Seuraa 
Viestejä45973

Olis tällänen raja-arvo lasku jota en oo saanu ratkastuu.

((x+2)^(1/2)-x^(1/2))/((x+1)^(1/2)-x^(1/2)) ja x lähestyy ääretöntä. Toivottavasti tosta saa selvää.

Tuntuu vaan että tuo pitäs olla ihan helposti ratkastavissa mutta ei vaan keksi mitään.

Tämä tehtävä on Lauri Myrbergin Differentiaali- ja integraalilaskenta osa 1 korkeakouluja varten kirjasta.

Kommentit (19)

Pitäskö tuo olla ihan helposti ratkastavissa? oon miettiny ja miettiny mutta ei tuu vaan mitään mieleen. Yritin kaikkia laajentaa (x+2)+x^(1/2) ja (x+1)+x^(1/2) mutta ei meinaa tulla mitään. L'Hôpitalin säännölläkään ei meinannu tulla mitään jos nyt vaan laskin oikein. En oo yrittäny hirveesti mitään raja-arvon määritelmällä ratkasta. Jokaista lukua e E R vastaa luku m E Rsiten että | f(x) - 3/2 | < e kun x > m. Siis tuo E meinaa että kuuluu joukkoon. oisko se siis epsilon.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
tli
Seuraa 
Viestejä1180

En keksi mitään differentiaali- ja integraalilaskentaan liittyvää hienoa menettelyä, mutta ehdotankin tällaista maallikon ratkaisua:

Ensinnä täytyy olettaa, että x kuuluu luonnollisiin lukuihin = (1,2,3,......,n). Yhtälön osoittaja ja nimittäjä poikkeavat toisistaan vain siten, että osoittajassa on sqrt(x+2) ja nimittäjässä on sqrt(x+1), joten yhtälön arvo on > 1. X:n arvon kasvaessa tämä osoittajan ja nimittäjän välinen ero pienenee, joten kun x lähenee ääretöntä, niin lausekkeen arvo lähenee ykköstä.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Pahis
Olis tällänen raja-arvo lasku jota en oo saanu ratkastuu.

((x+2)^(1/2)-x^(1/2))/((x+1)^(1/2)-x^(1/2)) ja x lähestyy ääretöntä.




Lavenna (x+1)^(1/2)+x^(1/2)

H
Pahis
Olis tällänen raja-arvo lasku jota en oo saanu ratkastuu.

((x+2)^(1/2)-x^(1/2))/((x+1)^(1/2)-x^(1/2)) ja x lähestyy ääretöntä.




Lavenna (x+1)^(1/2)+x^(1/2)
ei vaan tajuu mitä sitten keksis.

H
Seuraa 
Viestejä2622
H
Pahis
Olis tällänen raja-arvo lasku jota en oo saanu ratkastuu.

((x+2)^(1/2)-x^(1/2))/((x+1)^(1/2)-x^(1/2)) ja x lähestyy ääretöntä.




Lavenna (x+1)^(1/2)+x^(1/2)



Nimittäjä häviää ja osoittajan voi kertoa auki.

H
H
Pahis
Olis tällänen raja-arvo lasku jota en oo saanu ratkastuu.

((x+2)^(1/2)-x^(1/2))/((x+1)^(1/2)-x^(1/2)) ja x lähestyy ääretöntä.




Lavenna (x+1)^(1/2)+x^(1/2)



Nimittäjä häviää ja osoittajan voi kertoa auki.



osoittaja: sqrt(x^2+3x+2)-sqrt(x^2+x)+sqrt(x^2+2x)-x?
ja nimittäjä: 2x+1?
jos näin on niin en siis vaan tajuu vaikka varmaan pitäs.

Matikan taidot aikalailla unholassa mutta entä jos jakaa sqrt(x):llä -> (sqrt(1+2/x)-1)/(sgrt(1+1/x)-1)
tämä lähestyy osamäärää (1+1/x-1)/(1+1/2x-1) = 2

korant
Matikan taidot aikalailla unholassa mutta entä jos jakaa sqrt(x):llä -> (sqrt(1+2/x)-1)/(sgrt(1+1/x)-1)
tämä lähestyy osamäärää (1+1/x-1)/(1+1/2x-1) = 2
Vaikka olenkin hieman juhannus mielentilassa niin jakamalla x^(1/2) niin siitä ei tule tuota mitä sanot. Vai tuleeko vastaus taitaa olla oikein?

korant
Matikan taidot aikalailla unholassa mutta entä jos jakaa sqrt(x):llä -> (sqrt(1+2/x)-1)/(sgrt(1+1/x)-1)
tämä lähestyy osamäärää (1+1/x-1)/(1+1/2x-1) = 2
siis jos on supistamalla sqrt(x) niin.. en tajuu.. aaaaa juhannus vieny kaikki matematiikan taidot.

Supistetaan ensin sqrt(x):llä:

(sqrt(1+2/x) - 1)/(sqrt(1+1/x) - 1)

Korvataan sqrt taylorin sarjakehitelmällä arvon 1 ympäristössä:

sqrt(z) = 1 + (z-1)/2 - (z-1)^2/8 ...

Saadaan (merkitään 1/x = e):

(1 + e - e^2/2 ... -1)/(1 + e/2 - e^2/8 ... -1)

Supistetaan e:llä:

(1 - e/2 ...)/(1/2 - e/8 ...)

Ja kun x -> oo, e -> 0, jolloin:

(1 - 0)/(1/2 - 0) = 2

korant
Matikan taidot aikalailla unholassa mutta entä jos jakaa sqrt(x):llä -> (sqrt(1+2/x)-1)/(sgrt(1+1/x)-1)
tämä lähestyy osamäärää (1+1/x-1)/(1+1/2x-1) = 2
Minun tämänhetkisillä laskutaidoilla tuosta tulee 0/0

tli
Seuraa 
Viestejä1180
yöntero

(1 - e/2 ...)/(1/2 - e/8 ...)

Ja kun x -> oo, e -> 0, jolloin:

(1 - 0)/(1/2 - 0) = 2




Tämä taitaa olla oikea ratkaisu. Huomasin kuitenkin, kun tein kokeita laskimella, että raja-arvo näyttää riippuvan yksinomaan alkuperäisen yhtälön vakiotermeistä. Siis, jos osoittajassa on sqrt(x+3) ja nimittäjä säilyy ennallaan, niin raja-arvo on 3/1 = 3 tai jos osoittajassa on sqrt(x+4) nimittäjän säilyessä ennallaan, niin raja-arvoksi tuleekin 4/1 = 4. Kun osoittajassa on sqrt(x + 4) ja nimittäjässä sqrt(x+2), niin raja-arvoksi tulee 4/2 = 2.

Viime kädessä raja-arvo tässä yhtälössä näyttää siis määräytyvän pelkästään yhtälön vakioiden suhteesta. Kysyisinkin nyt ilmeisesti itseäni paremmin matematiikkaa hallitsevalta yönterolta, onko tuo sarjakehitelmä ainoa keino kaivaa ulos tämä raja-arvo, vai löytyisikö siihen jokin yksinkertaisempikin keino. Yritin itse kaikkia mahdollisia osaamiani temppuja, eikä se onnistunut. Periaatteessahan täytyisi vain jotenkin saada yhtälö muotoon, jossa vain vakioiden suhde jäisi jäljelle x:n lähestyessä ääretöntä.

ps. Pitäisikö tuon sitaatin ensimmäisen yhtälön osoittajassa olla kuitenkin (1 - e/4....), vai ymmärsinkö jotenkin väärin sarjakehitelmän rakentamisen.

H
Seuraa 
Viestejä2622
tli
onko tuo sarjakehitelmä ainoa keino kaivaa ulos tämä raja-arvo, vai löytyisikö siihen jokin yksinkertaisempikin keino

Ongelmana tehtävässä on miinusmerkit, joiden vuoksi päädytään 0/0 tilanteeseen.

Edellä ehdotin summan ja erotuksen tulon käyttämistä nimittäjän eliminoimiseen. Tehdään sama myös osoittajalle, jolloin

((x+2)^(1/2)-x^(1/2))/((x+1)^(1/2)-x^(1/2)) = 2*((x+1)^(1/2)+x^(1/2))/((x+2)^(1/2)+x^(1/2))

Supistamalla nyt x^(1/2):lla saadaan

2*((1+1/x)^(1/2)+1)/((1+2/x)^(1/2)+1))

Kun x -> ∞, niin lauseke -> 2*(2/2)=2

onko tuo sarjakehitelmä ainoa keino kaivaa ulos tämä raja-arvo, vai löytyisikö siihen jokin yksinkertaisempikin keino. Yritin itse kaikkia mahdollisia osaamiani temppuja, eikä se onnistunut. Periaatteessahan täytyisi vain jotenkin saada yhtälö muotoon, jossa vain vakioiden suhde jäisi jäljelle x:n lähestyessä ääretöntä.



Hmm... nyt kun ihan silmällä katson, niin näyttäisihän tuo ihan nätisti L'Hôpitalin säännölläkin ratkeavan . Uskoin kun joku sanoi ettei toiminut... olisiko sitten x:n suhteen derivoinnista tullut sen verran hankalampaa, ettei onnistunut?

d(sqrt(1+2e) - 1)/de = 1/sqrt(1+2e)
d(sqrt(1+e) - 1)/de = 1/sqrt(1+2e)/2
1/sqrt(1+2e) / (1/sqrt(1+2e)/2) = 2

ps. Pitäisikö tuon sitaatin ensimmäisen yhtälön osoittajassa olla kuitenkin (1 - e/4....), vai ymmärsinkö jotenkin väärin sarjakehitelmän rakentamisen.



http://fi.wikipedia.org/wiki/Taylorin_sarja:
sqrt(1+y) = 1 + y/2 - y^2/8 + y^3/8 - ...

eli:
sqrt(1+2e) = 1 + e - e^2/2 + ...
sqrt(1+e) = 1 + e/2 - e^2/8 + ...

joten:
sqrt(1+2e) - 1 = e - e^2/2 + ...
sqrt(1+e) - 1 = e/2 - e^2/8 + ...

jolloin:
(sqrt(1+2e) - 1)/(sqrt(1+e) - 1) =
(e - e^2/2 + ...) / (e/2 - e^2/8 + ...)

supistetaan e:llä:
(1 - e/2 + ...) / (1/2 - e/8 + ...)

Kyllä tuo tuntuisi olevan oikein, miten ajattelit tuon 1 - e/4 muodostuvan?

tli
Seuraa 
Viestejä1180
yöntero

joten:
sqrt(1+2e) - 1 = e - e^2/2 + ...
sqrt(1+e) - 1 = e/2 - e^2/8 + ...

jolloin:
(sqrt(1+2e) - 1)/(sqrt(1+e) - 1) =
(e - e^2/2 + ...) / (e/2 - e^2/8 + ...)

supistetaan e:llä:
(1 - e/2 + ...) / (1/2 - e/8 + ...)

Kyllä tuo tuntuisi olevan oikein, miten ajattelit tuon 1 - e/4 muodostuvan?




Tuosta linkistä löytyikin näppärästi aika monien funktioiden sarjakehitelmiä. Jos muistan oikein, niin tietokoneet laskevat funktioiden arvot juuri sarjakehitelmien avulla.

Kun oli määritelty, että e = 1/x, niin eikös tuo osoittajan neliöjuuren määrittely mene välivaiheineen seuraavasti:

sqrt(1 + 2e) -1 = 2*e/2 - 2*e^2/8 + ..... =

e - e^2/4 + ....

Tästä taas supistamalla e saadaan

1 - e/4 +....

Tulokseenhan tämä ei tässä tapauksessa vaikuta.

Edit:
Sorry, tuli tehtyä itse laskuvirhe, sillä se toinen termihän onkin tietysti:

(2*e)^2/8 = e^2/2

eli esittämäsi yhtälö on aivan oikein. Onneksi tämä ei kuitenkaan ollut mikään matematiikan tenttitilanne, joten tyhmyydestä ei päästä kovin pahasti rankaisemaan.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat