Käänteisfunkion merkintätapa

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Miksiköhän käänteisfunktion merkintä on menty tekemään niin harhaanjohtavaksi, juniorilla oli ongelmia sisäistää käänteisfunktio, enkä ihmettele.

Yksinkertaisesta asiasta oli luokion matematiikan kirjassa tehty jumalattoman vaikeaselkoinen = abstraktinen sepustus ja merkintätapakin on niin harhaanjohtava kuin se vain olla voi.

Luulisi että f^-1*f=1, mutta eipä tietenkään, f^-1 onkin vain käänteisfunktion merkintätapa. Eikö siihen nyt olisi voinut ottaa merkintätavaksi vaikkapa fr eli f alaindeksi r.

Toisekseen, en muutenkaan ymmärrä että lukiossa matikan opetus etenee latvasta maahan päin. Eli ensin on asian äärimmäisen vaikeaselkoinen abstrakti esitys ja vasta sitten edetään konkreettisempaan suuntaan. Siinähän oppilas putoaa kyydistä jo heti kättelyssä ja varsinaisen asian sisäistäminen jää hyvin heikoksi.

Muutenkin nuo matemaattiset määritelmät perustuvat nykyään joukko-oppiin, joka ainakin tällaiselle vanhalle jäärälle aiheuttaa pientä treenin tarvetta.

Enpä ihmettele, jos matematiikan osaamisen taso on heikentynyt niinkin voimakkaasti, mitä olen saanut yliopistoproffalta kuulla. Tuollaiset abstarktiot tappavat mielenkiinnon tosi nopeasti.

Sivut

Kommentit (31)

Vierailija

Kuuluu kai sarjaan kieliopilliset tottumukset joita ei voi korjata. Monissa laskimissa käytetään käänteisen toiminnan ilmaisuun tuota -1-potenssia joka siis oikeasti tarkoittaa käänteisarvoa. Käänteisfunktio pitäisi kai selittää niin, että se on alkuperäisen funktion peruutus eli kun funktiosta otetaan käänteisfunktio tullaan takaisin lähtöruutuun. Tosin tulos voi olla toiseen suuntaan monikäsitteinen kuten esim. tan ja arctan (laskimissa tan^-1)

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
David

Luulisi että f^-1*f=1, mutta eipä tietenkään, f^-1 onkin vain käänteisfunktion merkintätapa.



Kyllä tuo pitää paikkaansa, mikäli *-operaatiolla tarkoitetaan yhdistettyä funktiota ja ykkösellä identiteettifunktiota.

(f^-1*f)(x) = f^-1(f(x)) = x = 1*x ==> f^-1*f = 1

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
David

Luulisi että f^-1*f=1, mutta eipä tietenkään, f^-1 onkin vain käänteisfunktion merkintätapa.



Kyllä tuo pitää paikkaansa, mikäli *-operaatiolla tarkoitetaan yhdistettyä funktiota ja ykkösellä identiteettifunktiota.

(f^-1*f)(x) = f^-1(f(x)) = x = 1*x ==> f^-1*f = 1


Tuossa alkuperäiesityksessä tähdellä tarkoitettiin toki vain normaalia kertolaskua. Identiteettifunktio, jos nyt oikein tulkitsin, on y=x jonka kulmakerroin eli derivaatta toki on aina positiivisella alueella 1.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
David
Toisekseen, en muutenkaan ymmärrä että lukiossa matikan opetus etenee latvasta maahan päin. Eli ensin on asian äärimmäisen vaikeaselkoinen abstrakti esitys ja vasta sitten edetään konkreettisempaan suuntaan. Siinähän oppilas putoaa kyydistä jo heti kättelyssä ja varsinaisen asian sisäistäminen jää hyvin heikoksi.



Matematiikkaa tosiaan opetetaan monilla tasoilla noin. Se ei ehkä palvele varsinkaan sellaisia, joille matematiikka ei ole suurta herkkua. Hieman hankalaahan se abstraktien määritelmien mieltäminen on itse kullekin, ennen kuin niitä soveltaa johonkin. Se soveltaminen sitten opettaa hahmottamaan asiat. En kuitenkaan jättäisi niitä abstrakteja määritelmiä pois. Lopulta se kuitenkin auttaa käsittelemään asioita laajemmin kuin yksittäisissä tapauksissa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
bosoni
David
Toisekseen, en muutenkaan ymmärrä että lukiossa matikan opetus etenee latvasta maahan päin. Eli ensin on asian äärimmäisen vaikeaselkoinen abstrakti esitys ja vasta sitten edetään konkreettisempaan suuntaan. Siinähän oppilas putoaa kyydistä jo heti kättelyssä ja varsinaisen asian sisäistäminen jää hyvin heikoksi.



