Polynomien jaollisuus

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Aloin tässä miettiä, että miten lukiotasolla mahdettiin perustella polynomin jaollisuuden ja sen nollakohdan välinen yhteys

f(a)=0 <=> (x-a) | f(x)

Tarkkaa kuntien ja polynomirenkaiden ominaisuuksiin perustuvaa todistusta en siis kysele. Muistelisin, että ainakaan omassa lukiossani ei asiaa mitenkään erityisemmin perusteltu, todettiin vain, että näin se on. Voiko väitteen kuitenkin lukiotiedoillakin todistaa (tai muuten perustella) vetoamatta polynomien jakoalgoritmiin? Siis nimeenomaan tähän suuntaan:
f(a)=0 => (x-a) | f(x)

Kommentit (15)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Meillekään ei sitä kovin tarkasti perusteltu. Lähinnä annettiin ymmärtää, että jos kahdella samanasteisella polynomilla on samat nollakohdat, niin se on sitten sama polynomi, joka voidaan kirjoittaa nollakohtien avulla muotoon k(x-a)(x-b)... jne. Tuosta muodostahan nollakohdat näkyvät triviaalisti ja samaten jaollisuus.

Tuo pätee, jos ne nollakohdat on ylipäätään olemassa. (reaalialueella)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

No kun jokainen polynomi fx(x) on (edit: bosonin k:lla normalisoitu) muotoa (x-x1)(x-x2)(x-x3),...,(x-xn). Nyt jos polynomin arvo on jollakin x:n arvolla tasan nolla, niin tuo litania tulos kerrottuna miten pitkästi tahansa on nolla. Sen tähden x oli varmasti eräs polynomin juurista. En tosin ymmärtänyt, mitä tarkalleen ottaen tarkoitit, mutta jotenkin näin rupeaisin asiaa ihmettelemään. Sitten kaiketi seuraavaksi pitäisi ruveta jaarittelemaan ja osoittelemaan, miksi polynomit voidaan aina purkaa sen juurien tekijöiden tulopläjäykseski, mutta sellainen äimistely ei kiinnosta ainakaan minua.

Vierailija

No periaatteessa se oli se standarditodistus, mutta käsiä heilutellen. Eli kerrottiin, että jakoalgoritmi pätee polynomeille (tietyin rajaoletuksin, joita ei muistaaksen määritelty), mutta että itseisarvo on korvattu asteella. Sitten siitä sitten jo pystyykin laskemaan, että jos x on f:n nollakohta, niin jako menee tasan. Toiseen suuntaan huomaaminen onkin jo sitten triviaalia.

En kyllä tiedä, että voisiko todistuksen suorittaa ilman jako-algoritmin käyttöä.

Vierailija
bosoni
Tuo pätee, jos ne nollakohdat on ylipäätään olemassa. (reaalialueella)

Jokaisella n-asteisella polynomilla on aina tasan n-juurta. Se ei tee eroa reaalisuuden, imaginäärisyyden, tai jonkin muun ?-näärisyyden kanssa. Polynomin substanssi voi olla mikä tahansa kvaternio, tai jokin muu sellainen alkeisoperaatioiden sääntömössöstö, joka vain viitsisi täyttää algebrallisen järjellisyyden rotaatioehdot:

|e^(a+bi+,...)| = 1
ja
sin^2 x + cos^2 x = 1

Vierailija
_jone_
Sitten kaiketi seuraavaksi pitäisi ruveta jaarittelemaan ja osoittelemaan, miksi polynomit voidaan aina purkaa sen juurien tekijöiden tulopläjäykseski, mutta sellainen äimistely ei kiinnosta ainakaan minua.

Nimenomaan tätä jaaritteluosuutta tarkoitin sillä, että väite pitäisi osoittaa tähän suuntaan " => ". Se, että f(a)=0 seuraa kyllä suoraan siitä, että jos (x-a) | f(x), niin f(x) = (x-a)g(x), jolloin f(a) = 0*g(x) = 0.

Pitäisi varmaan vielä täsmentää, että jakoalgoritmiinkin saa kyllä vedota, jos sellainen lukiossa esitetään. En nimittäin muista, puhuttiinko sellaisesta mitään, mutta jos puhuttiin, niin aika pintapuolisesti varmaankin.

_jone_
Jokaisella n-asteisella polynomilla on aina tasan n-juurta. Se ei tee eroa reaalisuuden, imaginäärisyyden, tai jonkin muun ?-näärisyyden kanssa.

Ei välttämättä, jos pyöritellään jonkin erikoisemman kunnan päälle rakennettuja polynomeja - vaikkapa jäännösluokkien modulo 3.

Vierailija

Kuulostaa hienolta, mutta kokeilepa piruuttasi noiden rotaatioehtojen pitävyyttä noilla modulopläjäyksillä. Tulokset lienevät melko järjettömiä, mutta samaan hengenvetoon on toki myönnettävä, että jotkin lukuteoreettiset teoreettisen teoreettiset jaarittelut harvemmin löytävät tiensä todelliseen sovellettuun matematiikkaan, jossa polynomit ovat rohkeasti arvioiden 30 prosentin siivu koko numerosekoilusta.

Vierailija

Eikös se menekin niin, että jokaisella kunnalla K ja n. asteisella polynomilla f kunnassa K on olemassa laajennuskunta K(f), jossa f jakautuu n. lineaariseen tekijään? Tätenkin tuon saisi perusteltua, tosin tuon kunnan olemassaolon perustelu menee jo pikkuisen hankalammaksi ja en ole varma pystyykö sen todistamaan käyttämättä polynomien jakoalgoritmia.

Tuossa "rotaatioehdot implikoivat tekijöihin jakoa" on sitten myös pieni ongelma. Rationaalilukujen kunnassa polynomi x^2 - 2 = 0 ei sisällä kahta tekijää ja reaalilukujen kunnassa x^2 + 1 = 0 ei sisällä kahta tekijää, mutta mikäli mie noita Jonen rotaatioehtoja yhtään ymmärrä, niin ne täyttyvät rationaali- ja reaaliluvuilla. Joten niiden täytyy Jonen viestin perusteella jakaantua 2. tekijöihin, joten ainoa mahdollisuus on kai se, että meidän täytyy ensimmäisessä tapauksessa laajentaa rationaalilukuja kakkosen neliöjuurella ja toisessa tapauksessa laajentaa reaalilukuja imaginääriyksiköllä, jotta päästäisiin kuntiin, joissa tekijöihin jako tapahtuisi. Mutta jos mie nyt muistan oikein tuon laajennuskunnan olemassaolon, niin tämä prosessi voidaan aina tehdä kunnasta riippumatta ja tuolla Jonen rotaatioehdolla ei mitään tekemistä tekijöihin tulopläjäyksen kanssa, koska se on kuntien universaali ominaisuus.

Vierailija

Nii'in, ja alleviivata voi sellaiset kunnat alias substanssit, jotka ovat sisäisessä alkeisoperaatioharmoniassa suhteessa riippumattomiin algebran metodeihin. Pitäisi kaiketi kaivaa Tammertekniikan kaavasto, ja tarkistaa sieltä noiden eri käsitteiden merkitystä suhteessa siihen konkreettiseen Boolen algebraan, mitä se logiikka siellä ruohonjuuritasolla merkitsee tuolla hienolla ja pelkistetyllä abstraktilla tasolla.

En tiedä. Luku sinällään, olkoon mikä luku tahansa, on vain paikka suhteessa origoon. Jos origo sijoitetaan esimerkiksi pellolla märehtivän lehmän perseeseen, silloinhan asiat on lyöty noin globaalilla tasolla lukkoon, että kaikki paikat ovat ilmaistu suhteessa sen erään pellolla märehtivän Lehmän perseeseen. Noin se muistaakseni oli, jos nyt halutaan jotenkin mieltää tuo lukusekoilu jonkinlaisella abstraktimmalla korkeamman älyn näkökulmassa.

Joo. Itse olen kuitenkin melko tyhmä noitten käsitteiden kanssa, eikä se teoreettinen paskanjauhanta koukeroineen ole vielä herättänyt kiinnostusta. Sen sijaan, jos numeroilla pyritään mallintamaan konkreettista luontoa, sitä jossa elämme, niin johan alkaa FEMit, yms. luontoon tiiviisti linkittyneet asiat kiinnostamaan. Plaah. Elämä on.

Vierailija

Kannattaa kuitenkin muistaa, että tuonne teoreettisen fysiikan- ja matematiikan puolelle on pesiytynyt koko joukko avatarisi kaltaisia kaljupäitä, jotka eivät välttämättä ajattele kovin suopeasti täydellisen kirkkaan järjenjuoksunsa rinnastamista johonkin laitumella märehtivän lehmän perseeseen.

Tosin raaka käytäntö koulii myös hyvään huumorintajuun, jonka lisääntyminen teoreettisen fysiikan- ja matematiikan parissa ei ainakaan olisi pahasta. Tuo ilmiö, että puhdas teoria ja puhdas käytäntö ovat kuin kaksi eri koulukuntaa muistuttaa vain siitä, että esimerkiksi moderni fysiikka ja klassinen fysiikka ovat kumpikin perustaneet oman hiippakuntansa, jossa tilanteessa kummankin näkökulmasta olisi edullista, että vääräuskoinen hiippakunta nöyrtyisi ja tunnustaisi lopulta sen oikean uskonnon.

Tiede on aikansa lapsi. Ehkä sekin itsessään on jonkinlainen elämä, jossa lapsuutta seuraa murrosikä, nuoreksi aikuiseksi kasvaminen, keski-ikä ja lopulta tervassa ja höyhenissä pyöritelty kaiken kokenut seniori, joka enintään kohauttaa olkiaan ja hymähtää vain silloin, kun joku puhuu ja suoltaa suoraa sontaa.

-torstai

Vierailija

Noh, tiedä häntä, tarvitseeko noita hiuksia keski-iässä nyt enää niin useata. Kaiketi oleellisempaa on se, mitä siellä päänahan alla oikein möyrii.

Tuosta jäi kuitenkin mielen päälle sellainen seikka, kuin ns. hiljainen tieto. Hiljainen tieto on yritysten pääoma, josta pitäisi pitää kiinni kynsin hampain.

Tyhmimmästä päästä nykyiset yritykset luottavat kuitenkin enemmän juuri korvansa kuiviksi saaneisiin noviiseihin, jonka modernimpi ilmaisu lienee ns. nuorennusleikkaus. Eli yritys potkii hiljaisen tiedon konkarit pois, ja ottaa tilalle...mitä ottaa.

Henkilökohtaisesti asianlaita ei minua kiinnosta, mutta omalla työsarallani olen ainakin huomannut, että niiden harvoiksi käyneiden hiljaisen tiedon omistajien kanssa kannattaa tulla sinuiksi. Siinä on pieni ero, kun jokin konkari esittää ajatuksenjuoksuansa 30-40 vuoden kokemuksella. Alkaa jakolaskualgoritmit pyörimään kehnommassakin prosessorissa.

Vierailija
_jone_
se teoreettinen paskanjauhanta koukeroineen ole vielä herättänyt kiinnostusta

No jos teoreettinen paskanjauhanta ei kiinnosta, niin miksi tulet sitten keskustelemaan täysin puhtaasti teoreettisesta aiheesta?

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006
Liittynyt30.4.2005
starless
_jone_
se teoreettinen paskanjauhanta koukeroineen ole vielä herättänyt kiinnostusta

No jos teoreettinen paskanjauhanta ei kiinnosta, niin miksi tulet sitten keskustelemaan täysin puhtaasti teoreettisesta aiheesta?



Älä välitä. _jone_ on meistä älykkäin. Sille on kaikki helppoa. Se on kirjoittanut koodia pikkasen enemmän kuin me muut.

Vierailija
starless
_jone_
se teoreettinen paskanjauhanta koukeroineen ole vielä herättänyt kiinnostusta

No jos teoreettinen paskanjauhanta ei kiinnosta, niin miksi tulet sitten keskustelemaan täysin puhtaasti teoreettisesta aiheesta?

Sen vuoksi, että sinullakin olisi jotain kysymistä. Kysymyksesi oli muuten hirveän hyvin rajattu kontekstin ulkopuolelle, ja juuri tuollaisilla yksittäisillä kontekstiin liittymättömillä viisailla fokusoinneilla näihin keskusteluihin saadaan enemmän asiasisältöä ja tieteellistä näkökulmaa.

Oli erittäin hedelmällistä pohtia päänahka karrella yhtä kovatasoista vasta-argumenttia. Aivot ovat nyt saaneet argumenttisi myötä riittävästi treeniä tälle päivälle, joten voi hyvillä mielin kellistyä sohvalle, pieraista kunnolla, avata jossain vaiheessa oluttölkki ja ruveta katsomaan jääkiekkoa.

Vierailija
kurnimaha
Aloin tässä miettiä, että miten lukiotasolla mahdettiin perustella polynomin jaollisuuden ja sen nollakohdan välinen yhteys --



Tarkistin vanhasta Akseli-sarjasta ja tuoreesta Lukion Calculuksesta. Molemmissa oli tehty niin kuin Starless tuossa jo mainitsi: jakoyhtälö annettiin perusteluitta, ja väite todistettiin sen pohjalta.

Vierailija

No täytyykö lukiossa nyt todistaa algebran peruslausetta? Asiahan on "itsestään selvyys", ja niiden todistukset jätetäänkin yleensä yliopiston peruskursseille...

Jos F(a)= 0 niin F(x)= (x-a)*G(x) , degGF

Eräs pikkutekiä todistuksen suhteen on se, että siinä ei enää reaalimaailma riitä ja kompleksilukuja opetetaan lukioissa valinnaisilla jatkokursseilla, jotenka lukion alkupään kursseilla kun tekijöistä puhutaan voidaan surutta jättää vaikka Liouvillen teoraama käsittelemättä.

Kaikki ollaan varmaan yhtä mieltä siittä, ettei moinen tarvi kuin todeta todistamatta ja noheva lukiolainen voi itse hakea sille todistuksen internetistä.

Uusimmat

Suosituimmat