Matemaattinen ongelmus.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ryhdyinpäs tässä pohtimaan, että onko olemassa ääreton määrä sellaisia lukuja a,b € Z+, joille pätee yhtälö a^b=b^a ja a on erisuuri kuin b? Ainakin a=2 ja b=4 toteuttavat tuon, mutta osaisiko kukaan todistaa onko yhtälön toteuttavia lukuja muitakin?

EDIT: Pientä säätöä, ei muuta.

Sivut

Kommentit (19)

Vierailija

Aika hankala minusta lähteä sanomaan, onko jotkin luvut luokkaa 546234 ja 546235 yhtälön toteuttavia, vai ei.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Pieni omakohtainen miettiminen ei ole koskaan pahaksi. Yhtälön vasen puoli on jaollinen a:lla ja oikea b:llä. Siis b:n on oltava jaollinen a:lla. Kokeillaan vaikkapa, mitä tapahtuu jos a=b. Tällöin yhtälö on muotoa a^a=a^a. Kappas! Ratkaisuja onkin äärettömän monta!

Mikä tuossa oli niin vaikeaa?

Vierailija
korant
Voisi myös kertoa hyväsytäänkö tuohon muita kuin kokonaislukuja.



huismjar
a,b € Z+



Myönnettäköön, että on ehkä hieman epäselvä merkintä osaltani, tarkoitus oli ilmaista, etä a ja b kuuluvat positiivisten kokonaislukujen joukkoon.

Vierailija

Rustasin nopeasti pienen taulukon, jossa yksinkertaisesti kokeilin eri numeroilla tuota. Osoittautui, ettei yhtälösi toteudu millään paitsi luvilla a=2, b=4, jotka siis tiesitkin jo. Tämä ei tietenkään poissulje sitä mahdollisuutta etteikö jossain kaukana olisi joku järjettömän iso luku, jolla se toteutuisi. Minä vain en sellaista löytänyt. Tein taulukkoa vähän päälle sataan asti. Pitäis kai rustata joku koodi matlabille ja antaa sen etsiä rauhassa vastausta tähän elämää suurempaan kysymykseen.

Välillä tuntuu ettei tähtitiedettä ja matematiikkaa turhempia asioita olekaan... kunnes sitten joku älypää keksii jollekkin järjettömän mystiselle kaavalle käytännön elämästä jonkun sovelluksen tai kun huomataankin että tähtien ja planeettojen liikkeiden tuntemisesta onkin jotain oikeaa hyötyä.

Vierailija

Ajatelkaapa avaruudellisesti a^b. a on yksi akseli, b toinen. Ja a^b muodostaa kolmannelle ulottuvuudelle pinnan.

Samalla tavoin b^a muodostaa samaan avaruuteen toisen pinnan.

Näiden kahden pinnan leikkauskohta on kaikki a- ja b-arvot jotka täyttävät yhtälön. Vastauksia on siis ääretön määrä, sillä a^b ja b^a ovat jatkuvia funktioita.

Kun ajatellaan pintaa a^b, niin sehän on itseasiassa aika mielenkiintoinen. b-akselilla muuttuu eksponentti. Kun ajatellaan käyrät a^b b:n funktiona kaikilla a:illa (...hankalasti sanottu, tiedän), on a^1 esim suora, a^2 paraabeli, ja a:n suuremmat potenssit ties mitä. Käyrän muoto siis muuttuu hyvin voimakkaasti b:n funktiona.

On siis hyvin vaikea sanoa minkälainen kuvio a,b-avaruuteen muodostuu yhtälön täyttävistä pisteistä. Olisikin aika hiton mielenkiintoista jos joku saisi kuvan tuosta kuviosta, voisi olla hieno.

Vierailija
hävytön
Ajatelkaapa avaruudellisesti a^b. a on yksi akseli, b toinen. Ja a^b muodostaa kolmannelle ulottuvuudelle pinnan.

Samalla tavoin b^a muodostaa samaan avaruuteen toisen pinnan.

Näiden kahden pinnan leikkauskohta on kaikki a- ja b-arvot jotka täyttävät yhtälön. Vastauksia on siis ääretön määrä, sillä a^b ja b^a ovat jatkuvia funktioita.

Kun ajatellaan pintaa a^b, niin sehän on itseasiassa aika mielenkiintoinen. b-akselilla muuttuu eksponentti. Kun ajatellaan käyrät a^b b:n funktiona kaikilla a:illa (...hankalasti sanottu, tiedän), on a^1 esim suora, a^2 paraabeli, ja a:n suuremmat potenssit ties mitä. Käyrän muoto siis muuttuu hyvin voimakkaasti b:n funktiona.

On siis hyvin vaikea sanoa minkälainen kuvio a,b-avaruuteen muodostuu yhtälön täyttävistä pisteistä. Olisikin aika hiton mielenkiintoista jos joku saisi kuvan tuosta kuviosta, voisi olla hieno.





