Nopanheiton odotusarvojen laskemisesta

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Terve!
Tuossa viime viikonloppuna olin kavereiden kanssa pelailemassa, ja siitä jäi tämänkaltainen ongelma kaivelemaan mieltä: Heitetään kahta noppaa, ja valitaan aina isompi. Mikä on nopanheiton odotusarvo?.
Lukion matematiikankurseeista on niin pitkä aika, ettei minulla ole minkäänlaista käsitystä kuinka tälläistä tilannetta pitäisi alkaa ratkaisemaan. Järkeilemällä että jos heitettäisiin esim. tuhatta noppaa ja valittaisiin isoin, olisi odotusarvo erittäin lähellä kuutta (5.999...), joten kahden nopan tapauksessa odotusarvo olisi varmaankin 4-5 välillä. Yhtä kaikki, olisi kiva jos tietäisi miten näitä muodollisesti lasketaan.
p.s. Kun en tätä osannut laskea, kokeilin tietysti ratkaista ongelman empiirisesti heittämällä noppaa. 50 heiton keskiarvo oli n. 4.1, joten taidan olla oikeilla jäljillä.

Kommentit (3)

xyzzy
Seuraa 
Viestejä72
Liittynyt1.11.2007

Helpoin tapa on:
- luetteloi kaikki kahden nopan tulokset
1 1
1 2
1 3
...
1 2
2 3
....

Merkkaa siihen viereen vaikka 1/36*suurempi luku ja lasket sen

eli 1 3 = 3*36 = 1/11
Summaa näin saadut luvut yhteen.

Humaa että 1 3 ja 3 1 ovat erillisiä tuloksia (voit tietysta laskea sen vain kerran ja laittaa 1/18 kertoimeksi)

Vierailija
mcgyver1
äkkiseltään laskettuna tulee 4.0555556.....onkohan oikein?



Sain 4,47222...

Kehittelin tuohon kaavankin:
x=(y^n-(y-1)^n)/6^n
jossa,
n=noppien määrä
y=haluttu heittokierroksen tulos
x=kyseisen tuloksen todennäköisyys

2 nopalla todennäköisyydet tuloksille:
6 = 0,3055...
5 = 0,25
4 = 0,1944...
3 = 0,1388...
2 = 0,0833...
1 = 0,0277...

Vastaavasti 100 nopalla (1000:lla ei Excel osannut laskea)
6=0,999999988
5=1,20747E-08
4=2,45965E-18
3=7,88861E-31
2=1,94033E-48
1=1,53065E-78

Jos tuosta haluaa laskea keskiarvon tulokselle, tarvitsee vain kertoa halutut tulokset (1-6) niiden todennäköisyyksillä ja laskea yhteen:
6 * 0,3055... + 5 * 0,25 + 4 * 0,1944... + 3 * 0,1388... + 2 * 0,0833... + 1 * 0,0277... = 4,4722...

Uusimmat

Suosituimmat