Apuja erityiseen suhteellisuusteoriaan

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Fysiikan laskuharjoituksissa tuli tälläinen ongelma vastaan, eikä dosenttikaan oikein onnistunut antamaan tyydyttävää selitystä.

Lähetetään poispäin maapallolta avaruusalus nopeudella 0,6c (oletetaan hyvin nopea kiihtyminen). Tunnin päästä alusta kutsutaan signaalilla, jonka kulkunopeus on c. Lähetettäessä kutsu on alus kulkenut 0,6c*h. Lasketaan, milloin signaali saavuttaa aluksen:
0,6c*h + 0,6c*t = ct
t(c-0,6c) = 0,6c*h
t = 1,5 h

Eli maapallon koordinaatistosta signaali lähetetään lähdöstä tunnin kuluttua ja alus vastaanottaa sen lähdöstä kahden ja puolen tunnin kuluttua (T = 2,5h).
Lasketaan kuinka kauan kellot ovat tikittäneet itse aluksessa:
T' = T/y = 2,5h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 2,5h * 0,8 = 2h

Tämä on kuulemma ihan oikea vastaus. Kuitenkin homma menee paradoksaaliseksi, kun asiaa tarkastellaan avaruusaluksen kantilta.
Sieltä katsottuna signaalin lähettämishetki on 1h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 0,8h. Lähetyshetkellä maapallon ja aluksen välimatka lasketaan lorentz-muunnoksella:
s' = s/y = 0,6c * 1h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 0,48c*h
Maasta lähetetty signaalihan lähestyy alusta nopeudella c valonnopeuden absoluuttisuuden seurauksena, jolloin aluksesta tarkasteltuna aikaa menisi 0,48h. (Mikä olisi maapallon aikaa 0,6h.) Kuitenkin alussa laskettiin maapallolta käsin, että aikaa menisi 1,5h. Missä välissä meni mönkään?

Fysiikan dosentti meinasi, että samanaikaisuus kärsii, kun ei olla inertiaalikoordinaatistoissa (=kiihdytyksen aikana), muttei osannut itsekään kauheasti perustella asiaa. Understanding Physicsistä läytyy kyllä kappale, jossa selvitetään kaksoisparadoksia 'maalmanlinjojen' (world lines) avulla, mutta sielläpaikoin tekstin ymmärettävyys ei ole eriskummallisen hyvä. Osaisiko joku selventää probleeman? (Lisäksi sen, miksi laskemalla, kuten aivan aluksi tehtiin, saadaan kuitenkin oikea vastaus, vaikka koordinaatistot eivät ole jatkuvasti inertiaalisia? Vastaus siis kuulemma on oikea.)

Sivut

Kommentit (19)

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
EemeIi

Tämä on kuulemma ihan oikea vastaus. Kuitenkin homma menee paradoksaaliseksi, kun asiaa tarkastellaan avaruusaluksen kantilta.
Sieltä katsottuna signaalin lähettämishetki on 1h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 0,8h.



Ei, vaan aluksen koordinaatistossa signaali lähtee hetkellä 1,25h. "Maalaisen" kellon lukema signaalin lähtiessä on aikadilataation kaavalla 1,25h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 1h, kuten pitääkin.

EemeIi
Lähetyshetkellä maapallon ja aluksen välimatka lasketaan lorentz-muunnoksella:
s' = s/y = 0,6c * 1h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 0,48c*h
Maasta lähetetty signaalihan lähestyy alusta nopeudella c valonnopeuden absoluuttisuuden seurauksena, jolloin aluksesta tarkasteltuna aikaa menisi 0,48h. (Mikä olisi maapallon aikaa 0,6h.) Kuitenkin alussa laskettiin maapallolta käsin, että aikaa menisi 1,5h. Missä välissä meni mönkään?



Ei, vaan signaali lähtee aluksen ajanhetkellä 1,25h, jolloin (aluksen koordinaatistossa) aluksen ja maan etäisyys on 0,6c*1,25h = 0,75 valotuntia. Valolta kestää siis 0,75 tuntia saapua aluksen luo, jolloin aluksen kello näyttää lukemaa 1,25h + 0,75h = 2h, kuten pitääkin.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
EemeIi

Tämä on kuulemma ihan oikea vastaus. Kuitenkin homma menee paradoksaaliseksi, kun asiaa tarkastellaan avaruusaluksen kantilta.
Sieltä katsottuna signaalin lähettämishetki on 1h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 0,8h.



Ei, vaan aluksen koordinaatistossa signaali lähtee hetkellä 1,25h. "Maalaisen" kellon lukema signaalin lähtiessä on aikadilataation kaavalla 1,25h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 1h, kuten pitääkin.

Tjaah. Kuitenkin alus oli se joka kiihdytti, jotenka aikadilataatio ei voi olla symmetristä? Se voi olla symmetristä vain jos molemmat ovat kiihdyttäneet saman verran eri suuntiin.

Vierailija

Kannattaa katsella rakettikelloa niinkun ulkopuolelta

Jos raketti seisoo paikallaan niin valo ottaa valovuoden välimatkan
kiinni vuodessa. Jos raketti pakenee valonnopeudella, välimatka
ei muutu ja kellokin seisoo, siis ei mitään vaikutusta liikkeellä.

Sitten taas optimaalisella nopeudella noin 0.7c kello ei vielä juurikaan hidastu
mutta valon matka kyllä pitenee aika paljonkin.

Vierailija
jartsa
Ei toki valo ota 0.48 valotunnin etumatkaa 0,48 tunnissa kiinni.



Kun tapahtuma on tarkastelukoordinaatistossa niin ottaa. Toisin sanoen valonnopeus on absoluuttista. Vaikka maapallolta näyttää, että valo ottaa alusta paljon normaalia hitaammin kiinni, alukselta katsottuna valo lähestyy nopeudella c, jolloin välimatkaan 0,48c*h menee se 0,48 tuntia.

hmk
Ei, vaan aluksen koordinaatistossa signaali lähtee hetkellä 1,25h. "Maalaisen" kellon lukema signaalin lähtiessä on aikadilataation kaavalla 1,25h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 1h, kuten pitääkin.



Hmm... Millä perusteella näin? Nythän lasketaan, että aluksella aika kuluisi nopeammin (1,25h, siinä missä maalla 1h). Itseisaikahan on maassa, jolta signaali lähetetään, joten ei kai aika missään sen nopeampaa kulu?

hmk
Ei, vaan signaali lähtee aluksen ajanhetkellä 1,25h, jolloin (aluksen koordinaatistossa) aluksen ja maan etäisyys on 0,6c*1,25h = 0,75 valotuntia. Valolta kestää siis 0,75 tuntia saapua aluksen luo, jolloin aluksen kello näyttää lukemaa 1,25h + 0,75h = 2h, kuten pitääkin.



Eli: maassa olevan havainto: signaalin matkaamiseen meni 1,5 kertaa se aika, mitä aluksi odotettiin.
Aluksen havainto: signaalin matkaamiseen meni 0,6 kertaa se aika, mitä meni lähdöstä lähettämiseen.
Ok?

David
Tjaah. Kuitenkin alus oli se joka kiihdytti, jotenka aikadilataatio ei voi olla symmetristä? Se voi olla symmetristä vain jos molemmat ovat kiihdyttäneet saman verran eri suuntiin.



Tästä taas herää erinäisiä kysymyksiä. Jos kappaleet A ja B kiihdyttävät molemmat yhtä paljon, mutta eri suuntiin ja saavuttavat suhteellisen nopeuseron 0,9c, mitä käy aikadilataatiolle? (Mikä symmetrinen, ei aikadilataatiota ollenkaan? Jotain aivan muuta?) Entä miten yleensä ottaen tuo kiihdyttäminen määritellään? Totta kai havaitsemme kun raketti tekee työtä ja saa vauhtia (suhteessa maapalloon), mutta millä universumi havaitsee kumpi kiihdyttää ja kumman suhteen...?

jartsa
Kannattaa katsella rakettikelloa niinkun ulkopuolelta



Juu tätä teinkin, mutta en saanut päähäni millään, miten tapahtumat saadaan yhtäpitäviksi raketista tarkasteltuna.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
EemeIi
David
Tjaah. Kuitenkin alus oli se joka kiihdytti, jotenka aikadilataatio ei voi olla symmetristä? Se voi olla symmetristä vain jos molemmat ovat kiihdyttäneet saman verran eri suuntiin.



Tästä taas herää erinäisiä kysymyksiä. Jos kappaleet A ja B kiihdyttävät molemmat yhtä paljon, mutta eri suuntiin ja saavuttavat suhteellisen nopeuseron 0,9c, mitä käy aikadilataatiolle?

En tiedä, mutta jos kellot ovat olleet alunperin toistensa suhteen levossa ja käyneet samalla nopeudella, niin en ymmärrä miksi ne yhtä suuren ja samankestoisen kiihdytyksen jälkeen kävisivät toistensa suhteen eri nopeudella.

Nehän ovat voineet kiihtyä samaankin suuntaan ollen yhä vieretysten ja käyden samalla nopeudella. Ei kait sillä voi olla väliä mihin suuntaan ne ovat kiihdyttäneet kunhan kiihdytyksen kesto ja suuruus ovat olleet samat.

EemeIi
(Mikä symmetrinen, ei aikadilataatiota ollenkaan? Jotain aivan muuta?) Entä miten yleensä ottaen tuo kiihdyttäminen määritellään? Totta kai havaitsemme kun raketti tekee työtä ja saa vauhtia (suhteessa maapalloon), mutta millä universumi havaitsee kumpi kiihdyttää ja kumman suhteen...?

Universumin sitä tuskin tarvitsee havaita millään tavoin, kunhan kellojen käyntiin vaikuttavat vuorovaikutukset muuttuvat samassa suhteessa.

Tiedän kyllä, että tämä ei sellaisenaan vastaa Einsteinin aika-avaruutta, mutta mielestäni se onkin fiksumpi tapa ajatella asiaa.

Vierailija

Suhteellisuusteorian jujuhan piilee siinä, että vaikka kaksi tapahtumaa näyttävät samalta(muoks. siis samanaikaisilta) yhdessä koordinaatistossa, eivät ne ole sitä välttämättä toisessa. Kokeile piirtää kaksi maailmanlinjat sekä maan että raketin koordinaatistoon. Tällöin huomaat, että maasta katsottuna raketti "pakenee" saapuvaa viestiä sen kulkeman matkan ajan, mutta raketin koordinaatistossa valon kulkema matka on sama kuin maan ja raketin etäisyys lähetys hetkellä. Ts. raketin mielestä aikaa menee vähemmän kuin maasta katsoen.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
EemeIi
hmk
Ei, vaan aluksen koordinaatistossa signaali lähtee hetkellä 1,25h. "Maalaisen" kellon lukema signaalin lähtiessä on aikadilataation kaavalla 1,25h * sqrt(1-(0,6c/c)^2) = 1h, kuten pitääkin.



Hmm... Millä perusteella näin? Nythän lasketaan, että aluksella aika kuluisi nopeammin (1,25h, siinä missä maalla 1h). Itseisaikahan on maassa, jolta signaali lähetetään, joten ei kai aika missään sen nopeampaa kulu?



Liike on suhteellista: aluksesta katsottuna alus on paikoillaan ja maassa olija liikkuu poispäin nopeudella 0,6c. Koska liikkuva kello käy hitaammin, niin aluksesta katsottuna maassa olijan kello käy hitaammin kuin aluksen kellot. (Vastaavasti maasta katsoen aluksen kellot käyvät hitaammin kuin maassa olevat kellot -- tilanne on symmetrinen.)

EemeIi
hmk
Ei, vaan signaali lähtee aluksen ajanhetkellä 1,25h, jolloin (aluksen koordinaatistossa) aluksen ja maan etäisyys on 0,6c*1,25h = 0,75 valotuntia. Valolta kestää siis 0,75 tuntia saapua aluksen luo, jolloin aluksen kello näyttää lukemaa 1,25h + 0,75h = 2h, kuten pitääkin.



Eli: maassa olevan havainto: signaalin matkaamiseen meni 1,5 kertaa se aika, mitä aluksi odotettiin.
Aluksen havainto: signaalin matkaamiseen meni 0,6 kertaa se aika, mitä meni lähdöstä lähettämiseen.
Ok?



Olkoon lh = valotunti.

Maassa olevan havaintoja:
Signaali lähti pisteestä (0 lh, 1 h).
Samanaikainen aluksen maailmanviivan piste = (0.6 lh, 1h), eli alus oli 0.6 valotunnin päässä.
Signaali saavutti aluksen pisteessä (1.5 lh, 2.5 h).

Aluksen havainnot saadaan Lorentz-muuntamalla edellä mainitut pisteet:
Signaalin lähtö = (-0.75 lh, 1.25 h).
Em. maailmanviivan piste = (0 lh, 0.8 h); huomaa, että tämä ei ole samanaikainen signaalin lähdön kanssa aluksen koordinaatistossa -- samanaikaisuus on suhteellista!
Signaali saavutti aluksen pisteessä (0 lh, 2 h).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
Liike on suhteellista.

Paitsi, että se suhteellisuuskin on suhteellista, ottaen huomioon että universumi nyt kuitenkin on kohtuullisen hyvin tasapainossa, muuten se ei olisi edes olemassa.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Imperator
Suhteellisuusteorian jujuhan piilee siinä, että vaikka kaksi tapahtumaa näyttävät samanaikaisilta yhdessä koordinaatistossa, eivät ne ole sitä välttämättä toisessa.

Näyttävät ja olevat vai olevat ja olevat vain näyttävät ja näyttävät?

Pelkkä näyttäminen ei riitä, koska se samanaikaiselta näyttäminen riippuu suhteellisesta sijainnista infortoitumishetkillä. Eri asia on sitten, mitkä tapahtumat näyttävät etenevän keskenään samalla nopeudella. Siihen (joka tapauksessa) vaikuttaa se suhteellinen liike.

Vierailija
David
Näyttävät ja olevat vai olevat ja olevat vain näyttävät ja näyttävät?

Pelkkä näyttäminen ei riitä, koska se samanaikaiselta näyttäminen riippuu suhteellisesta sijainnista infortoitumishetkillä. Eri asia on sitten, mitkä tapahtumat näyttävät etenevän keskenään samalla nopeudella. Siihen (joka tapauksessa) vaikuttaa se suhteellinen liike.


Siis olevat ja olevat. Hyvä, kun korjasit.

Vierailija

Ai kyseessä olikin simppeli kellojen sekoittamisvirhe, eikä semmoinen
simppeli virhe kuin minä luulin.

Minähän kerroin että kun raketti liikkuu nopeudella 0.8c, niin
se saa JOPA 80% valonnopeudella liikkumisen liikkeestä, VAIN 10%
kellonhidastumisvaikutuksesta ja VAIN 10% matkankutistumsfektistä.

Siispä selvästikin valo ei saavuta rakettia yhtä ripeästi erilaisilla
raketin nopeuksilla.

Niin että virheitä onkin monta kappaletta.

Vaikkakin toisaalta kyllä jotain juttua olen kuullut valonnopeuden vakioisuudestakin.

Vierailija

Näyttää aika ajoin askarruttavan mieltä nämä suhteellisuusteoriaan liittyvät jutut. Tuli vaan mieleen että onkohan kukaan tehnyt tietokoneohjelmaa jolla teoriaa voitaisiin tarkastella? Vaikkapa joku yksinkertainen flash-ohjelma jossa olisi pari liikkuvaa "tarkastelupistettä" (vaikka raketteja) ja yksi "kiinteä" piste (maa). Ohjelmassa voisi asettaa kappaleiden nopeudet, etäisyydet jne. Kummassakin liikkuvassa pisteessä olisi kello jota voisi seurata muiden tarkastelupisteiden näkökulmasta.
Suhteellisuusteoriaan ei sisälly kovin montaa kaavaa, joten ei luulisi olevan mahdoton toteutettava jollekin ohjelmointitaitoiselle?
Tälläinen ohjelma voisi hetkessä ratkaista monia ongelmia mitä tiedepalstalla aika ajoin pohditaan! Esimerkiksi tämä kuuluisa dilemma että mitä tapahtuu kun kaksi nopeudella 0,6c liikkuvaa kohdetta kulkevat toisiaan kohti. Moni kun ei tunnu ymmärtävän asiaa pelkästään kaavojen avulla, joten pieni visualisointi auttaisi asiaa huomattavasti.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
K4levi
Näyttää aika ajoin askarruttavan mieltä nämä suhteellisuusteoriaan liittyvät jutut. Tuli vaan mieleen että onkohan kukaan tehnyt tietokoneohjelmaa jolla teoriaa voitaisiin tarkastella? Vaikkapa joku yksinkertainen flash-ohjelma jossa olisi pari liikkuvaa "tarkastelupistettä" (vaikka raketteja) ja yksi "kiinteä" piste (maa). Ohjelmassa voisi asettaa kappaleiden nopeudet, etäisyydet jne. Kummassakin liikkuvassa pisteessä olisi kello jota voisi seurata muiden tarkastelupisteiden näkökulmasta.
Suhteellisuusteoriaan ei sisälly kovin montaa kaavaa, joten ei luulisi olevan mahdoton toteutettava jollekin ohjelmointitaitoiselle?

Onhan noita animaation tapaisia ainakin olemassa ja pystyisin itsekin sellaisen tekemään jos haluaisin.

Neliulotteisuuden visualisointi ei ole uskottavalla tavalla ihan yksikertainen tehtävä ja toisaalta vaikka itse asian ymmärtäisikin, niin sitä ei silti tarvitse pitää ainoana mahdollisena vaihtoehtona.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat