Approksimaatioista...

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Jos meillä on kuvaaja ja tiedetään, että kuvaaja kulkee pisteiden P1=(x1, y1), P2=(x2, y2), P3=(x3, y3), P4=(x4, y4), ..., Pn=(xn, yn) kautta, niin onko tuolla funktiolle, jonka yhtälöä emme siis tiedä, mahdollista määrittää jokin approksimaatio jollakin suljetulla välillä [ x, y ]?

EDIT: Oikeastaan kunhan vaan saisi jonkin sortin approksimaation jonkin sortin välillä, ei tarvitse olla suljettu väli.

Kommentit (12)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Voihan siihen sovittaa vaikkapa polynomeja. Polynomin aste määräytyy siitä monenko pisteen mukaan sovitus tapahtuu. Se voidaan määritellä esimerkiksi paloittan aina muutaman pisteen välein, tai sitten sovittaa karkeasti jokin polynomi pienimmän neliösumman säännön mukaan. (jolloin käyrä ei välttämättä kulje annettujen pisteiden kautta)

Jos halutaan jokin nätti käyrä kulkemaan pisteiden välillä, niin voidaan myös vaatia, että peräkkäisten paloittain määriteltyjen polynomien yhdistymiskohdassa derivaatta on jatkuva jne... En muista kylläkään tähän hätään niitä menetelmiä tuon toteuttamiseen.

Mihin noita tietoja tarvitset?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Fysiikan ope tykkää, jos esimerkiksi pitäisi määrittää kappaleen nopeus ajan hetkellä t, kun kappaleen kulkema matka ajan suhteen on esitetty kuvaajana, ja että laskisikin jonkun hirveän approksimaation matkan funktioksi ja määrittäisi sen derivaattafunktion arvon ajan hetkellä t, sen sijaan että piirtäisi vaan kuvaajalle tangentin.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Jos pisteet näyttävät noudattavan esim. toisen asteen polynomin käyrää silmämääräisesti (tai tiedetystä tilanteesta päätellen), niin siihen voi sovittaa sellaisen pienimmän neliösumman menetelmällä. Silloin laskuoperaatiot kuten derivointi ja integrointi on helppo tehdä.

Monet laskimet osaavat tehdä yksinkertaisia sovituksia suoralle, toisen asteen käyrälle ja muutamille muille automaattisesti pienimmän neliösumman menetelmällä. (ei tarvitse itse alkaa ohjelmoimaan) Laskin antaa esim. tuloksen muodossa y = 3x²+2x-5

Mutta jo pisteet ovat hyvin sekavasti ja käyrä näyttää olevan hankalan mallinen, niin hienostuneempien numeeristen menetelmien pikainen opiskelu voi olla kova pala...

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006
bosoni
Jos halutaan jokin nätti käyrä kulkemaan pisteiden välillä, niin voidaan myös vaatia, että peräkkäisten paloittain määriteltyjen polynomien yhdistymiskohdassa derivaatta on jatkuva jne... En muista kylläkään tähän hätään niitä menetelmiä tuon toteuttamiseen.

Näin määritellyt approksimaatiot ovat splinifunktioita (splines). Niitä käytetään laajalti mm. tietokonegrafiikassa.

Esillä olevassa ongelmassa tuli mieleen , samoin kuin bosonille, ensimmäisenä sovittaa paraabelia pisteisiin.

Vierailija

Excelillä tuo onnistuu helposti. Pistejoukko naputellaan taulukkoon ja lisätään pistekaavio. Kun oikealla hiirenpainikkeella painaa kuvaajan jotain pistettä, aukeaa valikko. Valitaan lisää trendiviiva. Seuraavaksi pitää arvuutella viivan laji. Asetuksista kun ruksaa vielä näytä kaava kaaviossa, niin avot.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26853
Liittynyt16.3.2005

Yleisesti tuollaisissa tapauksissa käytetään kuutiollisia splinejä. Silloin jokaiselle välille määritetään kolmannen asteen polynomi siten, että funktio, sen ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat jatkuvia. Ääripisteissä pitää joko arvioida funktion derivaatta, tai määritellä esimerkiksi toinen derivaatta nollaksi. Polynomien kertoimille saadaan lineaarinen yhtälöryhmä.

Korkean asteen polynomi on tietysti helppo sovittaa pistejoukkoon. Yleisesti se ei kuitenkaan tuota hyviä approksimaatioita. Vaikka polynomi antaa oikeat arvot mittapisteiden kohdalla, niiden välillä se aaltoilee rajusti. Nyrkkisääntönä voisi pitää, että yli kolmannen asteen ei parane mennä, ellei pysty perustelemaan miksi tekee niin (kyllä hyviäkin syitä on olemassa, esimerkiksi kameran jouhevan liikkeen määrittelemiseen animaatiossa voidaan haluta, että kolmaskin derivaatta on jatkuva, jolloin tarvitaan 5. asteen splinejä).

Tietysti jos tuo on jonkin koulukurssin tehtävä, etkä ole koskaan kuullutkaan splineistä, tuskin kannattaa nähdä vaivaa ellei sitten halua oppia miten splinejä käytetään.

Lisätietoa: http://mathworld.wolfram.com/CubicSpline.html

Vierailija

No, omassa jokapäiväisessä työssäni joudun polynomiapproksimaatioiden kanssa tekemisiin toisinaan enemmän ja toisinaan vähemmän, joskin viimeiset pari kolme kuukautta on pyöritellyt yksinomaan polynomiapproksimaatioita.

Työasioista ei sinällään kannata puhua kovin paljon, mutta polynomit ovat hyvin mielenkiintoisia. Menneisyyden sovelluksista voisi kuitenkin mainita liukuvan polynomisovituksen.

Liukuvan ikkunan (kiertopuskurin) pituus on 60 s. GPS-anturi antaa uuden paikkatiedon sekunnin välein. Joka sekunnille approksimoidaan polynomit fx, fy ja fz. Liukuva polynomi suodattaa kohinan niin tarkasti, että esimerkiksi sadan kilometrin matkalla konkreettinen virhe on vähemmän kuin delta.

4D-algebrassa (jos ilmaisu sallitaan) GPS-signaalia voi käsitellä vieläkin elegantimmin. Algebran metodit eivät ota kantaa tuohon, sovitetaanko kolme käyrää erikseen, vai yhdessä nipussa 4D-alkioiden kolmessa elementissä. Suodatus on jossain mielessä tarkempi siinä suhteessa, että sovitus muodostetaan suoraan tilaan.

Mutta oli miten oli, luonto on ihmeellinen, koska sen voi approksimoida kompaktiksi polynomiksi. Sitä voi derivoida ja integroida mielensä mukaan. Algebra itsessään on ihmeellinen. Se on kieli luonnonilmiöiden mallintamiseen.

Vierailija

Onko tuo kuvaaja annettu graafisesti vai numeerisesti pistearvoina. Jos kuvaaja on annetu graafisesti ei kannata lähteä hakemaan matemaattista mallia ja derivoimaan vaan viivain käteen ja piirrät tangentin määritettyyn kohtaan. Tangentin ja koordinaattiakselien leikkauspisteistä voit lukea riittävällä tarkkuudella matkan ja ajan muutokset ja niiden osamääränä saat nopeuden. Siis graafinen ratkaisu jos kuvaaja on annettu graafisena. Mutta jos polynomin avulla niin helpoin tapa lienee valita neljä lähintä pistettä ja niiden kautta kuutioparabeli. Sen derivoimalla saa parabelin josta nopeus on helppo ratkaista.

Vierailija
_jone_
4D-algebrassa (jos ilmaisu sallitaan)...

Elon logiikkaopilla 4D-olioiden kerolasku suoritetaan sitten leikkaa/liitä logiikalla ilmeisesti:

[code:1y8mkynb]real4d operator*(real4d a, real4d b)
{
real4d t(0.0);
for (int i=0; i<8; i++)
for (int j=0; j<8; j++)
t.e[i^j]+=a.e[i]*b.e[j];
return reduse(t);
}[/code:1y8mkynb]
(Korjaa jos olin väärässä) jonka jälkeen jakolasku pitää olla luonnollisesti kertolaskun käänteisoperaatio. Yhteen- ja vähennyslaskun luulisin noudattavan vain luupin kasvattamista kahdeksaan. Mutta kompleksiolioita on nyt reaaliolion lisäksi luultavasti seitsemän lisää.

Menee liian kompleksiseksi. Mutta imaginäärinen on yhdenvertainen reaalisen kanssa. Näin ollen 4D-algebrassa on kahdeksan toistensa kanssa yhdenvertaista oliota?

Yksi asia jäi kuitenkin vaivaamaan. Minkä helkutin logiikalla 4D-algebran 64 kantavektoria määrätään niin, että kaikki alkeisoperaatiot olisivat ristiriidattomia ja mahdollistaisivat funktioapproksimaatiot vaikka 4D-kompleksisfäärissä.

-torstai

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10604
Liittynyt16.3.2005

Lainaus:
"Yksi asia jäi kuitenkin vaivaamaan. Minkä helkutin logiikalla 4D-algebran 64 kantavektoria"

Muistaakseni avaruuden virittämiseen tarvitaan tasan yhtä monta toisistaan lineaarisesti riippumatonta vektoria, kuin on avaruuden dimensio.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

JAM
Seuraa 
Viestejä192
Liittynyt5.4.2006

Tässähän päästiin sujuvasti paraabelin tangentin määrittämisestä moniulotteisiin algebroihin .

4D-algebralla eli kvaternioilla on reaaliosan lisäksi kolme imaginaariyksikköä. 4D-algebralla voidaan näppärästi käsitellä 3-ulotteisen avaruuden kiertoja, kuten Hamilton huomasi vuonna 1843 yritettyään vuosikausia turhaan kehittää 3-ulotteisia 'kompleksilukuja'.

Vierailija

Tai sitten ei päästy. Alkuperäinen kysymys kosketteli approksimaatioita. Totesin vain yhden tavan lisää käsitellä esimerkiksi GPS-signaalia. Eipä taida ko. approksimaatio kvaterniolla onnistua. Loppujen lopuksi tyhjään argumenttiisi ei viitsi edes miettiä mitään sanottavaa, koska Suomi hävisi. torstain asiaan voi lyhyesti sanoa, että noin kiperät kysymykset kannattaa fokusoida JAMille.

Uusimmat

Suosituimmat