Geometriapähkinä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

"Suora y = 2 − 2x rajaa yhdessä x- ja y-akseleiden kanssa suorakulmaisen kolmion. Mikä kolmion hypotenuusan piste (x0 , y0 ) on yhtä kaukana vaakasuorasta kateetista ja pystysuoran kateetin keskipisteestä?"

Törmäsin edelliseen tehtävään, joka nyt tulisi hupimielessä ratkaista. Ja koska omasta lukion matematiikasta ja yliopiston parista hassusta matikan kurssista on sen verran aikaa, niin meinaa olla pää vähän jäässä. Jotain ajatuksia tehtävään siis kaivattaisiin.

Ilmeisesti tässä kahden janan tulisi olla saman pituisia kolmion sisällä, niiden tulisi kohdata samassa pisteessa kolmion hypotenuusalla ja tiedetään, että toinen jana lähtee pisteestä (0,1). Tehtävässä on tähän hätään vähän turhan paljon tuntemattomia.

En myöskään tiedä tehtävän alkuperää, mikäli ratkaisussa on ongelmia näillä tiedoilla.

edit. itse asiassa sain tässä samalla pähkäiltyä jonkinlaisen vastauksenkin (0,75 ; 0,5), mutta olisi kiva saada tietoa sen mielekkyydestä.

Kommentit (3)

MaKo71
Seuraa 
Viestejä1467
Liittynyt15.11.2006

Itse sain ratkaisuksi x = (sqrt(28)-4)/2 ~ 0.645751311065

Laskin sen siten, että muodostin ensin yhtälöt:

l1 = etäisyys vaakasuoralle kateetille eli x-akselille = y
l2 = etäisyys pystysuoran kateetin keskipisteeseen eli (0,1) = sqrt( (x-0)^2 + (y-1)^2 )

Sitten l1 = l2 ja y:n paikalle sijoitus y = 2 - 2x

Eli:

sqrt( x^2 + (2-2x-1)^2 ) = 2-2x
sqrt( x^2 + (1-2x)^2 ) = 2-2x
sqrt( x^2 + 4x^2 - 4x + 1 ) = 2-2x || ^2
3x^2 - 4x + 1 = 4x^2 - 8x + 4
x^2 + 4x - 3 = 0

Ja tuosta sitten toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

yhtälöpari...

Piste suoralla olkoon P(x,y).

Ehtoina koordinaateille on suoran yhtälö (y=2-2x) ja etäisyydet kateeteista.

Etäisyys vaakasuorasta kateetista (kohtisuoraan) on sama kuin pisteen y-koordinaatti.

Etäisyys pystysuoran kateetin puolivälistä on sama kuin etäisyys pisteestä K(0,1) koska suora leikkaa y-akselin pisteessä 0,2.

Pisteiden välinen etäisyys on helposti laskettavissa:

s² = Δx² + Δy² (pythagoraan lauseen mukaan, x:n muutoksen neliö plus y:n muutoksen neliö on yhtä kuin

s² = (x-0)² + (y-1)²

Tässä siis s on siis määritettävän pisteen P(x,y) ja pisteen K(0,1) välinen etäisyys.

Koska vaatimuksena oli että etäisyys vaakasuorasta kateetista on sama kuin etäisyys pisteestä K(0,1), ja tiedetään että etäisyys vaakasuorasta kateetista on yhtä kuin y, saadaan yhtälö

y² = x² + y² - 2y + 1
x² + 1 = 2y

y = ½x² + ½
y = 2 - 2x || suoran yhtälön tulee päteä vastauksessa

yhdistetään yhtälöt:

½x² + ½ = 2 - 2x || (...)*2
x² + 1 = 4 - 4x
x² + 4x - 3 = 0

Toisen asteen yhtälö ratkeaa sitten normaalisti ja kun tiedetään x voidaan sijoittaa suoran yhtälöön ja saadaan y.

...Näköjään liian hidasta toimintaa. Noh, eipä haitanne...

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Uusimmat

Suosituimmat