Matematiikkaa tosiaan opetetaan monilla tasoilla noin. Se ei ehkä palvele varsinkaan sellaisia, joille matematiikka ei ole suurta herkkua. Hieman hankalaahan se abstraktien määritelmien mieltäminen on itse kullekin, ennen kuin niitä soveltaa johonkin. Se soveltaminen sitten opettaa hahmottamaan asiat. En kuitenkaan jättäisi niitä abstrakteja määritelmiä pois. Lopulta se kuitenkin auttaa käsittelemään asioita laajemmin kuin yksittäisissä tapauksissa.

Ei tietenkään niitä pois pidä jättää, mutta tuo lähestymistapa pitäisi mielellään olla rakentuva, eli ensin yksinkertainen tilanteen hahmottaminen vaikkapa kuvaajilla ja sellainen esitys missä on kyseinen asia ns. yksinkertaistetussa muodossa. Periaatteessahan käänteisfunktio ja jopa sen derivaatan hyväksikäyttö ovat melko simppeleitä asioita.

Vierailija
David
Miksiköhän käänteisfunktion merkintä on menty tekemään niin harhaanjohtavaksi, juniorilla oli ongelmia sisäistää käänteisfunktio, enkä ihmettele.
Yksinkertaisesta asiasta oli luokion matematiikan kirjassa tehty jumalattoman vaikeaselkoinen = abstraktinen sepustus ja merkintätapakin on niin harhaanjohtava kuin se vain olla voi.

Luulisi että f^-1*f=1, mutta eipä tietenkään, f^-1 onkin vain käänteisfunktion merkintätapa. Eikö siihen nyt olisi voinut ottaa merkintätavaksi vaikkapa fr eli f alaindeksi r.




Niinpä. Kun vielä aletaan käyttää seuraavaa notaatiota (yleinen nykyään), niin perusteellinen soppa on kyllä valmis:

Olkoon f: A -> B funktio ja D < B (siis D on B:n osajoukko). Merkitään joukon D alkukuvaa A:ssa notaatiolla f^(-1) (D).

Tällä merkinnällä ei siis tarkoita käänteisfunktiota (sitä ei välttämättä ole edes olemassa).

David
Enpä ihmettele, jos matematiikan osaamisen taso on heikentynyt niinkin voimakkaasti, mitä olen saanut yliopistoproffalta kuulla. Tuollaiset abstarktiot tappavat mielenkiinnon tosi nopeasti.

Missä vaiheessa mielestäsi pitäisi alkaa opettaa todellista matematiikkaa tai antaa edes jonkinlainen ennakkokäsitys siitä, mitä se saattaisi olla, ellei sitten lukion pitkällä matematiikalla?

Sitä paitsi, jos tulokset perustellaan pelkästään intuitiolla niin äkkiä ollaan korvia myöten suossa. Ei tarvitse kamalasti matematiikkaa opiskella, että törmää tilanteisiin, joissa intuitio on väärässä. Toisekseen, jos täsmälliset määritelmät ja lauseet korvataan pelkällä käsien pyörittelyllä, menetetään teorian sovellettavuus. Toisin sanoen enää ei tiedetä, mistä seuraa mitäkin ja milloin mikäkin tulos on hyödynnettävissä. Pahimmillaan saatetaan jopa ottaa käyttöön uusia "tuloksia", jotka eivät edes ole tosia.

Abstraktia teoriaa matemaattisen osaamisen romahduksesta on kyllä turha syyttää. Jos vertaat esimerkiksi nykyisiä lukion geometrian kurssikirjoja vanhaan Väisälään tai 2000-luvun ylioppilastehtäviä 1960-luvun tehtäviin, niin teoreettinen romahdus on melkoinen. Tämä kurssisisältöjen karsiutuminen ei edes rajoitu pelkästään peruskoulu- ja lukiotasolle, vaan on arkipäivää myös korkeakouluissa. Välillä tuntuu, että yliopistoistakin valmistuu maistereita osaamatta juuri mitään, kun laitoksella ei ole varaa pitää vaatimustasoa liian korkealla. Jos ei tule tutkintoja, ei myöskään tule rahaa. Se on tätä tulosvastuuta.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
kurnimaha

David
Enpä ihmettele, jos matematiikan osaamisen taso on heikentynyt niinkin voimakkaasti, mitä olen saanut yliopistoproffalta kuulla. Tuollaiset abstarktiot tappavat mielenkiinnon tosi nopeasti.

Missä vaiheessa mielestäsi pitäisi alkaa opettaa todellista matematiikkaa tai antaa edes jonkinlainen ennakkokäsitys siitä, mitä se saattaisi olla, ellei sitten lukion pitkällä matematiikalla?

En toki tarkoittanut, etteikö niitä abstraktioina pidäkin tuoda viime kädessä esiin, se eteneminen vain on mielestäni väärin päin. Pitäisi edetä helposta vaikeaan, eikä tyrmätä opiskelijaa heti ensialkuun vaikeaselkoisilla käsitteillä.

kurnimaha
Sitä paitsi, jos tulokset perustellaan pelkästään intuitiolla niin äkkiä ollaan korvia myöten suossa.
Ei tarvitse kamalasti matematiikkaa opiskella, että törmää tilanteisiin, joissa intuitio on väärässä.

Ei kyse ollut mistään intuitiosta vaan peruslähtökohtien käsitelystä yksinkertaiset tapaukset ensin periaatteella. Muutenhan tuossa kritisoin vain merkintätapaa, en itse asiaa.

kurnimaha
Toisekseen, jos täsmälliset määritelmät ja lauseet korvataan pelkällä käsien pyörittelyllä, menetetään teorian sovellettavuus. Toisin sanoen enää ei tiedetä, mistä seuraa mitäkin ja milloin mikäkin tulos on hyödynnettävissä. Pahimmillaan saatetaan jopa ottaa käyttöön uusia "tuloksia", jotka eivät edes ole tosia.

Ei niitä tietenkään millään käsienpyörittelyllä pidä korvata, mutta yksikertaistetut esimerkit ja yksinkertaistetut merkinnät kertovat mistä on kysymys. Niiden päälle on opiskelijan opettajan avustamana helppo rakentaa ymmärryksensä yhä vaikeampien tehtävien hallitsemiseksi. Talo rakennetaan tiili tiileltä.

kurnimaha
Abstraktia teoriaa matemaattisen osaamisen romahduksesta on kyllä turha syyttää. Jos vertaat esimerkiksi nykyisiä lukion geometrian kurssikirjoja vanhaan Väisälään tai 2000-luvun ylioppilastehtäviä 1960-luvun tehtäviin, niin teoreettinen romahdus on melkoinen.

Ja minkähänlaisis merkintätapoja silloin suosittiin, edustan nimittäin itse tuota ikäpolvea, enkä muista omien opintojeni ajalta ymmärryksen suhteen ongelmia olleen, jos olikin niin selkeistä esimerkeistä asia viimeistään avautui. Nykyään esimerkit on laadittu kirjoissa niin oikomalla, että on vaikea saada kiinni mitä missäkin vaiheessa on tehty. Paperi on vissiin liian kallista.

kurnimaha
Tämä kurssisisältöjen karsiutuminen ei edes rajoitu pelkästään peruskoulu- ja lukiotasolle, vaan on arkipäivää myös korkeakouluissa. Välillä tuntuu, että yliopistoistakin valmistuu maistereita osaamatta juuri mitään, kun laitoksella ei ole varaa pitää vaatimustasoa liian korkealla. Jos ei tule tutkintoja, ei myöskään tule rahaa. Se on tätä tulosvastuuta.

No niin, tätähän juuri tähdensin, kun opiskelija putoaa kelkasta ja mielenkiinto osaamattomuuden myötä katoaa, niin lopputulos nähdään sitten yliopistoasteella.

En tiedä muista, mutta en minä ainakaan kykene pitämään päässäni vaikeaselkoisia liirum laarumeita, enkä usko että kukaan muu kuin joku hikipinko osaa ne ulkoa vaikka ei osaisikaan soveltaa oppejaan kuitenkaan käytännössä. Kun käsitteistä puuttuu konkretia, puuttuu koko tietämys. Selkäytimeen ei jää mitään ja myöhemmin kun sieltä löytyvää tietoa pitäisi kaivella niin sitä ei ole käytettävissä. Tiedot jäävät helposti irrallisiksi puuttuvan konkreettisuuden vuoksi.

Vierailija
Luulisi että f^-1*f=1, mutta eipä tietenkään, f^-1 onkin vain käänteisfunktion merkintätapa.



Käänteisfunktion merkintätapa saattaa hyvinkin olla aivan hirveä historiallinen kauhistus, mutta yo. virhetulkintaa sen perusteella ei silti voi tehdä. Mitenkään ei voi päteä f^(-1) * f = 1, sillä f on funktio ja 1 on luku, eikä funktioiden tulo voi olla luku. Jos tarkoitit, että [f(x)]^(-1) * f(x) = 1, niin tämähän on triviaalisti totta. Jos taas tarkoitit, että luulisi olevan f^(-1)(x) * f(x) = 1, niin mieti vielä.

Toisekseen, en muutenkaan ymmärrä että lukiossa matikan opetus etenee latvasta maahan päin. Eli ensin on asian äärimmäisen vaikeaselkoinen abstrakti esitys ja vasta sitten edetään konkreettisempaan suuntaan.

Kirja on kirja ja opetus on opetusta. Tunnilla voidaan aivan hyvin edetä kirjan esitysjärjestyksestä poiketen. Melkein aina tämä onkin järkevää. Kyllä se kirjatekstikin tietenkin voisi olla laadittu keskustelunomaiseksi, mutta se varmaankin heikentäisi kirjan käyttöä hakuteoksena.

Joka tapauksessa kirjan tulee olla faktojen suhteen pitävä, tai tulee noottia joiltakin käyttäjiltä. Matematiikassa faktojen pitävyyttä lienee vaikea toteuttaa antamatta eksakteja määritelmiä ja ehtoja.

Nykyään esimerkit on laadittu kirjoissa niin oikomalla, että on vaikea saada kiinni mitä missäkin vaiheessa on tehty.



Jos esimerkki on liian tiiviisti esitetty, opiskelija voi täydentää aukot itse. Tai sitten voi ottaa esimerkiksi Pyramidi-sarjan kirjan kouraansa ja lukea sieltä melkein läpilaskettuja hyviä esimerkkejä. Kirjasarjoissa on tyylieroja.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Samuli
Luulisi että f^-1*f=1, mutta eipä tietenkään, f^-1 onkin vain käänteisfunktion merkintätapa.

Käänteisfunktion merkintätapa saattaa hyvinkin olla aivan hirveä historiallinen kauhistus, mutta yo. virhetulkintaa sen perusteella ei silti voi tehdä. Mitenkään ei voi päteä f^(-1) * f = 1, sillä f on funktio ja 1 on luku, eikä funktioiden tulo voi olla luku. Jos tarkoitit, että [f(x)]^(-1) * f(x) = 1, niin tämähän on triviaalisti totta. Jos taas tarkoitit, että luulisi olevan f^(-1)(x) * f(x) = 1, niin mieti vielä.

Sitähän juuri tarkoitin, että mitenkään ei voi päteä, että f^(-1) * f = 1, kun esim. x^2*x^0.5=x^2.5 paitsi jos x sattuisi olemaan 1. Kyllä sen virhetulkinnan muuten voi ihan hyvin tehdä ja paljolti varmaan tehdäänkin, anteeksiantamaton virhehän se tietysti silloin on. Matematiikassa pitäisi kuitenkin merkintöjen osalta pyrkiä yksiselitteisyyteen.

Samuli
Kirja on kirja ja opetus on opetusta.

Ehei, kyllä kirjan pitää olla sellainen, ettei sen merkintöjä tarvitse ns. heprealähtöisesti tulkita.

Samuli
Tunnilla voidaan aivan hyvin edetä kirjan esitysjärjestyksestä poiketen. Melkein aina tämä onkin järkevää. Kyllä se kirjatekstikin tietenkin voisi olla laadittu keskustelunomaiseksi, mutta se varmaankin heikentäisi kirjan käyttöä hakuteoksena.

Opetuksen suhteen ei ole millään tavoin samalla lähtöviivalla. Opettajien välillä on niin suuria eroja, ettei oppimisprosessi saa jäädä opettajan varaan.

Samuli
Joka tapauksessa kirjan tulee olla faktojen suhteen pitävä, tai tulee noottia joiltakin käyttäjiltä. Matematiikassa faktojen pitävyyttä lienee vaikea toteuttaa antamatta eksakteja määritelmiä ja ehtoja.

Tottakai ne määritelmät on oltava, mutta mielellään siinä vaiheessa kun asia muuten on ensin havainnollistettu. Olisi muuten mielenkiintoista verrata miinkälainen, esim. funktion määritelmä on ollut 60-luvulla, verrattuna tähän päivään. Silloin ei puhuttu mistään lähtö- ja maalijoukoista vaan todennäköisesti funktion arvon ja muuttujan välisen riippuvuuden määrittelevästä lausekkeesta. Ottamatta nyt sen kummemmin kantaa siihen, onko joukko-opillinen lähestymistapa mahdollisesti määritelmällisesti kattavampi.

Samuli
Jos esimerkki on liian tiiviisti esitetty, opiskelija voi täydentää aukot itse. Tai sitten voi ottaa esimerkiksi Pyramidi-sarjan kirjan kouraansa ja lukea sieltä melkein läpilaskettuja hyviä esimerkkejä. Kirjasarjoissa on tyylieroja.

Sitten on se ja sama vaikka kävisi koko lukion etänä. Oppilaitos on kuitenkin sitä varten, että sieltä saaduin eväin selvitään eteenpäin. Näihin eväisiin sisältyy myös kirjallisuus, jota siellä käytetään. Sen olisi siitä syystä pyrittävä olemaan helppotajuinen, asiat ovat matematiikassa kyllä tarpeeksi vaikeita ilman hepreaakin.

Pari lainausta: http://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio
1. "Funktio eli kuvaus on matematiikan käsite, jolla pyritään yleensä kuvaamaan riippuvuuksia kahden suureen välillä. Ideana on se, että jokin suure selittää toista suuretta jonkin säännön avulla. Tätä selittävää sääntöä kutsutaan funktioksi." esim. y=f(x)=x^2;
Tämä malli edustaa, sitä koulukuntaa, johon omakin koulutukseni perustuu.

2. "Formaalimmin siis jos A ja B ovat joukkoja, niin funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden maalijoukon B alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla f:A -> B."
Tämä joukko-opillinen malli on toki jossain mielessä yleisempi tulkinta funktion olemuksesta, mutta onko sen omaksuminen turhan hankalaa ottaen huomioon opiskelijoiden ikä / kärsivällisyyden puute.

Vierailija
David
Toisekseen, en muutenkaan ymmärrä että lukiossa matikan opetus etenee latvasta maahan päin. Eli ensin on asian äärimmäisen vaikeaselkoinen abstrakti esitys ja vasta sitten edetään konkreettisempaan suuntaan. Siinähän oppilas putoaa kyydistä jo heti kättelyssä ja varsinaisen asian sisäistäminen jää hyvin heikoksi.

Itse olisin sitä mieltä että "latvaa" ovat kaikki esimerkit ja konkreettiset laskut. "Maassa" ovat ideat ja abstraktit teoriat.
Matematiikka oli minulle ainakin paljon mielenkiintoisempaa yliopistossa kuin lukiossa. Ei tarvinnu laskea koko aikaa jotain.

Vierailija
David

Sitähän juuri tarkoitin, että mitenkään ei voi päteä, että f^(-1) * f = 1, kun esim. x^2*x^0.5=x^2.5 --



Aivan. Tarkoitat siis, että oppilaalle tulee yläindeksistä mieleen potenssiinkorotus, vaikka sellaisesta ei ole kyse. Ymmärrän, näinhän se tietenkin on. Ja kun asia ei vielä ole tuttu, saattaa oppilas tehdä ylilyöntejä esimerkkisi "f^(-1) * f = 1" tyyliin.

Sanottakoon nyt kumminkin vielä, ettei tuossa merkinnässä oikeasti ole mitään monitulkintaisuutta, kunhan sitä vain käyttää oikein.

Ehei, kyllä kirjan pitää olla sellainen, ettei sen merkintöjä tarvitse ns. heprealähtöisesti tulkita.



