojon "päiväntasaajalla" olevat pisteet ympyräviivaa. Vieressä oleva tarkastelija kiertää minua samaan tahtiin mitä jojo kiertyy pystyakselinsa suhteen ja näkee koko ajan naru-uran kehällä olevien pisteiden piirtävän myös ympyräviivaa. Siis aivan kuin Maa pyörähtäisi jonkin satunnaisen akselinsa ympäri, mikä kulkee päiväntasaajalta läpi Maan keskustan uudelleen päiväntasaajalle toiselle puolelle Maata. Siis etelänapa osoittaisi välillä Pohjantähteen. Eikö siis jojo pyöri nyt ainakin kahden akselinsa ympäri samanaikaisesti, koska se saman aikaisesti piirtää näennäisesti kahta kohtisuoraan toisaan vastaavaa olevaa ympyrää avaruuteen?

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Kuten JAM tuossa aiemmin totesi, niin jäykälle kappaleella aina on löydettävissä se yksi absoluuttinen (joskin mahdollisesti suuntaa muuttava) pyörimisakseli.

Ja kuten myös todettua, niin se voidaan jaotella eri suuntaisiin komponentteihin. Voidaan jakaa myös ihan reaalisiin akseleihin, jotka ovat eri suuntaisia. Matemaattisesti kuitenkin voidaan kuvitella jaettavaksi vielä useampiin eri suuntaisten akseleiden suhteen pyörimiseksi. (tai mikä estää periaatteessa laittaa sellaisia reaalisiakin toistensa suhteen pyörivien kehikoiden yhdistelmää jne)

Aina kuitenkin on löydettävissä se yksi hetkellinen pyörimisakseli. Ei siinä sen ihmeempää.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Iiris
Niin, keskeistä vaikuttaa olevan ympyrärata monista hyvistä vastauksista päätellen.

Kaivoin kätköistä pallon muotoisen jojon. Siinä on heikkotasoinen nyöri ja kaiken lisäksi se luistaa akselillaan, pääsee siis vapaasti pyörimään "hirttolenkissään".


Kaivoin kätköistä korppuja syövän PC:n, jossa oli vanha MathCAD (ja nuorimmalle sukupolvelle mielenkiintoisia ennennäkemättömiä pelejä ). Kun jojo pyörii 5 kertaa nopeammin kuin mitä narun kierre sitä pyörittää, niin jojon pisteen rata näyttää seuraavalta

Vasemmalta on näkymä sivulta ja oikealla päältä. Katkoviivan kohdalla
jojon piste menee ylös ja tulee sitten alas.

Hagbard
Seuraa 
Viestejä418
bosoni
Kuten JAM tuossa aiemmin totesi, niin jäykälle kappaleella aina on löydettävissä se yksi absoluuttinen (joskin mahdollisesti suuntaa muuttava) pyörimisakseli.



Jyvällä ollaan, mutta "absoluuttinen" on ehkä väärä sana. Toisin sanoen voidaan löytää koordinaatisto, jossa kappaleen liike on puhdasta pyörimistä.

Fillarin etupyörä (0) pyörii navan (1) ympäri, napa kääntyy ohjausakselin (2) ympäri, ohjausakseli kallistuu kaarteessa renkaiden kosketuspintojen välisen suoran (3) ympäri, fillari kaartaa kääntöpisteen (4) ympäri, Maa pyörii akselinsa (5) ympäri, kiertää Auringon ja Maan massakeskipistettä (6), joka kiertää Linnunradan keskustaa (7). Mikä näistä pyörimisakseleista olisi se "absoluuttinen"?

Vastaus: Rengas tekee pyörimisliikettä vain etuhaarukkaan (1) sidotussa koordinaatistossa. Omassa koordinaatistossaan (0) se ei liiku lainkaan ja muissa sen liike on jotain muuta kuin pyörimistä.

Tässä esimerkissä asiat näyttävät loksahtavan paikoilleen, pyörimisliikkeet ketjuttuvat ja löydetään se koordinaatistoketjun (toiseksi)viimeinen lenkki, jossa liike on puhdasta ympyrärataa.

Mutta sitten astutaan jo filosofian puolelle. Mikä on tässä keilapalloesimerkissä se koordinaatisto, jossa liike on puhdasta pyörimistä?

Jupiter Pluvius ante-diluvius
higgledy-piggledy rainmaking chap
Poured all his masculine potentialities
all over Danaë's succulent lap

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat