Matematiikan olemassaolosta

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eli kysymys kuuluu kaikessa yksinkertaisuudessaan:Löydetäänkö vai keksitäänkö matematiikan teoreemat, matemaattiset objektit jne..

Onko siis esimerkiksi geometriasta tuttu Pyhagoraan lause ollut olemassa jo ennen sen keksimistä? Onko Pythagoras vain kulkenut pitkin todistamisen polkua, joka on ollut jo siellä (täällä..) mutta kukaan ei ole sitä häntä ennen vielä käynyt läpi?

Sivut

Kommentit (172)

Vierailija

Matematiikalla kuvataan numeerisesti asioita, ja sen avulla voidaan laskea asioita. Luontoa voidaan tällä tavoin havaita ja käsitellä erilaisin järjestelmin, joista meillä maapallolla on hyväksi havaittu ns. matematiikka, joka perustuu ihmisen keksimiin laskusääntöihin ja merkintöihin. Luonnon säännönmukaisuudet eivät siis muutu, mutta niitä voidaan kuvata erilaisilla kielillä. Meillä ei ole vertailukohtaa matematiikalle, joten emme tiedä onko tämä paras tapa kuvailla todellisuutta. Voi olla olemassa paljon korkeampaa "matematiikkaa" tai vastaavaa kieltä mitä ihminen ei pysty käsittämään.

Pythagoraan lause on vain havainto siitä, että jos a ja b on kyseisessä objektissa "näin", saamme selville "näin" c:n. Pythagoraan lauseen voi esittää jollain muulla tavalla jollain meille tuntemattomalla kielellä, mutta silti kyseinen suhde pitää paikkaansa aina jos lähtökohdat ovat samat. Tosin sitä emme tiedä voiko homman kuvata jollain meille tuntemattomalla matematiikalla yksinkertaisemmin. Jos vaikka kyseistä objektia tarkastellaan jostai muusta ulottuvuudesta/näkökulmasta, voi olla että saammekin vastaavan tuloksen suoraan a:sta tai b:stä tai jostain meille käsittämättömästä niiden "yhteisilmiöstä". Ehkä korkeampi matematiikkakin yksinkertaistuu huomattavasti, jos muutamme näkökulmaa. Se lienee tosin vaikeaa kun käsittelemme maailmaa kolmella tilaulottuvuudella aisteinemme ja varsinaisesti muut ulottuvuudet ovat meille, kuinkas muuten, vain matemaattista tarkastelua.

Vierailija

Ei pidä sekoittaa matematiikkaa ja fysiikkaa. Fysiikassa kuvataan luontoa matemaattisin menetelmin, mutta matematiikka itsessään on mielestäni täysin ihmisten keksintöä. 1+1=2 ei ole luonnon ominaisuus vaan ihmisten muodostaman käsitejärjestelmän seuraus. Noudattamalla pätevää logiikkaa päästään tietyistä sopimuksista tiettyihin tuloksiin, mutta aina on aluksi tehtävä nuo alkuoletukset ja ne ovat vain sopimuskysymyksiä.

Eilen muuten luennolla mainittiin että säieteoria perustuu osittain siihen että:
1+2+3+4+5+...=-1/12
ja
1*2*3*4*5*...=neliöjuuri(2pii)
Eli matematiikka on nähtävästi aika lailla mukautuvaa.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26851
Liittynyt16.3.2005
Joza

Eilen muuten luennolla mainittiin että säieteoria perustuu osittain siihen että:
1+2+3+4+5+...=-1/12
ja
1*2*3*4*5*...=neliöjuuri(2pii)
Eli matematiikka on nähtävästi aika lailla mukautuvaa.



En minä säieteoriasta mitään tiedä, mutta nyt alkaa hieman valkenemaan miksi siitä on niin vaikea repiä testattavissa olevia ennusteita.

Vierailija

No säieteoriahan on toistaiseksi kuulemma vain idea, eli sitä ei ole formuloitu mihinkään selkeään matemaattiseen muotoon. Mutta en siis itsekään tiedä siitä muuta kuin mitä muutamia lausahduksia silloin tällöin kuullut.

Vierailija
Joza
No säieteoriahan on toistaiseksi kuulemma vain idea, eli sitä ei ole formuloitu mihinkään selkeään matemaattiseen muotoon. Mutta en siis itsekään tiedä siitä muuta kuin mitä muutamia lausahduksia silloin tällöin kuullut.



Kyllä säieteoria on käsittääkseni varsin tarkasti matemaattisesti formuloitu. Teorian ymmärtäminen tosin vaatinee hyvät esitiedot kvanttikenttäteorioista ja yleisestä suhteellisuusteoriasta. Esim. tuossa pieni johdatus supersäieteoriaan, jos kiinnostaa (ja rahkeita riittää): http://arxiv.org/abs/hep-ex/0008017

Vierailija

Professori Keijo Kaitale väitti kyllä aivan muuta viime perjantain ToE:a käsittelevässä esitelmässä/luennossa. En varmaan voi niin väärin muistaa.