Luulin, että kyse oli laajemmin kirjojen tavasta esittää aiheet. Yksittäiset merkinnät on kirjassa kuin kirjassa varmasti perusteltu, joten ei sentään tarvitse heprean sanakirjaa alkaa etsiä.

Taidat kaivata jonkinlaista "matematiikkaa selvällä suomen kielellä"-kirjaa. Eihän tuo mikään pöljempi idea ole. Minkähänlainen se kirja sitten olisi... pitää miettiä.

Olisi muuten mielenkiintoista verrata miinkälainen, esim. funktion määritelmä on ollut 60-luvulla, verrattuna tähän päivään.



Joo, tuo olisi minustakin mielenkiintoista. Omassa hyllyssä on vain keskikoulun algebrankirja, jossa funktio todella esitetään muuttujien välisenä riippuvuutena. Mutta nyt pitäisi jonkun kaivaa jostain nimenomaan se lukioluokkien oppikirja. Katsokoon samalla, miten käänteisfunktion käsite on siellä esitetty.

David
Samuli
Jos esimerkki on liian tiiviisti esitetty, opiskelija voi täydentää aukot itse. Tai sitten voi ottaa esimerkiksi Pyramidi-sarjan kirjan kouraansa ja lukea sieltä melkein läpilaskettuja hyviä esimerkkejä. Kirjasarjoissa on tyylieroja.

Sitten on se ja sama vaikka kävisi koko lukion etänä. Oppilaitos on kuitenkin sitä varten, että sieltä saaduin eväin selvitään eteenpäin. Näihin eväisiin sisältyy myös kirjallisuus, jota siellä käytetään. Sen olisi siitä syystä pyrittävä olemaan helppotajuinen, asiat ovat matematiikassa kyllä tarpeeksi vaikeita ilman hepreaakin.



Ei. Oppiminen ei ole sitä, että opettaja kaataa tietoa oppilaan päähän. Erityisesti matematiikassa oppimista tapahtuu, kun itse tekee. Kun vertaat kirjan esimerkkien pähkäilyä lukion käymiseen etänä, tunnut aliarvioivan sitä työtä, mitä (matematiikan) oppikirjan kanssa nimenomaan on tehtävä, jotta asiat tulevat opituksi. Ja sama työ on tehtävä, oli kirja helppo- tai vaikeatajuinen.

Siitä olen tietty samaa mieltä, että mitä helppotajuisempi kirja, sitä parempi. Mikään kirja ei kuitenkaan toimine jokaiselle.

Nyt alkoi kiinnostaa, mikä on tämä mielipiteitä herättänyt kirja?

Vierailija

Mielestäni lukion oppimäärässä keskitytään aivan liikaa yksiulotteisiin reaalilukuarvoisiin funktioihin. Tämän vuoksi esimerkiksi minulle ei lukion aikana selvinnyt, mitä eroa on termeillä "funktio" ja "kuvaaja": moni varmasti kuvittelee kuulleessaan sanan funktio ainoastaan käppyrää xy-koordinatistossa. Siksi käänteisfunktio ja yhdistetty funktio tuntuvat niin vaikeilta asioilta vielä lukiossa.

Ylioppilaskokeessa voisi mielestäni ihan hyvin olla esimerkiksi seuraavanlainen tehtävä:

"Funktio f toteuttaa ehdot:
f(omena)=appelsiini, f(appelsiini)=kiivi ja f(kiivi)=omena. Määritä

a) f(f(omena))
b) f^(-1) (omena)"

Tuskin tässä kohtaa enää kovin moni vastaisi kohtaan b) "1/appelsiini", vaikka niitäkin varmasti löytyisi. Jos sen sijaan annettaisiin funktio f(x)=x^4+3x^3+cos(x) ja kysytään mitä on f(f(1.4)), tehtävä on aivan yhtä helppo kuin f(f(omena)), mutta silti suurin osa oppilaista ei varmasti tajuaisi lainkaan mistä on kyse.

Reaalilukujen joukko on niin pitkälle kehitetty joukko, että sen algebrallinen monimutkaisuus peittää alleen monet yksinkertaisetkin ideat.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Samuli

Taidat kaivata jonkinlaista "matematiikkaa selvällä suomen kielellä"-kirjaa. Eihän tuo mikään pöljempi idea ole. Minkähänlainen se kirja sitten olisi... pitää miettiä.

Ennemminkin "Matematiikkaa a:sta ö:hön, eikä päinvastoin".

Samuli
Ei. Oppiminen ei ole sitä, että opettaja kaataa tietoa oppilaan päähän. Erityisesti matematiikassa oppimista tapahtuu, kun itse tekee. Kun vertaat kirjan esimerkkien pähkäilyä lukion käymiseen etänä, tunnut aliarvioivan sitä työtä, mitä (matematiikan) oppikirjan kanssa nimenomaan on tehtävä, jotta asiat tulevat opituksi. Ja sama työ on tehtävä, oli kirja helppo- tai vaikeatajuinen.

Niin siis periaate tässäkin pitää tietysti olla ns. molempi parempi. Ja vielä niin, että jos toinen pettää niin ainakin toinen pitää.

Samuli
Siitä olen tietty samaa mieltä, että mitä helppotajuisempi kirja, sitä parempi. Mikään kirja ei kuitenkaan toimine jokaiselle.

No niin, sitähän minäkin.

Samuli
Nyt alkoi kiinnostaa, mikä on tämä mielipiteitä herättänyt kirja?

Pitkä matematiikka, differentiaali ja integraalilaskennan jatkokurssi. Juniorin lukiokirja siis, omat opinnot ovat lähes 30 vuoden takaa. Se kait tuossa pännii, että voisi olla avuksi, mutta kun pitää ensin opetella samat asiast uudelleen itse, kun juonto on ihan eri maailmasta, kuin aikanaan tekulla.

Vierailija
David
Pari lainausta: http://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio
1. "Funktio eli kuvaus on matematiikan käsite, jolla pyritään yleensä kuvaamaan riippuvuuksia kahden suureen välillä. Ideana on se, että jokin suure selittää toista suuretta jonkin säännön avulla. Tätä selittävää sääntöä kutsutaan funktioksi." esim. y=f(x)=x^2;
Tämä malli edustaa, sitä koulukuntaa, johon omakin koulutukseni perustuu.

2. "Formaalimmin siis jos A ja B ovat joukkoja, niin funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden maalijoukon B alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla f:A -> B."
Tämä joukko-opillinen malli on toki jossain mielessä yleisempi tulkinta funktion olemuksesta, mutta onko sen omaksuminen turhan hankalaa ottaen huomioon opiskelijoiden ikä / kärsivällisyyden puute.




Ongelma on tietenkin siinä, että miten määritellä käänteisfunktio määritelmän 1. avulla. Jos ajatellaan, että funktio on sääntö, joka ottaa muuttujan ja antaa toisen, esimerkiksi vaikkapa x -> 2x. Mutta miten määritellä sitten käänteisfunktio? Sääntö, joka palauttaa saadun muuttujan takaisin entisekseen? Toimii tietenkin "funktiolle" f(x) = 2x, mutta entäs sitten "funktio" f(x) = x^2, kun luku 1 voitaisiin palauttaa sekä ykköseksi että miinus ykköseksi?

Tämän takia, jotta käänteisfunktiosta voitaisiin puhua edes jossakin järjellisessä mielessä ilman ongelmia, on pakko esitellä tuo joukko-opillinen määritelmä.

Tietenkin tuo ensimmäinen määritelmä on helpompi omaksua, mutta formaalimpaa määritelmää tarvitaan, mikäli käänteisfunktiosta halutaan puhua.

Vierailija
starless

Mutta miten määritellä sitten käänteisfunktio? Sääntö, joka palauttaa saadun muuttujan takaisin entisekseen? Toimii tietenkin "funktiolle" f(x) = 2x, mutta entäs sitten "funktio" f(x) = x^2, kun luku 1 voitaisiin palauttaa sekä ykköseksi että miinus ykköseksi?



Ei tämä ole ongelma. Funktion y = x^2 tapauksessa se, että x ei ole yksikäsitteinen y:n funktio, juuri kertoo, ettei käänteisfunktiota ole. Se, että määrittelyaluetta rajoitetaan tyyliin f(x) = x^2, x > 0, ei vaadi funktion joukko-opillisehkoa määritelmää. Ja nyt, kun on rajattu x > 0, saa käänteisfunktion ratkaistua ilman ongelmia.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat