Tason määritys

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Seuraavaan matematiikan tehtävään kyselisin neuvoja:

Määritä yhtälö (vektori tai skalaarimuotoinen) sille tasolle, joka kulkee tasojen 2x+3y-z=0 ja x-4y+2z=-5 leikkaussuoran sekä pisteen (-2,0,-1) kautta.

Haluaisin ratkaista tehtävän vektoreiden avulla. Tiedän tässä vaiheessa , että leikkaussuoralla on suuntavektori
2i-5j-12k. Sen selvitin tasojen normaalien ristitulolla. Tästä en pääse jostain syystä eteenpäin.

Kommentit (7)

Vierailija

Kahden tason leikkauksen saa aika näppärästi ratkaistua Gaussin eliminointimenetelmällä. Pikaisella pyörittelyllä leikkaussuoraksi näyttäisi tulevan

L = {X | X = (-15/11 , 10/11 , 0) + t * (-2 , 5 , 11) ; t parametri}

Eräs leikkaussuoran piste on siis P = (-15/11 , 10/11 , 0). Taso kulkee myös pisteen Q = (-2 , 0 , -1) kautta, joten toiseksi virittäjävektoriksi saadaan (7 , 10 , 11). Tässä on siis ensin laskettu vektori PQ = Q - P ja skaalattu komponentit kokonaisluvuiksi. Taso sisältää myös suoran L, joten sen toiseksi virittäjävektoriksi voidaan ottaa (-2 , 5 , 11). Taso vektorimuodossa on siis

T = {X | X = (-15/11 , 10/11 , 0) + t * (-2 , 5 , 11) + p * (7 , 10 , 11) ; t ja p parametrejä}

Vastausta en ole tarkistanut, joten huolimattomuusvirheitä on voinut jäädä.

Vierailija
kurnimaha
Kahden tason leikkauksen saa aika näppärästi ratkaistua Gaussin eliminointimenetelmällä. Pikaisella pyörittelyllä leikkaussuoraksi näyttäisi tulevan

L = {X | X = (-15/11 , 10/11 , 0) + t * (-2 , 5 , 11) ; t parametri}

Eräs leikkaussuoran piste on siis P = (-15/11 , 10/11 , 0). Taso kulkee myös pisteen Q = (-2 , 0 , -1) kautta, joten toiseksi virittäjävektoriksi saadaan (7 , 10 , 11). Tässä on siis ensin laskettu vektori PQ = Q - P ja skaalattu komponentit kokonaisluvuiksi. Taso sisältää myös suoran L, joten sen toiseksi virittäjävektoriksi voidaan ottaa (-2 , 5 , 11). Taso vektorimuodossa on siis

T = {X | X = (-15/11 , 10/11 , 0) + t * (-2 , 5 , 11) + p * (7 , 10 , 11) ; t ja p parametrejä}

Vastausta en ole tarkistanut, joten huolimattomuusvirheitä on voinut jäädä.




Onkos jotain muuta tapaa ratkaista leikkaussuoran yhtälö kuin Gaussitus? Itse en onnistunut Gaussittamaan.
Ja tuo piste (-15/11, 10/11, 0) ei toteuta toisen tason yhtälöä, joten jossakin lienee huolimattomuusvirhe.

lierik
Seuraa 
Viestejä4922
Liittynyt31.3.2005

Analyyttinen avaruusgeometria on tosiaan aika vaikeaa. Kouluaikana joku kysyi opettajalta "Mitä hyötyä tästä on." Vastauskin löytyi. Joku salaojakaivaaja oli konsultoinut tekun kanssa ja oppilas oli suunnitellut ja moderisoinut hänelle entisiin vehkeisiin jutun, jossa epätaisessakin maastossa putket menee oikein. Vastaava kaupalla oleva versio olisi maksanut monta sataatuhatta enemmän (markka-aikanana).

