Epsilon-Delta -todistus

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olen tässä huvikseni lueskellut netistä löytyviä matikan prujuja parin oman tutkinnon kurssin lisäksi, mutta tämä on eräs asioista, mikä ei ihan täysillä aukene. Viitsisikö joku vähän avata tuota jatkuvuuden määritelmää ja todistusta vaikkapa muutaman esimerkin avulla:

Todista, että
a) f(x) = x^3 on jatkuva pisteessä x = 1

b) f(x) = ln x - x on jatkuva pisteessä x = 2

c) sin (1/x) ei ole jatkuva nollassa

Täältä löytyy analyysi ykkösen pruju http://www.math.jyu.fi/~terok/opetus/analyysi1/analyysi1.pdf

Sivut

Kommentit (16)

Vierailija

Funktio f(x) on jatkuva kohdassa x_0 mikäli siinä kohdassa vasemman ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat yhtäsuuret kuin funktion arvo siinä kohdassa.

Vierailija

Lukaise jostain esimerkki tuosta delta - epsilon todistuksesta Koitan kirjoittaa tähän simppelin esimerkin:

f(x) = x^2

merkitään:
g(e) = f(1+e) - f(1) = 1^2 + 2*1*e + e^2 - 1^2 = e^2 + 2e

sitten oletetaan että e > 0, ja merkitään:
g(e) < d =>
e^2 + 2e < d =>
e < (-2 + sqrt(4 + 4*d)) / 2 =>
e < sqrt(1 + d) - 1

näin on siis mielivaltaisen pienelle d:lle löydetään positiivinen e siten, että f(1+e) - f(1) < d, eli funktio on (oikealta) jatkuva. Kai tuo meni edes suunnilleen oikein, pitäisi jaksaa vielä kursivoida nuo symbolit. No, tyydyin lausekkeiden boldaamiseen.

Toisaalta taisi olla olemassa myös tällainen muoto:
f(y) - f(x) < L * abs(y - x)

Tuo taisikin olla "Lipchits" (vai miten se nyt oli) ehto.

Vierailija
max131
Olen tässä huvikseni lueskellut netistä löytyviä matikan prujuja parin oman tutkinnon kurssin lisäksi, mutta tämä on eräs asioista, mikä ei ihan täysillä aukene. Viitsisikö joku vähän avata tuota jatkuvuuden määritelmää ja todistusta vaikkapa muutaman esimerkin avulla:



Ehkä kannattaa keskittyä ymmärtämään lause teoreettisessa muodossa ennen siirtymistä esimerkkeihin koska tässä tapauksessa ne tuskin aukeavat jos merkitys ei ensin ole selvä. Yksinkertaisuuden vuoksi kannattaa kuvitella perus R->R kuvaus perus x-y koordinaatistoon, esim. f(x)=x^3. Lausehan sanoo että jos funktio f(x) on jatkuva pisteessä x=a niin voimme valita kuvapuolelta eli y-akselilta pisteelle f(a) minkä tahansa ympäristön e niin että sille löytyy aina vastaava a:n ympäristö (delta) x-akselilta siten että kaikki pisteet tämän ympäristön sisältä kuvautuu e:n sisälle. Epäjatkuvalle funktiolle siis voimme valita niin pienen ympäristön e että x-akselilta ei ole pisteelle a löydettävissä niin pientä ympäristöä delta että kaikki pisteet tämän ympäristön sisältä kuvautuisi e:n sisälle.

Tapaus x^3 ja a=1 voisi mennä jotenkin näin:

|x - 1| < |x^3 - 1| < e josta nähdään että kun valitsemme että y-akselilla pisteet on ympäristön e sisällä niin silloin ne ovat myös e kokoisen ympäristön sisällä x-akselilla eli voidaan valita e=delta. -> f(x)=x^3 on jatkuva pisteessä x=1.

