Todista, että 5x^4 + x^2 + 2>5x ;-)

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tämmöistä verryttelyä olisi tällä kertaa.

Eli

Todista, että 5x^4 + x^2 + 2>5x

Sivut

Kommentit (32)

Vierailija
lasikatto
Tämmöistä verryttelyä olisi tällä kertaa.

Eli

Todista, että 5x^4 + x^2 + 2>5x





Äkkiä kirjoja muistelemalla tää on melkein helppo. Ei ole kuin yksi tuntematon??

Vierailija
lasikatto
Tämmöistä verryttelyä olisi tällä kertaa.

Eli

Todista, että 5x^4 + x^2 + 2>5x




Öh, tuo viimeinen +2 takaa sen että vaikka x=0 tai 1 tulee siitä silti suurempi kuin 5X. Parilliset potenssit takaa että niiden tulos on aina positiivinen vaikka x < 0. Ja jos X >= 2 niin tuossa on jo potenssia enemmän kuin viagra antaa, verrattuna kertolaskuun.

Vierailija
lasikatto
Tämmöistä verryttelyä olisi tällä kertaa.

Eli

Todista, että 5x^4 + x^2 + 2>5x




Kun x on mikä tahansa reaaliluku?

Vierailija
OzziXX
lasikatto
Tämmöistä verryttelyä olisi tällä kertaa.

Eli

Todista, että 5x^4 + x^2 + 2>5x




Öh, tuo viimeinen +2 takaa sen että vaikka x=0 tai 1 tulee siitä silti suurempi kuin 5X. Parilliset potenssit takaa että niiden tulos on aina positiivinen vaikka x < 0. Ja jos X >= 2 niin tuossa on jo potenssia enemmän kuin viagra antaa, verrattuna kertolaskuun.

Kuulostaa aika matemaattisesti eksaktilta todistukselta.

Vierailija

Täytyy myöntää etten tuota osaa suoralta kädeltä todistaa, mutta se alue mikä on kiinnostava on 0,4 < x < 1. OzziXX on kyllä oikeilla jäljillä, ei siinä mitään.

edit. tyhmä oon. Siirrä 5x toiselle puolelle yhtälöä ja derivoi. Tarkastele nollakohtia. Tuon pitäisi riittää. En tosin nyt ehdi/jaksa tarkastaa.

edit2. irrationaalinen juuri aiheuttaa ongelmia, mutta se kiinnostava alue taitaapi olla 0,57-0,58

Vierailija

En viitsinytkään muokata edellistä viestiä.

w = (1/8 + sqrt(3383 / 216000)) ^ (1/3)
p = 1/4

x_min = w - p / (3w) = 0.57718...

f_min = f(x_min) = 0.002137...

Derivaatan kulkukaaviosta jne. päätellään, että tuo on f:n globaali minimi, eli f(x) > 0, kun x kuuluu R.

Vierailija
lasikatto
Todista, että 5x^4 + x^2 + 2>5x



Kiitos vain, en ole saanut tätä ongelmaa mielestäni koko päivänä. No, keksin viimein todistuksen, jossa ei tarvitse ratkaista kolmannen asteen yhtälöä. Aika rohmu tuosta osoituksesta tuli, eli ei kovin elegantti, mutta ehkä jotakuta silti kiinnostaa. Näin se menee (ja mahdollisista virheistä saa mainita):

On helppoa osoittaa, että väite pätee, kun x < 0 tai x = 0. Oletetaan siis seuraavassa, että x > 0.

Pyöräytetään käyrät y = 5x^4 + x^2 + 2 ja y = 5x molemmat x-akselin ympäri ja tarkastellaan mielivaltaiselle välille [0, x] rajoittuvaa pinta-alaa. Jos neljännen asteen käyrän pyörähtäessä muodostuva tilavuus V_1 on suurempi kuin suoran pyörähtäessä muodostuva tilavuus V_2, niin pienempi kappale jää vaippoineen kokonaan suuremman sisään. Tästä seuraa alkuperäinen väite, joten riittää siis osoittaa, että V_1 > V_2.

Integroimalla saadaan

V_1 = pii * (21/5 x^5 + 4/3 x^3 + 4x + korkeamman asteen termejä),

V_2 = pii * 25/3 x^3.

Koska x > 0, riittää väitteen V_1 > V_2 osoittamiseksi näyttää, että 21/5 x^5 + 4/3 x^3 + 4x > 25/3 x^3. Tämän väite-epäyhtälön saa muotoon

x(21x^4 - 35x^2 + 20) > 0.

Sulkeissa oleva neljännen asteen polynomi on kaikkialla aidosti positiivinen, joten epäyhtälö on identtisesti tosi. Siis V_1 > V_2, ja alkuperäinen väite pätee.

Edit: Öh. Eihän tämä toimikaan: ei tilavuuksien suuruusjärjestyksestä voi päätellä, että pienempi kappale on suuremman sisällä. Täytyy miettiä lisää.

tli
Seuraa 
Viestejä1057
Liittynyt11.11.2005
msdos464

x_min = w - p / (3w) = 0.57718...

f_min = f(x_min) = 0.002137...

Derivaatan kulkukaaviosta jne. päätellään, että tuo on f:n globaali minimi, eli f(x) > 0, kun x kuuluu R.




Sain aivan samat tulokset ratkaisemalla 1. derivaatan juuret, jolloin saadaan funktion ääriarvot. Koska noita reaalijuuria oli vain yksi eli tuo 0.57718..., niin eikö jo se merkitse, että kyseessä on globaali ääriarvo. Eli tutkittavaksi jää enään, onko se funktion minimi vai maksimi.

Vanhalla yksinkertaisella konstilla laskin derivaatan arvot ääriarvopisteen molemmilta puolilta:

D(0,5) = -1,5
D(0,6) = 0,52

Tämähän osoittaa ääriarvopisteen olevan minimi, mikä riittää todistamaan, että f(x) > 0 kaikilla x kuuluu R.

Tein vielä asian havainnollistamiseksi kuvion itse funktiosta:

Vierailija
tli
msdos464

x_min = w - p / (3w) = 0.57718...

f_min = f(x_min) = 0.002137...

Derivaatan kulkukaaviosta jne. päätellään, että tuo on f:n globaali minimi, eli f(x) > 0, kun x kuuluu R.




Sain aivan samat tulokset ratkaisemalla 1. derivaatan juuret, jolloin saadaan funktion ääriarvot. Koska noita reaalijuuria oli vain yksi eli tuo 0.57718..., niin eikö jo se merkitse, että kyseessä on globaali ääriarvo. Eli tutkittavaksi jää enään, onko se funktion minimi vai maksimi.



Ongelmana oli tosiaan ainoastaan tuon juuren ratkaiseminen ilman numeerisia menetelmiä. Tietysti olisi mukavaa jos tämän voisi ratkaista lukiotiedoilla.

Vierailija

Ensinnäkin jos funktion derivaatalla on vain yksi nollakohta se ei itsessään merkitse sitä, että kyseessä on globaali ääriarvo.

f(x) = x^3 -> f'(x) = 3x^2 = 0 joss x = 0. Siltikään f(0) = 0 ei tietenkään ole mikään globaali ääriarvo. Toisekeen täsmällisessä todistuksessa ei riitä, että funktion derivaatan nollakohta saadaan x:n arvolla 0.57718..., se ei ole mikään tarkka arvo.

Minimin olemassaolo ei tietenkään riitä todistamaan, että f(x)>0 kaikilla x kuuluu R, siihen tarvitaan myös f(minimi) > 0 ja funktion jatkuvuus R:ssä, mutta sen varmaan jo tiesitkin.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat