Mikä on sarjan raja-arvo?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olen tässä yrittänyt miettiä mihin seuraava sarja suppenee:

tan^-1 (1/1) + tan^-1 (1/2) + tan^-1 (1/3) + tan^-1 (1/4) + tan^-1 (1/5) + ...

Oma veikkaukseni on 360 astetta, mutta minulla ei ole mitään hajua miten tuo lasketaan.

Kommentit (8)

Vierailija
Numerator
Olen tässä yrittänyt miettiä mihin seuraava sarja suppenee:

tan^-1 (1/1) + tan^-1 (1/2) + tan^-1 (1/3) + tan^-1 (1/4) + tan^-1 (1/5) + ...

Oma veikkaukseni on 360 astetta, mutta minulla ei ole mitään hajua miten tuo lasketaan.




Lähtisin liikkeelle vertaamalla termejä sarjaan SIGMA(1/x, x=1..inf)
joka on tunnetusti hajaantuva sarja.

Lasketaan termien suhde arctan(1/x):(1/x), kun x->inf

L`Hospitaalin säännöllä suhde saa muodon

-1/(1+x^2):(-1/x^2) = 1/(1+1/x^2) -> 1, kun x->inf

Voipa olla, että ei vielä riitä mutta onpahan pohjaa jatkolaskuille,
jos ei muuta.

Eli ylläolevan tarkastelun perusteella summa ->ääretöntä

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Kyllä tuo Lasikaton todistus vaikuttaa pätevältä. Siinä on näköjään käytetty seuraavaa lausetta:

Olkoon a_n,b_n>0 lukujonoja, jolle lim_{n->ääretön}a_n/b_n=c, c ei kuulu joukkoon {0,ääretön}. Tällöin sarja
a_1+a_2+...
suppenee, jos ja vain jos sarja
b_1+b_2+...
suppenee.

Vierailija
Puuhikki
Kyllä tuo Lasikaton todistus vaikuttaa pätevältä. Siinä on näköjään käytetty seuraavaa lausetta:

Olkoon a_n,b_n>0 lukujonoja, jolle lim_{n->ääretön}a_n/b_n=c, c ei kuulu joukkoon {0,ääretön}. Tällöin sarja
a_1+a_2+...
suppenee, jos ja vain jos sarja
b_1+b_2+...
suppenee.




Joo tuota lausettahan minä...

Tuli mieleen toinenkin mahdollisuus eli arcustangentin
sarjakehitelmän käyttö.

Eli jos oletetaan tunnetuksi sarjakehitelmä

arctan(x)=x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+-......

Jolloin voidaan kirjoittaa alkuperäinen summa termeittäin

S(1/x,x=1...inf)-1/3S(1/x^3,x=1..inf)+-......

josta selvästi huomataan (osoittakoon ken jaksaa), että
muiden termien paitsi S(1/x,x=1..inf) summa suppenee kohti äärellistä reaalilukua.

Eli tarkasteltavaksi koko summan suppenemisen suhteen jää summa

1/1+1/2+1/3+1/4+..... ja tämähän "tunnetusti" hajaantuu.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
lasikatto
Eli jos oletetaan tunnetuksi sarjakehitelmä

arctan(x)=x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+-......

Jolloin voidaan kirjoittaa alkuperäinen summa termeittäin

S(1/x,x=1...inf)-1/3S(1/x^3,x=1..inf)+-......


En kyllä näe, miksi summa S(1/x,x=1...inf)-1/3S(1/x^3,x=1..inf)+-...... on sama kuin yllä oleva arkustangenttien sarja. Muotoa S(1/x^n,x=1..inf) olevat sarjat ovat Riemannin zeta-funktion arvoja, mutta eipä ole tullut vastaan, että zeta-funktiosta muodostettu sarja olisi sama kuin arkustangentin muodostama sarja.

Vierailija

Sarjat eivät ole samat mutta lähestyvät toisiaan kun x lähestyy ääretöntä. Sarjan ensimmäiset termit ovat eriarvoiset mutta koska molempien summa lähestyy ääretöntä on summatkin samat. Arctan(1/x) lähestyy 1/x:ää kun x lähestyy ääretöntä.

Vierailija
Puuhikki
lasikatto
Eli jos oletetaan tunnetuksi sarjakehitelmä

arctan(x)=x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+-......

Jolloin voidaan kirjoittaa alkuperäinen summa termeittäin

S(1/x,x=1...inf)-1/3S(1/x^3,x=1..inf)+-......


En kyllä näe, miksi summa S(1/x,x=1...inf)-1/3S(1/x^3,x=1..inf)+-...... on sama kuin yllä oleva arkustangenttien sarja. Muotoa S(1/x^n,x=1..inf) olevat sarjat ovat Riemannin zeta-funktion arvoja, mutta eipä ole tullut vastaan, että zeta-funktiosta muodostettu sarja olisi sama kuin arkustangentin muodostama sarja.



Jos alkuperäisen sarjan kirjoittaa termeittäin eli

arctan(1) = 1-1/3+1/5-+.....

arctan(1/2)= 1/2-1/3(1/2)^3+1/5(1/2)^5-+.....

arctan(1/3)= 1/3-1/3(1/3)^3+1/5(1/3)^5-+......

.............................................................

arctan(1/n)= 1/n-1/3(1/n)^3+1/5(1/n)^5-+........
.
.
.
.

ja laskee sitten pystysarakkeittain yhteen, niin saadaan

S=S(1/x)-1/3S((1/x)^3)+1/5S(1/x^5)-+.......

Eli R(1)-1/3R(3)+1/5R(5)-+.....

Ehkä ilmaisumenetelmäni eivät ole nyt tarpeeksi eksakteja
mutta kyllä tuo näyttäisi noin menevän? Tosin vaikka R(1)
vastaa harmoonista sarjaa joka hajaantuu, niin enpä tiedä
käykö tuo loppusumma todistuksesta kuitenkaan, koska siinä
on noita eri etumerkkejä.

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

Tangentilla ja Bernoullin luvuillahan oli jokin yhteys?

Vierailija
Puuhikki
Tuossa pitäisi vielä osoittaa, että sarja -1/3zeta(3)+1/5zeta(5)-1/7zeta(7)... suppenee.



No näin on ja siihen viittasinkin.

Tosin vaikka R(1) vastaa harmoonista sarjaa joka hajaantuu,
niin enpä tiedä käykö tuo loppusumma todistuksesta
kuitenkaan, koska siinä on noita eri etumerkkejä.



Eli ei onnistunut tuo todistus mutta onneksi se alkuperäinen
eri menetelmä taisi toimia.

Uusimmat

Suosituimmat