Vierailija

Olen ihmetellyt lausetta teoreettisessa muodossa useammankin tovin. Ajattelin, että esimerkit asiasta valaisevat asiaa "käytännössä" hieman paremmin. Olen siis kyllä suurin piirtein tietoinen, että mitä kyseinen teoria sanoo.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
msdos464

sitten oletetaan että e > 0, ja merkitään:
g(e) < d =>
e^2 + 2e < d =>
e < (-2 + sqrt(4 + 4*d)) / 2 =>
e < sqrt(1 + d) - 1


Näinhän ei pidä tehdä. Raja-arvon määritelmässä otettava mielivaltainen epsilon ja sitten sitä vastaava delta. Tuossa on otettu jokin d, jota ei ole määritelty. Lisäksi jos todistetaan polynomin jatkuvuutta, niin yleensä funktiota sqrt ei ole tuossa vaiheessa määritelty. Siten tarvittava epäyhtälö saadaan muilla konstein.

Oikea tapa todistaa funktio x^3 jatkuvaksi mielivaltaisessa kohdassa x_0 on valita epsilon>0 ja delta = min{1, epsilon/(2|x_0|+1)^2}. Tällöin, mikäli laskin oikein, on voimassa |x^3-x_0^3|

Vierailija
max131
Olen ihmetellyt lausetta teoreettisessa muodossa useammankin tovin. Ajattelin, että esimerkit asiasta valaisevat asiaa "käytännössä" hieman paremmin. Olen siis kyllä suurin piirtein tietoinen, että mitä kyseinen teoria sanoo.



Jos ymmärrät määritelmän merkityksen teoriassa niin ei asiassa pitäisi silloin olla mitään epäselvää. Loppu on pelkästään soveltamista ja laskumenetelmiä. Prujuista näytti löytyvän useampi esimerkki ja googeloimalla niitä pitäisi löytyä reilusti lisää. Käytännössähän jatkuvuuden tai epäjatkuvuuden osoittaminen suoraan määritelmästä ei välttämättä aina ole mitenkään yksinkertaista ja helpompiakin tapoja usein löytyy.

Vierailija
Vahinkolaukaus

Jos ymmärrät määritelmän merkityksen teoriassa niin ei asiassa pitäisi silloin olla mitään epäselvää. Loppu on pelkästään soveltamista ja laskumenetelmiä.



Minä olen ollut siinä käsityksessä, että tämä kyseinen asia on ollut vaikea ymmärtää useallekin matematiikan opiskeluja aloittavalle.

Mutta kuten sanottua, ihan omaksi mielenkiinnokseni näitä kyselen, enkä siis turhaan viitsi vängätä. Tyydyttäviä esimerkkejä en ole netistä löytänyt, ja siksi kyselin, josko joku olisi sellaisia jaksanut tähän ketjuun kirjoittaa.

Vierailija
max131
Olen tässä huvikseni lueskellut netistä löytyviä matikan prujuja parin oman tutkinnon kurssin lisäksi, mutta tämä on eräs asioista, mikä ei ihan täysillä aukene. Viitsisikö joku vähän avata tuota jatkuvuuden määritelmää ja todistusta vaikkapa muutaman esimerkin avulla:

Todista, että
a) f(x) = x^3 on jatkuva pisteessä x = 1

b) f(x) = ln x - x on jatkuva pisteessä x = 2

c) sin (1/x) ei ole jatkuva nollassa




Tuo jatkuvuuden epsilon-delta-määritelmä tosiaan vaatii jo huomattavasti abstraktimpaa ajattelukykyä kuin se intuitiivinen "funktion kuvaaja voidaan piirtää kynää nostamatta" -malli. Kohta a voitaisiin todistaa esimerkiksi näin:

Olkoon e>0 mielivaltainen. On löydettävä sellainen luku d>0, että |f(x) - f(1)| < e aina, kun |x - 1| < d. Koska jatkuvuutta tutkitaan pisteessä x=1, voidaan x rajoittaa alueeseen 0 <= x <= 2. Tällöin on voimassa

|f(x) - f(1)| = | x^3 - 1| = |(x-1)(x^2 + x + 1)| = |x - 1|*|(x^2 + x + 1)|

Kun x on rajoittu nollan ja kakkosen väliin, niin |(x^2 + x + 1)| <= 7. Saadaan siis arvio

|f(x) - f(1)| <= 7 * |x - 1| < e

täsmälleen silloin, kun |x - 1| < e/7

Vaadituksi luvuksi d>0 voidaan siis valita d = min{1 , e/7} ja nähdään, että f on jatkuva pisteessä x=1.

Kohta b onnistuu vastaavaan tyyliin, kun rajoittaa x:ää sopivasti ja arvioi erotusta ylöspäin.

Kohdassa c kannattaa käyttää tuon epsilon-delta-määritelmän sijasta sen kanssa yhtäpitävävää "jatkuvuuden lukujonomääritelmää" (en tiedä tälle parempaakaan nimeä )

Funktio f: R->R on jatkuva pisteessä a jos ja vain jos jokaisella lukujonolla (x_n), joka suppenee kohti lukua a on voimassa f(x_n) --> f(a), kun n -> ääretön.

Kun valitaan lukujonot

x_n = (Pi/2 + n*2*Pi)^-1 ja
y_n = (n*2*Pi)^-1

niin molemmat jonot suppenevat nollaan, mutta

f(x_n) = 1 -> 1 kun n -> ääretön ja
f(y_n) = 0 -> 0 kun n -> ääretön.

Siispä f(x) = sin(1/x) on epäjatkuva origossa.

Selvensikö yhtään?

Vierailija
Puuhikki
msdos464

sitten oletetaan että e > 0, ja merkitään:
g(e) < d =>
e^2 + 2e < d =>
e < (-2 + sqrt(4 + 4*d)) / 2 =>
e < sqrt(1 + d) - 1


Näinhän ei pidä tehdä. Raja-arvon määritelmässä otettava mielivaltainen epsilon ja sitten sitä vastaava delta. Tuossa on otettu jokin d, jota ei ole määritelty. Lisäksi jos todistetaan polynomin jatkuvuutta, niin yleensä funktiota sqrt ei ole tuossa vaiheessa määritelty. Siten tarvittava epäyhtälö saadaan muilla konstein.



Hmm.. oikeastaan valitsin mielivaltaisen d:n (eli delta), ja osoitin että aina löytyy e (eli epsilon) siten, että f(1+e) - f(1) < d, ja kun d -> 0, niin myös e -> 0.

Vierailija
msdos464
Hmm.. oikeastaan valitsin mielivaltaisen d:n (eli delta), ja osoitin että aina löytyy e (eli epsilon) siten, että f(1+e) - f(1) < d, ja kun d -> 0, niin myös e -> 0.



Sittenpä vielä voisit osoittaa, että tuo on yhtäpitävää jatkuvuuden määritelmän kanssa. Eipä taida olla.

Vierailija
kurnimaha
msdos464
Hmm.. oikeastaan valitsin mielivaltaisen d:n (eli delta), ja osoitin että aina löytyy e (eli epsilon) siten, että f(1+e) - f(1) < d, ja kun d -> 0, niin myös e -> 0.



Sittenpä vielä voisit osoittaa, että tuo on yhtäpitävää jatkuvuuden määritelmän kanssa. Eipä taida olla.



Jooh, tarkistin että miten tuo jatkuvuus on määritelty ja siinä valittiinkin mielivaltainen epsilon, ja sitten etsittiin sitä vastaava delta.

Vierailija

Lipschitz jatkuvuus ei ole ekvivalentti tavallisen jatkuvuuden kanssa, vaan on vahvempi ehto. On helppo todeta että jokainen Lipschitz-jatkuva funktio on esimerkiksi tasaisesti jatkuva, vähän vaativampana todistuksena on että Lipschitz-funktio on myös derivoituva melkein kaikkialla. Esimerkki jatkuvasta funktiosta joka ei ole Lipschitz on vaikkapa
f:R/{0}--->R, f(x) = 1/x.

Vierailija
max131
Mitä tämä "melkein kaikkialla" tahtoo sanoa?



Nimensä mukaisesti "melkein kaikkialla" tarkoittaa sitä, että ominaisuus A pätee (joitain pistejoukkoa B lukuunottamatta) kaikkialla. Lisäksi vaaditaan, että tämä joukko B on nollamittainen. Jos nyt ei yleiseen mittateoriaan sen kummemmin puututa, niin reaaliakselilla nollamittaisuus tarkoittaa suurinpiirtein tätä:

Joukko B = { X_i } on nollamittainen, mikäli jokainen x_i voidaan peittää sellaisilla reaaliakselin väleillä d_i, joiden yhteenlaskettu pituus saadaan mielivaltaisen pieneksi.

Esimerkiksi rationaalilukujen joukko on nollamittainen.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat