Pinta-ala

Seuraa 
Viestejä119
Liittynyt10.12.2006

Jos keskellä on ympyrä jonka säde on 1 m ja sen ympärillä kehiä joiden paksuus 2-kertaistuu ulotessa eli sisin kehä on 2 m ja seraava 4 ja seuraava 8 jne. Kehiä on 63 eli uloin kehä on valkoinen ja ympyrä on keskellä.
Ja sisin ympyrä värjätään mustaksi, kehä valkoiseksi ja seuraava kehä mustaksi jne.
Niin monta prosenttia valkoisuus peittää koko hommasta?
Tiedän periaatteen että koko jutun pinta-alasta vähennetään sisempien kehien ja ympyrän pinta-ala ja lisätään 2 ulointa kehää lukuun ottamatta olevan alueen pinta-ala miinus sisempien kehien ja ympyrän ala jaettuna koko alueen pinta-ala.

Kirjoita nimesi vetoomukseen eläinoikeusjulistuksen puolesta osoitteeseen http://animalsmatter.org

Kommentit (4)

Vierailija

Vihje 1: Miten laskisit valkoisen alueen pinta-alan, jos kehiä olisi vain yksi? Kuvionhan voi ajatella koostuuvan sisäkkäisistä ympyröistä. (Valkoinen, jonka sisällä on musta, jonka sisällä on valkoinen... jne.)

Vihje 2: sisäkkäisten ympyröiden säteet muodostavat jonon: 2^0, 2^0+2^1, 2^0+2^1+2^2,... jne.

pikke
Seuraa 
Viestejä119
Liittynyt10.12.2006

Tarkoitinkin mitä rajaa se lähestyy?
Eli (valkoinen alue)/(kokoalue) eli mikä arvo tulee kun ympyröiden määrä lisään.
Onko olemassa mitään kaavaa nopeaan ratkaisuun?

Kirjoita nimesi vetoomukseen eläinoikeusjulistuksen puolesta osoitteeseen http://animalsmatter.org

Vierailija

Nopeasti mietittynä näin:

Kuvio siis koostuu kehistä, joiden paksuus on aina kaksinkertainen edelliseen verrattuna.

Ajatellaan kuvion koostuuvan sisäkkäisistä ympyröistä.
Saadaan siis ympyröitä, joiden säteet muodostavat jonon: 1m, 3m, 7m, 15m, 31m... jne.

Helposti huomataan, että valkoisen alueen pinta-ala on valkoisten ympyröiden ala miinus mustien ympyröiden ala.

(Käytän summamerkkinä kirjainta E, ja jos ei erikseen mainita, i juoksee 1:stä n:nnään, ja pii:n merkitsen isolla P:llä)

Olkoon ympyröitä n. kpl. Nyt n:nen ympyrän säde on 1+E(2^i) on geom. summan kaavalla = 2^(n+1)-1 Siispä n:nen ympyrän pinta-ala on P*(2^(n+1)-1)^2 = P*(2^(2n+2)-2^(n+2)+1).

Valkoisten ja mustien ympyröiden vuorotellessa, nähdään helposti, että n:s musta ympyrä on muotoa P*(2^(4n-2)-2^(2n)+1) ja n:s valkoinen ympyrä muotoa P*(2^(4n)-2^(2n+1)+1). Koska valkoinen ympyrä on ulompana kuin musta, on koko alueen pinta-ala yhtä suuri, kuin uloin valkoinen ympyrä: A_kok = P*(2^(4n)-2^(2n+1)+1).

Tähän en laskua jaksa kirjoittaa (ja siinä voi myös olla laskuvirheitä), mutta sain seuraavat tulokset:
A_valk.ymp = E(P*(2^(4n)-2^(2n+1)+1)) = (P/15)*(16^(n+1)-2*4^(n+1)+24+n) ja
A_must.ymp = E(P*(2^(4n-2)-2^(2n)+1)) = (P/15)*(4*16^n-5*4^(n+1)+16+n)

Nyt A_valk = A_valk.ymp - A_must.ymp =
(P/15)*(12*2^(4n)+12*2^(2n)+8)

Vähän pyörittämällä voidaan lauseke (A_valk)/(A_kok) saada muotoon:
(A_valk)/(A_kok) = 12/15*(1+(3*2^(2n)-1/3)/(2^(4n)-2^(2n)+1), missä jälkimmäinen härpäke ->0, kun n-> oo (<-ääretön), eli (A_valk)/(A_kok)-> 12/15, kun n->oo.

Eli 80%:a tuo arvo tämän laskelman mukaan lähestyy, ja kyllähän se kuulostaakin ihan järkevältä.

Toivottavasti tuosta joku sai selvää.

Vierailija

Jos uloin ympyrä on valkoinen, niin suhde (valkoinen alue)/(kokonaisalue) lähestyy rajatta arvoa 4/5, kun ympyröiden määrä lähenee ääretöntä. Kun uloin kehä on 63., niin suhde eroaa raja-arvosta noin 1,10 * 10^(-38).

Tuohon tuskin on mitään valmista kaavaa. Yhdessä kohtaa jouduin laskemaan geometrisen summan termistä (2^4)^k, k=1,2,..,n.

Uusimmat

Suosituimmat