Seuraa 
Viestejä45973

Mitä differentiaalilaskenta on. Joku anto tän linki. Mutta tuo muuttuu hulluudeks sivu 10 jälkee.

Sivut

Kommentit (26)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Kutsutaan myös infinitesimaalilaskennaksi eli laskentaa, jossa tarkastellaan häviävän pieniksi muuttuvia erotuksia ja niiden osamääriä.

David
Seuraa 
Viestejä8877
borri317
Mitä differentiaalilaskenta on. Joku anto tän linki. Mutta tuo muuttuu hulluudeks sivu 10 jälkee.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Differentiaalilaskenta
Perustuu erotusosamäärän raja-arvotarkasteluun (derivointi) ja sille käänteiseen toimenpiteeseen eli integrointiin.

Erotusosamäärä taas kertoo yleisesti, miten funktion muutosnopeus riippuu muista siihen liittyvistä liittyvistä suureista.

Selvensikö yhtään? Noista lähtökohdista nyt ainakin pitäisi liikkeelle lähteä savuttaakseen syvemmän ymmärryksen asiasta.

annetaan käppyrän lauseke, käsketään vaikka derivoida, vastaus on joku käppyrän lauseke

jos lauseke on x kolmantaan niin vastaus on 1/3 x toiseen

laskukaava on: potenssista pois 1, ja lisätään jakoviiva ja kirjoitetaan sen alle se luku mikä kertoi potenssin

differentiaalilaskennan opiskelu sitten on sitä että opiskelee erilaisten lausekkaiden erilaiset laskukaavat

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
jartsa

differentiaalilaskennan opiskelu sitten on sitä että opiskelee erilaisten lausekkaiden erilaiset laskukaavat




Differentiaalilaskennan opiskelu alkaa siitä, että ymmärtää, että siinä tarkastellaan funktion muutoksia tai muutosten nopeuksia.

Esimerkkinä voisi olla yhden muuttujan funktion kuvaajan tangentin määrittäminen. Tangentin likiarvo saadaan, kun piirretään kahden käyrän pisteen kautta käyrälle sekantti. Kun pisteitä siirretään lähemmäksi toisiaan, päädytään lopulta yhteen pisteeseen ja siinä olevaan tangenttisuoraan. Tämä vastaa funktion ensimmäisen derivaatan geometrista tulkintaa kyseisessä pisteessä.

Vanha jäärä

Differentiaalilaskenta on DERIVAATOILLA pelaamista, vastakohtana INTEGRAALILLE!

Derivaatta ilmaisee käyrän KULMAKERTOIMEN eli TANGENTIN!

df(x)/dx=lim((f(x+dx)-f(x))/dx)

Eli tossa on vain laskettu suoran kulmakerroin tan(alfa) =k=y'=f'(x) pisteessä: (x,y)

Sitten kaikki muut differentiaalit on tuosta johdettu!

Esimerkiksi:

f'(x,y)=doo_f(x,y)/doo_x+ doo f(x,y,z)/dooy

tuo on toisaalta f'(x,y)=1/2*(df(x,y)/dx+df(x,y)/dy)

Mitä noist sitten tulloo:(doo on semmonen kreikkalainen kirjain, joka tarkoittaa osittaisdifferentiaalia!)

f(x,y,z)=3*x^2+2*y+3*z
f'(x,y,z)=6*x +2 + 3

Laskusäännöt on osittaisille differentiaaleille helppoja, sen kun derivoi AINOASTAAN yhden muuttujan suhteen!

Vanha jäärä
jartsa

differentiaalilaskennan opiskelu sitten on sitä että opiskelee erilaisten lausekkaiden erilaiset laskukaavat




Differentiaalilaskennan opiskelu alkaa siitä, että ymmärtää, että siinä tarkastellaan funktion muutoksia tai muutosten nopeuksia.

Esimerkkinä voisi olla yhden muuttujan funktion kuvaajan tangentin määrittäminen. Tangentin likiarvo saadaan, kun piirretään kahden käyrän pisteen kautta käyrälle sekantti. Kun pisteitä siirretään lähemmäksi toisiaan, päädytään lopulta yhteen pisteeseen ja siinä olevaan tangenttisuoraan. Tämä vastaa funktion ensimmäisen derivaatan geometrista tulkintaa kyseisessä pisteessä.





muistan kyllä miten koulussa opiskeltiin diffistä.

sen kyllä opin vasta tänään että diffis on sama kuin derivointi ja integrointi.

vai onko?

David
Seuraa 
Viestejä8877
jartsa
Vanha jäärä
jartsa

differentiaalilaskennan opiskelu sitten on sitä että opiskelee erilaisten lausekkaiden erilaiset laskukaavat




Differentiaalilaskennan opiskelu alkaa siitä, että ymmärtää, että siinä tarkastellaan funktion muutoksia tai muutosten nopeuksia.

Esimerkkinä voisi olla yhden muuttujan funktion kuvaajan tangentin määrittäminen. Tangentin likiarvo saadaan, kun piirretään kahden käyrän pisteen kautta käyrälle sekantti. Kun pisteitä siirretään lähemmäksi toisiaan, päädytään lopulta yhteen pisteeseen ja siinä olevaan tangenttisuoraan. Tämä vastaa funktion ensimmäisen derivaatan geometrista tulkintaa kyseisessä pisteessä.





muistan kyllä miten koulussa opiskeltiin diffistä.

sen kyllä opin vasta tänään että diffis on sama kuin derivointi ja integrointi.

vai onko?


Ei pelkästään, mutta derivoinnin ja integroinnin avulla voidaan muuhun geometriseen analyysiin tukeutuen selvittää monitahoisia matemaattisia ongelmia. Tätä voisi kokonaisuutena kutsua differentiaalilaskennan sovellusalueeksi.

Joskus olen noita jopa osannutkin, mutta en kuitenkaan omaksunut niin hyvin, että olisivat selkäytimeen iskostuneet.

borri317
David
Selvensikö yhtään?
Joo. Olis hyvä jos jossaki kerrottas tarkasti mitä se tarkottaa.



Odotas.. Lukion pitkä matematiikka, loppupään kurssit.

tli
Seuraa 
Viestejä1180

Jospa yrittäisi näin maallikkona matematiikassa sanoa yksinkertaisesti sen, mistä differentiaalilaskennassa on kysymys.

Sanotaan, että funktio f(x) = y ja y on jokin x:n lauseke, esim. y = x^2 + 3x -2. Tällöin derivaatta dy/dx = 2x + 3.

Derivaatta dy/dx on siis funktion (y) muutoksen suhde argumentin (x) muutokseen. Differentiaalilaskennassa tutkitaan siis argumentin (x) muutoksen vaikutusta funktioon (y).

Tämä on ymmärtääkseni differentiaalilaskennan yksinkertainen lähtökohta, mutta vain lähtökohtaahan tässä kysyttiinkin, joten en nyt rupea sotkemaan asiaa muilla näkökulmilla.

Joza
borri317
David
Selvensikö yhtään?
Joo. Olis hyvä jos jossaki kerrottas tarkasti mitä se tarkottaa.



Odotas.. Lukion pitkä matematiikka, loppupään kurssit.



Tai sitten eksyminen jonllekin kyllin kehnosti suojatulle yliopiston sivuille... Olen kerran erehtynyt tuossa tarkoituksessa antamaan jopa salasanani jollekulle... Enpäs nyt taida viitsiä? Vai viitsikö?!

Pannaan nyt muutama derivaatta-kaava:

F(x)=A, A on vakio (AeR)
dF(x)/dx=0

F(x)=A*x^n
F'(x)=f(x)=dF/dx=A*n*x^(n-1)

F(x)=e^x
dF(x)/dx=e^x

F(x)=sin(x)
dF(x)/dx=cos(x)

F(x)=cos(x)
dF(x)=-sin(x)

F(x)=ln(x)
dF(x)/dx=1/x

Yhdistetyille funktioille:

dF(H(x))/dx= F'(H(x))*H'(x)
d(F(x)*H(x))=F'*H+F*H'

Noilla pärjää jo pitkälle!

Laskutehtävä:
1) Derivoi: F(x)=2x*(3x^2+2x+1)^3
2) Mikä on em. käyrän vaakatasopiste, eli "derivaatan nollakohta"?

Helppoa!

Laskekaapa!

Kun lähdetään syventymään differentiaalilaskentaan kannattaa lähteä liikkeelle ihan sieltä aamunkoitosta eli Arkhimedes Syrakuselaisen pinta-alan laskuista alkaen, siis integroinnista.

Arkhimedes siis pohti miten pystyisi laskemaan jonkun käyrän rajoittaman pinta-alan tai vaikkapa ympyrän pinta-alan. Hän lähestyi ongelmaa siten, että piirsi käyrän alle lukuisia suorakaiteita, joiden pinta-alojen laskeminen siis oli triviaalia:

Hän päätteli nyt, että yhä kaventamalla ja lisäämäällä noita suorakaiteita ja laskemalla yhteen niiden pinta-alat päästään yhä lähemmäksi käyrän rajoittamaa pinta-alaa:

Noiden suorakaiteiden loputtomasta pienentämisestä ja niiden pinta-alojen yhteenlaskemisesta hän päätyi sitten suunnilleen seuraavaan käyrän pinta-alan lausekkeeseen.

Pinta-ala = lim (∑A(∆Xi)), i→∞

Tästä kehittyi sitten nykyisin tuntemamme integrointilausekkeet monien vaiheiden kautta kunnes Leibniz, Newton & knit 1600-luvulla osoittivat, että integrointi ja derivointi itseasiassa ovat käänteislaskutoimituksia.

Eli nykyajan differentiaalilaskennan kehittämiseen Arkhimedestä Leibniziin kului noin 1800 vuotta mutta kyllä siinä välissäkin yhtä sun toista tapahtui. Esim. kuuluisa skolastikko, filosofi ja teologi Tuomas Akvinolainen vei tätä Arkhimedeen infinitesimaalilaskentaa 1200-luvulla paljonkin eteenpäin valmistellen ajatuksia Leibnizille 1600-luvulle.

ps. Nuo käppyrät on kopioitu Wikipediasta.

David
Seuraa 
Viestejä8877

Yksi mikä pistää silmään ja suorastaan häiritsee noissa matematiikan prujuissa on se, että yksinkertaisestakin asiasta saadaan hemmetin vaikeaselkoinen tunkemalla niitä symboleita sellaiseenkin paikkaan, jossa ne vain sotkevat selvää teksiä.

Kuten esim. että alue jaetaan n:ään osaan, kerrotaan matematiikan selkokielellä "alue jaetaan n kuuluu joukkoon kokonaisluvut osaan". (Jos ei ennestään tiedä mitä ne symbolit tarkoittaa, niin on pallo heti hukassa).

Ei ole mikään ihme, että ihmiset ovat pihalla asiasta kuin lumiukot, tuollaista symbolikieltä kohtaan nimittäin nousee ihokarvat pystyyn jopa meikäläiseltä, joka nyt on luullut matematiikasta jotain ymmärtäneensä.

Uuden asian opiskelussa nuo suoraan asiayhteyteen kuulumattomat symboliketjut ovat ärsyttäviä, jo siitä syystä että aina ei voi olla varma kuuluvatko ne jollain tavalla käsiteltävään asiaan vai ovatko ne vain erotusmerkkeinä käytettyjen termien yksiselitteistämiseksi. Samaa symbolia kun voidaan käyttää monessa merkityksessä, yleensä se nyt kuitenkin selviää asiayhteydestä ilman symboliviidakkoa.

Parempi olisi tekstinä kertoa kyseisen termin merkitys käsiteltävässä asiassa. Diivat voivat opetella kaikki symbolikoukerot, mutta ei niitä saisi perusopetusmateriaaliin tunkea kuin oheistettuina. Itse asia jää moneltakin oppimatta noiden koukeroiden takia.

http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ03.htm
Määritelmä 2. Olkoon f funktio, joka on jatkuva välillä [a, b], derivoituva välillä (a, b) ja x (a, b) : f '(x) = 0. Silloin funktion f arvo on vakio välillä [a, b]. (Symboleita puuttuu koipiosta, katso linkistä).

Siis mitä tuossa itse asiassa sanotaan?

Edit: Toisessa lähteessä:
http://www.rautavaara.fi/koulut/oppima/ ... ivoi2.html
Lause (Integraalilaskennan peruslause):
Jos f on jatkuva välillä [a,b] ja f '(x) = 0 koko välillä ]a,b[ ,
niin funktiolla f on vakioarvo koko välillä [a,b].

Tuon nyt sentään jo ymmärtää tälläkin koulutuksella.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat