1/i

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eli siis kompleksilukuja täs pitäis pyöritellä. Eli mitä kyseinen 1/i on. Itse veikkaisin i:itä, koska

1/i=(1/-1)^1/2=(-1)^(1/2)=i

Meneeköhän se näin.

Kommentit (13)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Ei. Kokeile laventaa jollakin sopivalla kompleksiluvulla. Noissa juuriasioissa kannattaa olla tarkkana.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Juu. Tässä muutama esimerkki varomattomasta juuren käytöstä kompleksialueella:
http://hikipedia.info/wiki/Hikikirjasto ... tematiikka

Pitää muistaa, että yhtälölle z² = a, (a jokin kompleksiluku) voi löytyä kaksi ratkaisua. Siksi tuota yhtälöä ei voi täysin samaistaa yhtälöön z=√a

Murtolausekkeissa usein käyttökelpoinen keino on laventaminen.

esim. (1+i)/(1+2i) = (1-2i)(1+i)/[(1-2i)(1+2i)],

josta tuo nimittäjä on helppo nähdä olevan reaaliluku 5
ja osoittajaksi tulee 3-i, eli tuo luku on 3/5-1/5*i (suoralla laskulla)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
korant
Olempa jokus piruuttani kysellyt että minkä luvun käänteisarvo ja vastaluku ovat samat.

No ratkaistaan nyt sitten "mieliksesi":

-x=1/x
-x^2=1
x^2=-1
x=+/-sqrt(-1)=>
x1=-i
x2=+i

Vierailija
suolaasuolaa
Se on käänteisluku eikä käänteisarvo.

Sama asia. Käytin arvoa jottei sanaa luku tulisi toistettua liikaa.
David

No ratkaistaan nyt sitten "mieliksesi":

Joo, helppo matemaattinen ratkaisu mutta kun sen kysyy noin töksäyttämällä saapi yleensä hieman ihmetellä mikä se voisi olla.

Vierailija
korant
Olempa jokus piruuttani kysellyt että minkä luvun käänteisarvo ja vastaluku ovat samat.



Minäkin olen joskus lapsukaisilta kysellyt, että mitäs on i^i.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
kurnimaha

Minäkin olen joskus lapsukaisilta kysellyt, että mitäs on i^i.



Minkäs ikäisiä ne lapsukaiset oikein olivat? Tuohan muuttuu melko triviaaliksi, kun ottaa eksponenttiesityksen käyttöön. Muuten ehkä aiheuttaa päänvaivaa enemmän.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
kurnimaha

Minäkin olen joskus lapsukaisilta kysellyt, että mitäs on i^i.



Minkäs ikäisiä ne lapsukaiset oikein olivat? Tuohan muuttuu melko triviaaliksi, kun ottaa eksponenttiesityksen käyttöön. Muuten ehkä aiheuttaa päänvaivaa enemmän.

Niin, siis sijoittaa e^(i pi/2) ekan i:n paikalle ==> i^i = e^(-pi/2). Löytyiskö muita ratkaisuvaihtoehtoja?

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Tigeri
Löytyiskö muita ratkaisuvaihtoehtoja?



Tulee mieleen vielä toinen suunnilleen yhtä luonteva lähestymistapa:

muistetaan, että z^a = e^(a*ln(z))

eli i^i = e^(i*ln(i))

jossa

ln(i) = ln|i| + i*arg(i) = ln(1) + i*pi/2

=> e^(i*ln(i)) = e^(i*ln(1) - pi/2) = e^(ln(1^i))*e^(-pi/2)
=e^(ln(1))*e^(-pi/2) = e^(-pi/2)

Erona tässä on, että eksponenttiesitystä ei tarvinnut tuntea, mutta napakoordinaattiesitys kylläkin, jotta tietää mikä on arg(i). (ja lisäksi muita laskusääntöjä)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
Tigeri
Löytyiskö muita ratkaisuvaihtoehtoja?



Tulee mieleen vielä toinen suunnilleen yhtä luonteva lähestymistapa:

muistetaan, että z^a = e^(a*ln(z))

eli i^i = e^(i*ln(i))

jossa

ln(i) = ln|i| + i*arg(i) = ln(1) + i*pi/2

=> e^(i*ln(i)) = e^(i*ln(1) - pi/2) = e^(ln(1^i))*e^(-pi/2)
=e^(ln(1))*e^(-pi/2) = e^(-pi/2)

Erona tässä on, että eksponenttiesitystä ei tarvinnut tuntea, mutta napakoordinaattiesitys kylläkin, jotta tietää mikä on arg(i). (ja lisäksi muita laskusääntöjä)




Vielä pitäisi huomioida jaksollisuus, jolloin saadaankin
ääretön määrä eri arvoja.

http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
lasikatto
Vielä pitäisi huomioida jaksollisuus, jolloin saadaankin
ääretön määrä eri arvoja.



Niin, jos viilataan pilkkua, niin tuon äskeisen viestin ln(i) kohtaan pitäisi merkitä se, että logaritmifunktio saa äärettömän monta arvoa. Mutta jätin merkitsemättä, koska tuossa lopussa se jaksollisuus tipahtaa pois. (monessa tapauksessa niitä ei saa jättää pois, esimerkiksi jo se kohotetaan johonkin potenssiin)

(edit: ja tässäkään ei saa!!! )

Eli kompleksiluvuilla on napakoordinaattiesityksessä tai eksponenttiesityksessä äärettömän monta esitystä, mutta niillä on kaikilla sama arvo! Eli on se i^i ihan yksikäsitteinen kompleksiluku.

Edit: hetkonen siis puhuin puutaheinää, edellinen pitäisi paikkaansa, jos jakso olisi i*2*pi*n. Sorry, jääköön viesti virheineen päivineen.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Uusimmat

Suosituimmat