Tuota linkkiä en viitsi edes avata näin ensimmäisen vuoden opiskelijana.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008

Objektit keksitään ja ominaisuudet löydetään, sanoisin. Tai vaikka niin, että kysymykset keksitään ja vastaukset löydetään. Joskus ehkä löydetään vastaus ennen kuin on osattu muotoilla kysymystäkään.

En tiedä, mitä oikeastaan tarkoitat jonkun teoreeman olemassaololla -- mielikuvitusmaailmassahan matematiikassa eletään -- mutta matemaattisessa mielessä jokainen oikein muotoiltu väite joko on teoreema tai ei. Väite ei "muutu" teoreemaksi kun ensimmäinen todistus esitetään; matemaattisessa mielessä todistus on ollut aina olemassa samaan tapaan kuin vaikkapa luku

34156195478156124751028465912304231049812650964634

on aina ollut olemassa, vaikka on mahdollista, että sitä ei ole ennen tätä kukaan kirjoittanut.

Pythagoraan lause oli muuten kai tunnettu jo paljon ennen Pythagoraan syntymää.

We're all mad here.

Vierailija
abskissa

En tiedä, mitä oikeastaan tarkoitat jonkun teoreeman olemassaololla -- mielikuvitusmaailmassahan matematiikassa eletään


En minäkään ole oikein selvillä mitä matemaattisen objektin olemassaololla tarkoitetaan. Minut tähän olemassaolopulmaan johdatti Platonin ideaoppi, jota olen harrastusmielessä yrittänyt ymmärtää. Platonin mukaan esimerkiksi kaikki ihmisen piirtämät kolmiot ovat vain epätäydellisiä kehitelmiä, mutta kuitenkin jokainen näkee "sielunsa silmin" täydellisen kolmion idean.Tämä täydellinen kolmio Platonin mukaan on ikuinen ja muuttumaton ja ei sijaitse meidän maailmassa vaan ideoiden maailmassa.

Tälläisiä olemassaoloprobleemoja pohdiskellessa joutuu tarkasti miettimään mitä tarkoitetaan objektin olemassaololla ym. Itse en ole asiaa kovinkaan intensiivisesti miettinyt, ja olen taipuvainen ajattelemaan kuitenkin sen verran käytännöllisesti, että tälläisillä pohdiskeluilla ei juurikaan ole merkitystä. Mutta on olemassa matematiikan ym. tutkijoita joille tämän kaltainen pohdiskelu on enemmän tai vähemmän arkipäivää. Esimerkiksi on olemassa matematiikan filosofian suuntauksia, jotka torjuvat sellaisten matemaattisten objektien olemassaolon, joita ei voida konstruoida. Tälläinen on esimerkiksi konstruktivismi, jonka mukaan matemaattista objektia ei ole olemassa, ellei sitä ole konkreettisesti rakennettu.(mitä se nyt sitten tarkoittaakin.. )

abskissa

...matemaattisessa mielessä jokainen oikein muotoiltu väite joko on teoreema tai ei.

Käsittääkseni tämä ei pidä paikkansa. En ole alan asiantuntija, mutta käsittääkseni Gödelin epätäydellisyyslause sanoo, että jokaisessa riittavän rikkaassa aksioomajärjestelmässä on olemassa väitteitä, joita ei voi todistaa oikeaksi tai vääräksi, käyttäen vain tämän aksioomajärjestelmän oletuksia.
abskissa

Pythagoraan lause oli muuten kai tunnettu jo paljon ennen Pythagoraan syntymää.

Joo, Wikin mukaan Pyhagoraan lause oli jo egyptiläisille tuttu.

Vierailija

Ei tässä pitäisi olla ongelmaa. Matematiikka on alusta loppuun ihmisen keksimä abstrakti ja loogisesti johdonmukainen järjestelmä.

Sitten on eri asia, että sitä voidaan laajasti soveltaa esim. luonnontieteellisen tiedon kuvaamisessa.

Saadaan suuri määrä mihinkään johtamattomia näennäisongelmia, jos kysytään että onko matematiikan lauseet oikeasti olemassa. Kysymys ei ole mielekäs.

Vierailija
Spanish Inquisitor
abskissa

...matemaattisessa mielessä jokainen oikein muotoiltu väite joko on teoreema tai ei.

Käsittääkseni tämä ei pidä paikkansa. -- käsittääkseni Gödelin epätäydellisyyslause sanoo, että -- on olemassa väitteitä, joita ei voi todistaa oikeaksi tai vääräksi --



Epätäydellisyyslause sanoo, että on väittämä, jolla ei ole todistusta, eikä myöskään sen negaatiolla ei ole todistusta. Teoreema taas tarkoittaa väittämää, jolla on todistus. Siis S. I.:n väite ei ole ristiriidassa epätäydellisyyslauseen kanssa.

Erityisesti: teoreema on eri asia kuin tosi väittämä.

Vierailija
abskissa
Objektit keksitään ja ominaisuudet löydetään, sanoisin.

Niin sanoisin minäkin, mistään mitään kuitenkaan suuremmin ymmärtämättä.

