Schrödingerin yhtälö

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Voisiko joku selittää minulle mitä Schrödingerin yhtälö todella tarkoittaa ja johtaa sen minulle matemaattisesti tai antaa neuvoja sen johtamiseen?

Kiinnostaisi ottaa seuraava askel ja ymmärtää kvanttimekaniikkaa oikeasti.

Kommentit (5)

Vierailija

Hiukkasta kuvaa aaltofunktio, joka on tarkin tästä hiukkasesta saatava tieto. Tästä aaltofunktiosta voidaan sitten laskea haluttuja suureita. Aaltofunktio ei yleensä pysy vakiona ajan kuluessa, ja sen aikakehityksen antaa Schrödingerin yhtälö. Tuota yhtälöä ei käsittääkseni voi johtaa mistään, vaan se on postulaatti. Sitä voi toki perustella klassisen mekaniikan kautta, mutta pätevä johtaminen se ei ole.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26870
Liittynyt16.3.2005

Tuo on valtavan laaja aihepiiri. Quantum kertoi oleelliset asiat pähkinänkuoressa. Kovin syvällinen kvanttimekaniikan peruskurssi ei onnistu tällaisen palstan puitteissa, mutta alalta on olemassa hyviä oppikirjoja. Ne kyllä yleensä vaativat selvästi yli lukiotason matemaattista pohjaa.

Vierailija
4smith4
Voisiko joku selittää minulle mitä Schrödingerin yhtälö todella tarkoittaa ja johtaa sen minulle matemaattisesti tai antaa neuvoja sen johtamiseen?

Kiinnostaisi ottaa seuraava askel ja ymmärtää kvanttimekaniikkaa oikeasti.





no jos aattelet miten reagoi aalto mäntäpuristimessa puristumiseen, niin siitähän jo
jonkinlainen Schrödingerin yhtälö syntyy

aalto voisi olla vaikka valoaalto, jolla energia on verrannollinen taajuuteen

Vierailija
4smith4
Voisiko joku selittää minulle mitä Schrödingerin yhtälö todella tarkoittaa ja johtaa sen minulle matemaattisesti tai antaa neuvoja sen johtamiseen?

Kiinnostaisi ottaa seuraava askel ja ymmärtää kvanttimekaniikkaa oikeasti.


Kuten sanottua, kysymyksesi ei ole mikään helppo. Itse tyytyisin alkuvaiheessa hyväksymään Schrödingerin yhtälön postulaattina, joka kuvaa aaltofunktion aikakehitystä, ja myöhemmin kun olet nähnyt kuinka yhtälö toimii eri tilanteissa, voit palata kysymykseen siitä mitä se tarkoittaa.

Seuraava menee varmasti liian tekniseksi, mutta kerron kuitenkin, koska itsekin olen alkanut kiinnostua kyseisestä aiheesta vasta viime aikoina. Älä huolestu vaikka osa käsitteistä on varmasti vielä varsin epäselviä; asiat selkiytyvät sitten myöhemmin.

Kvanttimekaniikassa kvanttitila on "vektori" ψ(t), joka riippuu vain ajasta. Perusoletus on, että on olemassa operaattorit, jotka muuttavat kvanttitilaa Galilei-muunnosten hengessä. Esimerkiksi osoittautuu, että klassinen Hamiltonin operaattori H siirtää tilaa ajassa ja liikemääräoperaattori p luo translaatioita paikan suhteen. Hamiltonin operaattorin voit ajatella olevan vain systeemin kokonaisenergia, esimerkiksi yhdessä ulottuvuudessa liikkuvalle hiukkaselle H=p²/2m+V(x) (klassisessa mekaniikassa liikemäärä on mukavampi suure kuin nopeus). Kvanttitilan liikeyhtälöksi saadaan lopulta

H ψ(t) = i dψ(t)/dt.

Yhtälö on tavallaan varsin luonnollinen: jos energia H=0, dψ/dt=0 eli tila ei muutu lainkaan. Siis jos jokin systeemissä muuttuu, täytyy olla energiaa.

Seuraavaksi haluamme esittää tämän yhtälön paikkaesityksessä, joka on kvanttitilan projektio paikkaoperaattorin ominaistiloille. Noh, siitä että liikemääräoperaattori luo translaatioita paikan suhteen, seuraa lopulta että paikkaesityksessä p=id/dx, eli liikemääräoperaattori vastaa derivaattaa. Paikkaoperaattori x vastaa yksinkertaisesti x:llä kertomista. Siispä liikeyhtälö on yhdessä ulottuvuudessa liikkuvalle hiukkaselle

-1/2m*d²ψ(x,t/dx²+V(x)ψ(x,t)=i dψ(x,t)/dt.

Tämä on Schrödingerin aaltoyhtälö, kun (redusoitu) Planckin vakio on asetettu ykköseksi.

Uusimmat

Suosituimmat