Lierikki Riikonen

Vierailija
Arska_L
Onkos jotain muuta tapaa ratkaista leikkaussuoran yhtälö kuin Gaussitus? Itse en onnistunut Gaussittamaan.

Jaa-a, äkkiseltään ei kyllä mitään Gaussia kätevämpää tapaa tule mieleen. Vaikka saisitkin vektoritulolla määrättyä suoran suuntavektorin, niin joudut joka tapauksessa vielä etsimään jonkin suoralla olevan pisteen (eli ratkaisemaan lineaarisen yhtälöryhmän). Gaussilla saat molemmat samalla kertaa.

Ja tuo piste (-15/11, 10/11, 0) ei toteuta toisen tason yhtälöä, joten jossakin lienee huolimattomuusvirhe.

Toteuttaahan. Piste (-15/11, 10/11, 0) on tasoilla

(a) 2x + 3y - z = 0
(b) x - 4y + 2z = -5, sillä

2 * (-15/11) + 3 * (10/11) - 1* 0 = (-30 + 30)/11 = 0 eli yhtälö (a) pätee ja

1 * (-15/11) - 4 * (10/11) + 2 * 0 = (-15 - 40)/11 = -55/11 = -5 eli yhtälö (b) pätee. Halmos.

Vierailija
kurnimaha
Arska_L

Toteuttaahan. Piste (-15/11, 10/11, 0) on tasoilla

(a) 2x + 3y - z = 0
(b) x - 4y + 2z = -5, sillä

2 * (-15/11) + 3 * (10/11) - 1* 0 = (-30 + 30)/11 = 0 eli yhtälö (a) pätee ja

1 * (-15/11) - 4 * (10/11) + 2 * 0 = (-15 - 40)/11 = -55/11 = -5 eli yhtälö (b) pätee. Halmos.




Olet oikeassa. Huolimattomuusvirhe oli täällä päässä.

Gaussituksetonta ratkaisua olen sen vuoksi hakenut, koska tehtävä annettiin kotitehtäväksi oppilaitoksessani paljon ennen kuin gaussituksesta puhuttiin mitään. Ilmeisesti jollakin kokeilu/sijoitusmenetelmällä se jokin suoran piste voidaan löytää.

Vierailija
Arska_L
Gaussituksetonta ratkaisua olen sen vuoksi hakenut, koska tehtävä annettiin kotitehtäväksi oppilaitoksessani paljon ennen kuin gaussituksesta puhuttiin mitään. Ilmeisesti jollakin kokeilu/sijoitusmenetelmällä se jokin suoran piste voidaan löytää.



Ahaa, nyt ymmärrän. Voithan toki ratkaista molemmista yhtälöistä esimerkiksi z:tan, jolloin saat yhtälöparin, jossa on muuttujina vain x ja y. Kun ratkaiset tästä y:n ja sijoitat tämän aiemmin ratkaistuun muuttujan z lausekkeeseen saat suoran yhtälön parametrimuodossa

x = t
y = at + b
z = ct + d

Tässä a, b, c ja d ovat vakioita, jotka olet ratkaissut jo aiemmin ja t on parametri. Tästä pääset vektorimuotoon, kun ilmoitat parametrisoidun suoran vakiovektorin ja suuntavektorin summana:

X = (0 , b , d) + t * (1 , a , c)

Vierailija
Arska_L
Haluaisin ratkaista tehtävän vektoreiden avulla. Tiedän tässä vaiheessa , että leikkaussuoralla on suuntavektori 2i-5j-12k. Sen selvitin tasojen normaalien ristitulolla.



Jos ristituloa haluat ratkaisussa käyttää ja ongelmana oli vain yhden leikkaussuoran pisteen löytäminen, niin senhän kyllä löytää, kun molempien tasojen yhtälöön sijoittaa esimerkiksi z=0 ja sen jälkeen ratkaisee muuttujat x ja y jäljelle jäävästä yhtälöparista. Leikkaussuoran pisteeksi saat tällöin (x , y , 0).

Uusimmat

Suosituimmat