Vierailija
Spanish Inquisitor
Platonin mukaan esimerkiksi kaikki ihmisen piirtämät kolmiot ovat vain epätäydellisiä kehitelmiä, mutta kuitenkin jokainen näkee "sielunsa silmin" täydellisen kolmion idean.



Wittgenstein käsittelee kirjoituksissaan myöskin tätä. Ajatus ideasta on oikeastaan hyvin looginen kun asiaa miettii vaikka puhutun kielen kannalta. Maailma ei sinällään tarjoa meille varsinaisesti käsitteitä vaan me luomme käsitteitä (ideoita), joilla pyrimmee kuvaamaan maailmaa. Esimerkiksi "mänty" terminä on lopulta vain idea - ei voida antaa tarkkaa määritelmää mitkä objektit tätä termiä vastaavat vaan käsite on idea ja "mänty"-ilmentymät ovat tämän "idean" luonnollisia tulkintoja.

Spanish Inquisitor
abskissa

...matemaattisessa mielessä jokainen oikein muotoiltu väite joko on teoreema tai ei.

Käsittääkseni tämä ei pidä paikkansa. En ole alan asiantuntija, mutta käsittääkseni Gödelin epätäydellisyyslause sanoo, että jokaisessa riittavän rikkaassa aksioomajärjestelmässä on olemassa väitteitä, joita ei voi todistaa oikeaksi tai vääräksi, käyttäen vain tämän aksioomajärjestelmän oletuksia.



Mitä tarkoitatte termillä teoreema? Formaalissa logiikassa voidaan tosiaan osoittaa Gödelin kuuluisa tulos, että jos logiikka on ilmaisuvoimaltaan tarpeeksi rikas niin jokaiselle ristiriidattomalle aksioomajoukolle (jolta käsittääkseni vaaditaan rekursiivisuus) voidaan konstruoida lause, joka on aksioomajoukossa (=teoria) tosi mutta ei sitä eikä sen negaatiota teoriassa voida todistaa. (selvennyksenä: kun sanon että jokin lause on valitussa teoriassa tosi, niin tarkoitan että se on tosi silloin kun kyseisen teorian aksioomat ovat tosia)

Tämä johdettu lause on siis riippuvainen alla olevasta teoriasta - nimittäin jos ei olisi, niin sehän voitaisiin valita uudeksi aksioomaksi jolloin sillä olisi ko. teoriasta triviaali todistus.

Jos teoreemaksi luetaan teoriasta johdettu lause, niin silloin sillä on luonnollisesti todistus. Jos taas teoreema tulkitaan samaksi kuin hyvin muodostettu lause (eli kyseisessä formalismissa "järjellinen" lause), niin sillä on tosiaan todistus toisissa teorioissa ja toisissa ei.

(omista logiikan opinnoista on aikaa ja pieni epävarmuus nousi vastatessa pintaan.. näin se kuitenkin käsittääkseni menee.)

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Eiköhän matematiikka ole vain joukko loogisia päätelmiä erilaisten riippuvuussuhteiden pohjalta. Matematiikkaan liittyy toki tietty symboliikka, ikäänkuin sen kielellisenä jatkeena. Syvin olemus on kuitenkin logiikassa.

Matematiikan kehittäminen lähtee kait oivalluksista tai kokeellisista, miksei myös sattumalta havaitusta geometrisista tai muista vastaavista riippuvuussuhteista, joita pyritään sitten loogisella päättelyllä ja ennestään tunnetuilla riippuvuussuhteilla oikeaksi todistamaan.

abskissa
Seuraa 
Viestejä3654
Liittynyt9.10.2008
jji
Mitä tarkoitatte termillä teoreema? Formaalissa logiikassa voidaan tosiaan osoittaa Gödelin kuuluisa tulos, että jos logiikka on ilmaisuvoimaltaan tarpeeksi rikas niin jokaiselle ristiriidattomalle aksioomajoukolle (jolta käsittääkseni vaaditaan rekursiivisuus) voidaan konstruoida lause, joka on aksioomajoukossa (=teoria) tosi mutta ei sitä eikä sen negaatiota teoriassa voida todistaa.



Teoreema on väite, jolla on olemassa todistus. Todistuksen ei tarvitse olla tunnettu -- Fermat'n suuri lause oli teoreema jo ennen vuotta 95. Sitä ei vain tiedetty. Sana "tosi" taas on niin hämäävä, ettei siihen oikein viitsisi koskea lyhyemmällä tikulla.

Mielestäni tuo Davidin näkemys, että matematiikka on pelkästään jokin lause- tai päätelmäkokoelma on kyllä aika suppea. Eihän musiikkikaan ole vain joukko sävellyksiä.

We're all mad here.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
abskissa
Mielestäni tuo Davidin näkemys, että matematiikka on pelkästään jokin lause- tai päätelmäkokoelma on kyllä aika suppea.

En väittänytkään olevani mikään totuudentorvi tässä asiassa, täydensinkin hieman jo ajatelmaani.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat