Ilkeän integraalin tarkka arvo hukassa.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Seuraavaa on vaihtelevalla aktiivisuudella tullut mietittyä viime vuosina.

Funktion e^(-x^2) integraalifunktiota ei tietääkseni voi kirjoittaa alkeisfunktioiden avulla. Silti sen määrätyn integraalin miinus-äärettömästä äärettömään voidaan osoittaa olevan tasan sqrt(pii). Todistuksen löytää esimerkiksi Solmun numerosta 1/2006 ( http://solmu.math.helsinki.fi/2006/1/).

Funktio e^(x^2) on toinen klassinen esimerkki funktiosta, jonka integraalifunktiota ei voi esittää vain alkeisfunktioin. Voisiko tämän funktion integraalille 0:sta 1:een sitten kumminkin laskea tarkan arvon jollain ovelalla konstilla? Miten? Mikä on tämä tarkka arvo? Tai miksi ei voi?

Kommentit (14)

Vierailija
Puuhikki
Kyseisen integraalin arvo on reaaliluku, joten sen arvo on tarkka. Ymmärsinköhän kysymyksen oikein?



Taisin tosiaan kysyä epäselvästi. Tarkoitin samaa, kuin tarkoitetaan pyydettäessä lukiolaiselta laskun vastauksen tarkkaa arvoa. Siis:

Ilmoita integraalin \int_0^1 e^{x^2} dx arvo äärellisenä lausekkeena, joka koostuu vain trigonometrisille funktioille, logaritmeille ja potenssiinkorotukselle sekä näiden käänteisfunktioille sovituista merkinnöistä, peruslaskutoimitusmerkeistä ja numeroista.

Tämähän voi ihan hyvin olla mahdoton tehtävä. Jos mahdottomuus on osoitettu jossain, olisin kiinnostunut näkemään todistuksen.

Aiheesta tuli jonkin verran keskustelua sfnet.tiede.matematiikassa, jos jotakuta kiinnostaa.

Vierailija

Sarjamuotoista ratkaisua ei kai hyväksytä?

Silloinhan tuo olisi Int(SUMMA(1/k!*x^(2k),k=0..ääretön), x=0..1) eli

SUMMA( 1/(2k+1)*1/k!, k=0..ääretön),

jota ei ilmeisestikään pysty esittämään vastaavalla tavalla kuin toisen esimerkki integraalin arvoa vaikka summa selvästi suppeneekin.

Edit: Niin tosiaan, auki kirjoitettunahan tuo ei ole äärellinen lauseke.

Vierailija

Tämän voi laskea aivan samalla tavalla tekemällä huijauksen kaksi ulotteiseksi integraaliksi ja tästä napakoordinaatteihin. Vastaukseksi tulee ehkä sqrt(pi(e-1)).

Eli siis tarkemmin int[plaaplaa]=sqrt(int[plaaplaa]*int[plaaplaa]).

Vierailija
Anthrax
Tämän voi laskea aivan samalla tavalla tekemällä huijauksen kaksi ulotteiseksi integraaliksi ja tästä napakoordinaatteihin. Vastaukseksi tulee ehkä sqrt(pi(e-1)).



Ei napakoordinaattimuunnos nyt toimi, kun kaksiulotteisen integraalin integrointialue on neliö. Eikä ole kyllä tarjottu vastauskaan valitettavasti edes oikeaa suuruusluokkaa.

Vierailija

Kysymys lienee samaa luokkaa kuin tarkka arvo ympyrän kehän ja halkaisijan suhteelle.
Samantien voi antaa tarkan arvon pienimmälle positiiviselle luvulle.

Vierailija
praktis

Samantien voi antaa tarkan arvon pienimmälle positiiviselle luvulle.

Juuh, se on luku joka nojaa nollaan plussan puolella.

Vierailija
Samuli
Anthrax
Tämän voi laskea aivan samalla tavalla tekemällä huijauksen kaksi ulotteiseksi integraaliksi ja tästä napakoordinaatteihin. Vastaukseksi tulee ehkä sqrt(pi(e-1)).



Ei napakoordinaattimuunnos nyt toimi, kun kaksiulotteisen integraalin integrointialue on neliö. Eikä ole kyllä tarjottu vastauskaan valitettavasti edes oikeaa suuruusluokkaa.



Jep näinhän se meneekin. Hyvä, että huomasit.
Suuruusluokkahan tuossa on ihan hyvä .

Vierailija
praktis
Kysymys lienee samaa luokkaa kuin tarkka arvo ympyrän kehän ja halkaisijan suhteelle.
Samantien voi antaa tarkan arvon pienimmälle positiiviselle luvulle.



Eivät nämä kysymykset minusta niin kovin samanlaisia ole. Ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on tarkalleen 2arcsin(1), pienintä positiivista reaalilukua taas ei ole olemassa. Sen sijaan tuolle hankalalle integraalille ei vielä tunnu löytyvän mitään itsestäänselvää ratkaisua.

Voi olla, että ratkaisua ei olekaan, mutta tällöin haluaisin todistusviitteen.

Sivumennen: tietääkö muuten joku, onko tuon integraalin arvo ehkä rationaalinen?

Vierailija
Samuli

Sivumennen: tietääkö muuten joku, onko tuon integraalin arvo ehkä rationaalinen?



Ajatteleppa, että viimeinen e^x² arvo tuolla suljetulla välillä on e^1.

Vierailija
Anthrax
Ajatteleppa, että viimeinen e^x² arvo tuolla suljetulla välillä on e^1.



Nyt en hoksaa, mitä tarkoitat. Selventäisitkö hieman? Kiitos!

Vierailija
Samuli
Anthrax
Ajatteleppa, että viimeinen e^x² arvo tuolla suljetulla välillä on e^1.



Nyt en hoksaa, mitä tarkoitat. Selventäisitkö hieman? Kiitos!



Tarkoitin sitä, että jos lähestyt asiaa ihan perusmatikalla Riemannin integraalin kautta, eli summaat niitä pinta-alan palasia, joiden leveys lähestyy nollaa, niin viimeisen palasen pinta-ala lähestyy e^1*dx:ää.

Tarkemmin miettien asia ei olekaan näin yksinkertainen, sillä vaikka e^rationaaliluku on irrationaalinen ja irrationaaliluku + rationaaliluku on irrationaalinen, ei irrationaalilukujen summa ole välttämättä irrationaalinen.

muoks. Eli vastaus kysymykseen on hyvin vahva ehkä .

Uusimmat

Suosituimmat