Pintojen z=x^y ja z=y^x

Kuvaajat alueelta (x,y)=(a,b)=0.01..2 ja siis z=c=4

Ylhäältä alaspäin katsottuna.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
hävytön
Ajatelkaapa avaruudellisesti a^b. a on yksi akseli, b toinen. Ja a^b muodostaa kolmannelle ulottuvuudelle pinnan.

Samalla tavoin b^a muodostaa samaan avaruuteen toisen pinnan.

Näiden kahden pinnan leikkauskohta on kaikki a- ja b-arvot jotka täyttävät yhtälön. Vastauksia on siis ääretön määrä, sillä a^b ja b^a ovat jatkuvia funktioita.




No ne pinnat leikkaavat suoraa a=b pitkin, ja sehän suljettiin määrittelyssä pois.

Vierailija

Näin intuition varassa näyttääkin siltä, että nuo pinnat eivät eikinä kohtaa muutakuin akseleissa ja kun a=b. Koskaan en ollut hyvä matemaattisissa todistuksissa, joten jätän lopullisen toteamisen muille.

Vierailija
huismjar
Ryhdyinpäs tässä pohtimaan, että onko olemassa ääreton määrä sellaisia lukuja a,b € Z+, joille pätee yhtälö a^b=b^a ja a on erisuuri kuin b? Ainakin a=2 ja b=4 toteuttavat tuon, mutta osaisiko kukaan todistaa onko yhtälön toteuttavia lukuja muitakin?

Kiitos hauskasta ongelmasta!

Ei vaikuttanut kotitehtävältä, joten spoilaan sen tässä vaihe vaiheelta. Kannattaa siis lopettaa lukeminen heti, jos haluaa itse vielä koittaa, tai mahdollisimman nopeasti, jos haluaa vain vinkkejä.

1. Muokkaa yhtälö muotoon, jossa a:t ovat toisella ja b:t toisella puolella.

2. Tarkastellaan käyrän f(x) = x^(1/x) muotoa. (Jos edellisessä kohdassa otti logaritmin, voi yhtä hyvin tarkastella funktiota log f(x) = log(x)/x.)

3. Käyrällä on yksi huippu kohdassa x = e (Neperin luku), joten f(x) on monotonisesti kasvava, kun x < e ja monotonisesti vähenevä, kun x > e.

4. Koska ratkaisussa a on erisuuri kuin b, pienempi luvuista < e ja suurempi luvuista > e.

5. lim_{x -> ∞} f(x) = 1, joten 1 < f(x) < f(e), kun x > e.

6. Jos x < e ja 1 < f(x) < f(e), silloin x > 1.

7. Välillä 1 < x < e on vain yksi kokonaisluku x = 2 ja sen vastinpari e:n suuremmalla puolella sattuu myös olemaan kokonaisluku (siis f(2) = f(4)) joten se on ainoa kokonaislukuratkaisu. Reaalilukuratkaisuja on tietysti ääretön määrä.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Päivystävä dosentti
huismjar
Ryhdyinpäs tässä pohtimaan, että onko olemassa ääreton määrä sellaisia lukuja a,b € Z+, joille pätee yhtälö a^b=b^a ja a on erisuuri kuin b? Ainakin a=2 ja b=4 toteuttavat tuon, mutta osaisiko kukaan todistaa onko yhtälön toteuttavia lukuja muitakin?

Kiitos hauskasta ongelmasta!

Ei vaikuttanut kotitehtävältä, joten spoilaan sen tässä vaihe vaiheelta. Kannattaa siis lopettaa lukeminen heti, jos haluaa itse vielä koittaa, tai mahdollisimman nopeasti, jos haluaa vain vinkkejä.

1. Muokkaa yhtälö muotoon, jossa a:t ovat toisella ja b:t toisella puolella.


Hmm. Toimiikohan tuo lähestymistapa? Tuossa ratkaisussa pitää ainakin tietää LambertW-funktion ominaisuuksista jotain.

Vierailija
Puuhikki
Päivystävä dosentti
1. Muokkaa yhtälö muotoon, jossa a:t ovat toisella ja b:t toisella puolella.

Hmm. Toimiikohan tuo lähestymistapa? Tuossa ratkaisussa pitää ainakin tietää LambertW-funktion ominaisuuksista jotain.

En ole ikinä kuullutkaan tuosta Lambert W:stä, mutta onneksi netti auttoi. Minusta ei kuitenkaan siis tarvitse funktiota, joka on muotoa f^-1(x) = xe^x, vaan sen kakkoskohdan f(x) = x^(1/x), koska alkuperäisen yhtälön voi silloin kirjoittaa muodossa f(a) = f(b). Selitätkö mistä se LW tuli?

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat