Potenssisumman laskukaava, kantaluku pienenee

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Voisihan sitä helpommankin kysymyksen esittää, mutta kysynpä nyt tämän.

Mietin eilen, onko yleistä laskukaavaa summalle x^n + x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x, kun sekä x että n tunnetaan. Löysinkin sellaisen kaavan, vieläpä melko helposti (en vaan muista sitä tähän hätään...).

Mutta seuraavaksi aloin pohtia, löytyykö summalle x^n + (x-1)^n + (x-2)^n ... + 1^n minkäänlaista laskukaavaa, kun x ja n tunnetaan. Tässä vaiheessa ideat loppuivat kesken.

Pahoin pelkään, että ratkaisuun tarvitaan korkeampaa matematiikkaa. Mutta jos jollakin on ideaa, kertokoon sen nyt.

Kommentit (3)

Vierailija

Tuo ensimmäinen on normaali geometrinen sarja, joka yleensä merkitään 1, q, q^2, ... Sille raja-arvo on 1/(1 - q).

Tuo jälkimmäinen onkin sitten jo vähän erikoisempi. Nuo potenssit saa kyllä laskettua auki binomin kertoimien kaavalla, mutta en usko että siitä tulee mitään kaunista ulos. Joku voisi koittaa syöttää tuon esim. Mathematicaan

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Ei taida löytyä suljettua muotoa. Eräs taulukkokirjani antaa kaavan
1^m+2^m+...+n^m=n^{m+1}/(m+1)+n^m/2+1/2*binom(m,1)B_2n^{m-1}+1/4*binom(m,3)B_4n^{m-3}+1/6*binom(m,5)B_6n^{m-5}+...,
missä n:n eksponentit ovat positiivisia, binom tarkoittaa binomikerrointa ja B:t ovat Bernoullin lukuja.

Uusimmat

Suosituimmat